概率论复习题答案

一、单项选择题

1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4

2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B )

A. 0

B. 2

C. D 1

3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A )

A. 0

B. 2

C. 1 D 4

！

4 已知P(A)= ,则)(A A P ?的值为( D )

(A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ

6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A.

A B =A ?B B. A ?B =AB

C. A ?BC=(A ?B)(A ?C)

D. (A ?B)(A ?

B )=AB

7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) $

A. Φ

B. 1 - Φ

C. Φ(4 )

D. Φ(-4)

8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1)

9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A.

2x B. C. 2x D. x

10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A.

2x B. 1 C. 2x D. 0

^

11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=!

n e n

λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B )

A. 参数为λ的指数分布

B. 参数为λ的泊松分布

C. 参数为λ的二项式分布

D. 其它分布

12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。

(A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制

13. 若两个随机事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论中正确的是( C ) (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.

14. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则（ D ）。 *

(A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) P (a < X

(C ）1)(lim =+∞

→x f x ； (D)

1)(=?

+∞

∞

-dx x f

15. 在下列结论中, 错误的是( B ).

(A) 若~(,),().X B n p E X np =则 (B) 若()~1,1X U -，则()0D X =.

(C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2

~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μ

σ

-.

16. 设随机事件A ，B 满足关系

A B ?, 则下列表述正确的是( D ).

(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.

(C) 若B 发生, 则A 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.

17. 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( B ). (A) 若()

()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.

—

(C) 若()()

1P AB P AB +=,则A ,B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.

18. 设(X , Y )服从二维正态分布, 下列结论中错误的是( D ).

(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布. (B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量. (D) 由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布 19. 设(X , Y )服从二维正态分布, 下列结论中正确的是( B ).

(A) (X , Y )的边缘分布是标准正态分布. (B) X 与Y 不相关等价于X 与Y 相互独立. (C) (X , Y )是二维离散型随机变量. (D) X 与Y 相互独立则其相关系数为1 20. 设)(),(21x F x F 分别为随机变量X 1和X 2的分布函数，为使

)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，则a ,b 应取( A ).

(A)52,53-==b a ； (B)32,32==b a ；

(C)2

3

,21=-=b a ； (D)32,21-==b a .

.

21. 设X 与Y 均服从标准正态分布，则（ A ）.

(A) E (X +Y ）=0; (B) D (X +Y )=2; (C) X +Y ～N (0,1); (D) X 与Y 相互独立 22. 设事件A 与 B 相互独立, 且0

(A) A 与B 一定互斥. (B) ()()()P AB P A P B =. (C) (|)()P A B P A =. (D) ()()()()()P A

B P A P B P A P B =+-.

23. 设X 与Y 相互独立，且都服从2

(,)N μσ, 则下列各式中正确的是( D ). (A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.

(C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2

()2D X Y σ-=.

24. 在下列结论中, 错误的是(C ).

(A) 若随机变量X 服从参数为n , p 的二项分布，则D(X)=np(1-p)

…

(B) 若随机变量X 服从区间(-3,3)上的均匀分布，则D(X)=3 (C) 若X 服从指数分布, 则()()D X E X =. (D) 若2

~(,),X N μσ 则

~(0,1)X N μ

σ

-.

25. 设F(x)为随机变量X 的分布函数 ，若 b>a,则F(b)-F(a)与下列（ C ）等价。 A. P{a < X < b} D. P{a ≤ X < b} C. P{a < X ≤ b} B. P{a ≤ X ≤ b} 26. 设F(x)为随机变量X 的分布函数 ，若 b>0,则F(b)与下列（ D ）不等价。 A. P{ X ≤ b} D. P{-∞ < X ≤ b} C. F(b)-F(-∞) B. F(∞)-F(b) 27. 设X ～N(0,4) ，Y ～N(0,4),以下( C )的概率有可能不为0 A ．P{X = 2} B 。P{X=2 | Y>1} C. P{X>1 | Y=2 } D. P{X=2 , Y>2 } 28. P{X>2,Y>3} 与以下( C )的式子等价

!

A ．P{X>2}P{Y>3}

B 。P{X>2} + P{Y>3} C. P{X>2 ?Y>3} D. P{X>2 ?Y>3} 29．在下列结论中, ( D )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件 (A) E(XY)=E(X)E(Y). (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y). (C) Cov(X,Y)=0. (D) X 与 Y 相互独立.

.

