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大一高数课件第一章 1-3-1 数列的极限
1 2 n
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
大一高数课件第二章隐函数的导数--由参数方程所确定的函数的导数--相关变化率讲义资料
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法
求出导数.
--------对数求导法
适用范围:
多个函数相乘和 数幂 u(x指 )v(x函 )的情.形
例4 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
x 2(3 x)4 [
1
4 5 ]；
( x 1)5 2( x 2) 3 x x 1
3、 1 x sin x 1 e x [ 1 cot x e x ].
2
x
2(1 e x )
四、1、
a
2
b sin
3
t
；
2、 1 . f (t )
t4 1 五、 8t 3 .
六、2 1 . x2
dt
( tant ) (acos3 t)
3acsoe2s2cttsint
sec4 t 3a sin t
四、相关变化率
设xx(t)及y y(t)都是可导,函 而数 变量 x与y之间存在
某 种 关,从 系而 它 们 的 变 dx与 化d率 y之 间 也 存 在 一, 定 dt dt
这样两个相互依 化赖 率的 称变 为相关.变化率
解 等式两边取对数得 ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3 上式两边x求 对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
解 设时刻 t水深为 h(t),
大一高数课件—§1.1、1.2 数列极限
A , 所以
,
0 , 正整数
K1
当 k K 1时 , x 2 k A
又 lim x 2 k 1 A , 所以 , 对以上 正整数 K 2
k
当 k K 2时 , x 2k 1 A .
取 N max{ 2 K 1 , 2 K 2 1 }, 当 n N 时由以上知
xn A ,
1 n
0 lni mxnyn
2)xn
2n,
yn
1 n
2 lni mxnyn
福 州 大 学 2020/4/21
5
(c)
若
{
x
n
}
是任意数列，而
lim
n
yn
0
问
lni mxnyn 0？
不一定
1)xn
1, 2n
yn
1 n
2)xn
2n,
yn
1 n
0 lni mxnyn 2 lni mxnyn
(d) 若
11
,
42 2
P5为
12P5
为1
4
11, 1 82
,
1 22
213
,L
,
Pn
为
限1 P 位n 为1 2 置坐12标21 2 为 14 2 1318L nllniimm(1[121 ([)11n 12214((2 )n1 n 1122 (122)当)n12121n)]n 1
时
2 3]
1 2
,
P
n的极 1 6
不一定
问 lnim（xn yn) 是否存在？
0 1 ) x n( 1 )n ,yn( 1 )n 1 lni m （xnyn)
2)xn( 1 )n,yn( 1 )n lni m（xnyn) 不存在，
全版高等数学上册课件.ppt
f ( x nl) . nl (n N ) 也是 f ( x) 的周 期.
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
.精品课件.
27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
.精品课件.
6
《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求：
时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日）
下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 《高等数学练习册》每本售价：17元
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
.精品课件.
21
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
.精品课件.
27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
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定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
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21
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，
高等数学 (上册) -01-PPT课件
3. xlim 左右极限存在并相等 x ƒ(x) 的存在性 当x<xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo-0) 左极限 x
0
0
当x>xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo+0) 左极限 x
0
应用-----主要用于分段函数 分段点处求极限
x x0 2
证明: 对 >0要使|sinx-sinxo |=2|sin 2|sin
x x0 2
cos
x x0 |<ε 2
x x0 cos 2
|≤2|sin
x x0 2
|
当 x 很 小 时,|sinx| < |x| 2|sin
x x0 2
|<|2
x x0 2
| = |x-x0|<ε
（1）、ε-x定义:
if 对 >0, x>0,st 当 |x|>x 时 , 有 |ƒ(x)-a|<ε so 称 a 为 ƒ(x) 当 x→∞时的极限 先有ε,再找x
（2）、ε-定义 if对 >0, st当0<|x-xo|< 时,有|ƒ(x)-a|<ε成立,则 limƒ(x)=a 称a是ƒ(x)当x→xo 的极限,记为 x x
iii) 极限过程可以变,但必须是型,且x一模一样 1/(x-1) =1 如:1) lim x 1 [1+(x-1)] 1 .2 x 1 1 2 x lim（1 ) = e1/2 2) lim (1+ ) = x 2 x x 2x 3) lim (1+ x 4) lim ) x = e2 x (1+
大一高数课件第一章 1-1-1
第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
大一高数课件第五章 5-1-1
1 x dx ; 4
2
cos xdx 2 cos xdx ;
2 0
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是 水深 h 的 函数，且有 p 9.8h(千米 米 2 ) ，若闸门高 H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水 压力 P （见教材图 5-3）.
称 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f (x ) 在区间[a, b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
定理2
设函数 f ( x ) 在区间[a, b]上有界，且只有有限个间断点，
则 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
A lim f ( i )x i
0 i 1
n
特殊乘积和式的极限
s lim v ( i )t i
0 i 1
n
二、定积分的定义
在 定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a, b]中任意插入 若干个
分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
f ( x ) 0,
b a f ( x )dx
A
曲边梯形的面积
例1
1 2 利用定义计算定积分 0 x dx.
解 将[0,1]区间 n 等分，分点为 xi i ，( i 1,2, , n ) n
1 小区间[ xi 1 , xi ]的长度 xi ，( i 1,2, , n ) n
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分a xdx ，( a b ) .
大一(上)高数课件—2.8 洛必达法则
五、
P38
1
1 t
f
(0
0)
(1 lim t0
t)t e
lim
e
1 t
1 t
ln(1
t
)1
t0
et
lim
0
ln(1 t t2
)t
1 1 lim 1t
et0 2t
lim 1
et 0 2(1t )
1
e2
1
1
f (0 0) lim e 2 e 2 ,
t0
1
f (0) e 2
lim f (t ) f (0), f (t ) 在 t 0 处 连 续.
1)L
(n k k e x
1) x
nk
0
三、选择题. 1. D; 2. A;
P38
电气学院学习部资料库
lim ( 2 arctan x)x
x
1
lim e lim e e x
ln( 2 arctan x )x
x
x ln( 2 arctan x )
lim x ln( 2 arctan x )
§2.8 洛必达法则
P37
一、填空题. 1. 1; 2. ; 3. 1/ 2; 4. 1;
二、用洛必达法则求下列极限.
1. 2 ;
2. 0;
3. 1;
2
4. e ;
5. 1 ;
3
2
6. 对n R取正整数适合 : k n k 1
连续 k 次使用洛必达法则 得 :
lim
x
xn ex
lim
x
n(n
t0
电气学院学习部资料库
x
2
Q lim x ln( arctan x)
大一高数课件 ch1-1函数
第一章
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y
大一高数课件 ch2-6无穷小的比较
三、小结
1. 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
2. 等价无穷小的代换 等价无穷小的代换:
(1 + ax ) − 1 6. lim =_________. x →0 x 3 时 7. 当x → 0时, a + x − a ( a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . n 等价， 8. 当x → 0时, 无穷小 1 − cos x 与 mx 等价，则 时 m = _______, n _______ .
tan 2 x 例３ 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 = lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积， 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限． 穷小代换，而不会改变原式的极限．
2
( x + 1) sin x . 例４ 求 lim x → 0 arcsin x
解
当x → 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x . ( x + 1) x = lim( x + 1) = 1. 原式 = lim x →0 x →0 x
不能滥用等价无穷小代换. 注意 不能滥用等价无穷小代换 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 对于代数和中各无穷小不能分别代换.