_____________),()(),()(),,(F ),,(Y X .30D y F x F y f x f y x y x f Y X Y X 式子是则不成立的、边缘分布函数分别为、边缘密度函数分别为联合分布函数为密度函数为相互独立，他们的联合、设随机变量A ． P{X>2,Y>2}=P{X>2} P{Y>2} B. )()(),(Y F x F y x F Y X = C. )()(),(Y f x f y x f Y X = D. D(XY)=D(X)D(Y)

二、填空题 1 已知P(A )= , P(B )=, P(AB)=, 则P(A ?B)

>

2. 已知随机变量X 的分布律如下。设12-=X Y

,则P{Y=0}的概率为( )

X | -1 0 1 P |

3. 已知随机变量X 的分布律为如下，则E(X)为 , D(X)为。

X | 1 3 4 P |

4设随机变量X 的概率密度函数为1

(1),02,

()40

,x x f x ?+<

5、设C B A ,,是三个随机事件, 试以事件运算关系来表示C B A ,,未同时发生（ ABC ）。

6、已知8.0)(=B A P ，7.0)(=B P ，则)(B A P =（ ）。

…

7、 8件产品中含有两件次品，从中任取三件，则恰有一件次品的概率为（ 15/28 ）。 8、设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且其数学期望和方差分别为

6.3)(,6)(==X D X E , 则=n （ 15 ），=p （ ）。

9、设),(Y X 为二维随机变量，已知Y X ,的方差分别为16)(,25)(==Y D X D ，相关系数为4.0=xy ρ。则 =-)23(Y X D （ 193 ）。

10. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为 ()A B C

12. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同. 已知至少成功一次的概率为1927

,

则每次试验成功的概率为 1/3 .

13. 设随机变量X ,与Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22

()()2E X E Y ==, 则

2[()]E X Y += 6 .

14. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，则 P (B )= 1-p 。

15. 设连续型随机变量X 的分布函数为???

??>-=-其它,

00,1)(2x e x F x ，则E (3X +5)=

11 。

16. 设D (X )=D (Y )=2, Cov(X ,Y )=1，则D (2X -Y )= 6 。 17 . 已知P(A)=,()

0.3P B =,()0.4P A B =, 则()P AB = 。

;

18. 设随机变量X 服从参数为

的泊松分布，且E [(X -1)(X -2)]=1，则参数

= 1 。

19. 设随机变量X 的概率密度为??

???>=-其它

,00,e 3

1)(3x x f x

，则E (2X +5)= 11 。

20. 设D (X )=4, D (Y )=9, 5.0=XY ρ, 则D (3X -2Y )= 66 。

21. 设随机变量X ～N (-1, 5)，Y ～N (1, 2)，且X 与Y 相互独立，则X -2Y 服从 N (-3,13) 分布

22.设随机变量 X ~ N(0,10),则P{ |X| < 12 }的概率大约为_____1______ 23 .设随机变量 X ~ N(5,10),则P{ X-5<0 }的概率为

24. 已知随机变量X 、Y 的分布律为如下，

X | 1 3 4 Y | 0 3 '

P | P |

且相互独立，则其联合分布律为(画出二维表格)

X Y 0 3 。 1

3

。

25 . 设随机变量X 、Y 的概率密度函数分别为f (x )=?

??≤≤其他,01

0,32x x ，

g (y)=???≤≤,,0,

10,43其他y y ，且相互独立，则其联合概率密度函数为

( ?

??≤≤≤≤=,,01

0,10,12),(32其他x y y x y x f )

26. 某甲乙丙三个向某目标独立同时射击一次，其击中目标概率分别为，，，则三个全击中目标的概率为

27. 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度?

??≤≤≤≤=,,01

0,10,),(32其他x y y kx y x f

则常数k 的值为____12________。

28 .设随机变量X~B(4,的二项式分布(k

n k k n p p C k X P --==)1(}{)，则P{X=3}的值为( )

29. 设随机变量X~P(2)的泊松分布(!

}{k e k X P k λλ-==)，则P{X=1}的值为( 2

2-e )

。

30. ,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是( D )

A.

AA A =Φ? B. AA A A =? C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. B A AB ?=

三、计算题

1．甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击，他们击中目标概率分别为、、，如果三个射手独立地同时发射，问

(1) 甲击中，乙、丙没击中飞机的概率 (2) 至少一人击中飞机的概率 (3) 至少一人没击中飞机的概率 (4) 恰好一人击中飞机的概率 ：

解 设A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人击中飞机事件。

则P(A)=,P(B)=,P(C)=

1.0)(,

2.0)(,

3.0)(===C P B P A P

(1)

014.07.01.02.0)()()()(=??==A P C P B P A C B P

(2) P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=

P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+2P(A)P(B)P(C)= * + * +*+**=

或

994

.01.0*2.0*3.01)()()(1)(1)C B A P(C) U B P(A U =-=-=-==C P B P A P C B A P 092

.01.0*8.0*3.01.0*2.0*7.09.0*2.0*3.0))C )P(B)P(A P()C )P(B P(A)P()P(C)B )P(A P()C B A P()C B P(A C)B A P()C B A C B A C B A P()4(504

.07.0*8.0*9.01)()()(1)(1)ABC P()C B A P( (3)=++=++++=??=-=-=-==??C P B P A P ABC P

'

2．设A,B 是两个事件，且P(A)= 1/5, P(B)= 1/2 1). 如果A 、B 独立,则计算P(AB) 、P(A ?B) 2). 如果A 、B 互不相容,则计算P(AB) 、P(A ?B) 3). 如果B ?A,则计算P(AB) 、P(A ?B) 答 1). P(AB)= P(A)P(B)=1/2 * 1/5=1/10

P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/5 – 1/10=3/5 2) . P(AB)= 0

P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=1/2+ 1/5 – 0=7/10 3). P(AB)= P(A)= 1/5 }

P(A ?B)=P(A) + P(B) –P(AB)=P （B)=1/2

3．设离散型随机变量X 的分布率如下：

1). 求a 的值。 2). 求X 的分布函数 3). 求随机变量Y=12

+X 的概率分布 4). 求P{X<2}, P{5}, 5) P{X<| X ≠1}

X | -1 1 3 4 P | a 答 1). a=1 - – – = 2). 当 x<01 F(x)=0;

当 -1≤x<1 F(x)=P{X=-1}= ; `

当 1≤x<3 F(x)=P{X=-1}+P{X=1}=+= ;

当 3≤x<4 F(x)= P{X=-1}+P{X=1}+P{X=3}=+ + = ; 当x ≥4 F(x)=P{X=-1}+P{X=1}+P{X=3}+P{X=4}=+++=1

?????

????≥<≤<≤<≤-<=4

,143 85.03x 1 55.011- 25.01

,0)(x x x x x F ，，，

3).

Y | 2 10 17 P |

4) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=1}=+= P{

P{Y>5}=P{Y=9}+P{Y=17}=+= 5)

14

11

15.03.025.03.025.0}

4{}3{}1{}

3{}1{1}X {1}X 3.5P{X 1}X |3.5P{X =

+++=

=+=+-==+-==≠≠?<=

≠

4．已知产品的正品率为，现有这样一批产品100件

（1）用二项分布分别求这批产品中恰好有2件正品与恰好有2件次品的概率。 （列出式子就可以）。

（2）用泊松分布求这批产品中恰好有2件次品的概率。

答 根据题意，设随机变量X 表示恰好两件正品，则n=100,p=,k=2, 若随机变量Y 表示恰好两件次品，则n=100,p=,k=2。

185

.099.001.0)1(}2{01.099.0)1(}2{)1(98

22100

98

22

100=??=-==??=-==--C P

p C Y P C p p C X P k

n k k

n

k n k k n

:

（2）设随机变量Y 表示恰好两件次品 λ=np=100*=1，k=2 184.021!21!}2{12==?==

=--e

e k e Y P k λ

λ 5. 设随机变量X~N(4,9) ，Y~N(2,1)

(1) 计算P{X<7}、P{X>3}、P{013}

)

333.1(1)333.0()3

4

0()345(}50{)333.0()333.0(1}3

4

334{1}3{1)3{)1(}3

4

734{

)7{).1(Φ+-Φ=-Φ--Φ=≤<Φ=-Φ-=-<--=≤-=>Φ=-<-=

(2) 设Z=X+4Y,则随机变量Z 也是服从正态分布.

则E(Z)=E(X+4Y)=E(X)+4E(Y)=4+8=12

D(Z)=D(X+4Y)=D(X)+16D(Y)=9+16=25 ,则 Z~N(12,25)

)2.0(1)2.05

12

{}51213512{

}13{)134{.Φ-=>-=->-=>=>+Z P Z P Z P Y X P

？

6．某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为5:3:2，各车间产品的合格率依次为90％，80%, 70% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：1). 取到不合格产品的概率；2). 若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。3). 若取到的是合格品，求它是由甲车间生产的概率。

答：设事件A,B,C 分别表示甲、乙、丙三个车间生产，事件H 表示产品合格率 依题意 P(A)=, P(B)=,P(C)=0..2 ; P(H|A)=, P(H|B)=,P(H|C)= 则 P(H |A)=1- P(H|A)= 1 – =

1) P(H)=P(A)* P(H|A) + P(B)* P(H|B) + P(C)* P(H|C) =

* + * + * = P(H )=1-P(H)==

2) P(A|H ) = P(H |A)P(A) / P(H )=* / =5/17 = 3)P(A|H) = P(H|A)P(A) / P(H) = * = 45/83 =

*

7. 设连续型随机变量X 的分布函数为??

?

??>≤≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F ，

求: (1) X 的概率密度)(x f ； (2)P{X< U X>}；（3）数学期望[

]

)(2

X E X E + 解： (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01,

()0,

其它.x x f x <

(2) P{X< U X>}=1- P{

=1- []

6

7322d 2d 2)()()(1

031

041

02

10322=+=

+=+=+??x x x x x x X E X E X E X E 8 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=?????≤≤≤≤+,,

0,

10,20,3其他y x y

x

(1)计算X 和Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y (2) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么

]

(3) 求概率 P{ X<1}, P{X>1,Y<}

(4)求条件概率P{ Y<|X>1}，P{ Y=0| X<2} (5)求条件概率密度)|(|x y f X Y (6) 求E(X)， E(Y) ，D(X)，D(Y) (7)求E(XY)

(8)求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ 1. 答案： (1)当0

6

1

2|32/3),()(1021

+=+=+==?

?∞∞

-x y xy dy y x dy y x f x f X ??

?

??≤≤+=其它,020,6

1

2)(x x x f X ；

3

22|32/3),()(2022

y

xy x dx y x dx y x f y f Y +=+=+==?

?∞

∞

-

??

?

??≤≤+=其它,010,3

22)(Y y y

y f (2) 随机变量X 与Y 不是相互独立，因f (x ,y )不等于两个边缘概率密度相乘。

)()(),(y f x f y x f Y X ?≠

(3)

3

1

0166121}X P{21

0=+=+=

24

71224224

1405.0)32/(dydx 3y

x 0.5}y 1,X P{2

21212

2

1

0.5

=

+=

+=+=+=<>????

x x dx

x dx y xy

(4) 16

7

3/1124/7}1{1}5.0,1{}1{}5.0,1{1}X | 0.5Y P{=-=<-<>=><>=

>

P{ Y=0| X<2}=0 ; (5)

；

1

2226/)12(3/)()(),()|(1

020|++=++==

≤≤≤≤x y x x y x x f y x f x y f y x X X Y 时，当

???

??≤≤++=≤≤其它

，时

即，当,0101

222)|(20|y x y

x x y f x X Y

(6) ??∞∞-=+=+==187013232322)()(4

31

0222y y dy y y

dy y f y Y E Y ?=+=

+=2

03

422916026

32612)(x x dx x x X E EX=??=+=+?

=∞∞-202

3911026232612)(x x dx x x dx x xf X EY=94013

323223

2

10=+=+?y y dy y y

8123

)911(916)()(222=

-=

-=EX X E DX 16231

)94(187)()(222=

-=-=EY Y E DY (7)

3

2

021818

2301)33/2/(dydx 3y

x )(2

3

202

2032220

1

0=

+=

+=+=+=???

?x x dx x x dx xy y x xy XY E

—

(8) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=

81

109491132=?- 162

31812381/10)

()(),(?=

=

Y D X D Y X Cov xy ρ

~

(1) 求常数A

(2) 求X 和Y 的边缘分布律

(3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (4) 求概率 P{ Y>-1}, P{ 00 |X<2},P{Y<1|X=2} (6) 求EX ， EY ，DX ，DY

(7) 求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ (8) 求 E(X-2Y+3) ，D(X-2Y-2) (9) 求概率 P{X-Y=1}， P{X>Y}

(10)求Z=X+Y 分布律，U=Min{X,Y} 分布律

}

答案：

(1) A=1 - - - - =

X | 0 2 《

P |

随机变量Y 的边缘分布律

Y | -1 0 1 P |

(3) 不独立， 因对任意i ，j 有 Pij 不等于Pi. * (4) P{ Y>-1}=P{Y=1}+P{Y=0}=+=

P{0

13

9

65.03.015.0}

2{}

1,2{}0,2{}2{1}Y 2,P{X 2}X |1P{Y 0

35

.00

}0{}1,0{2}P{X 0}Y 2,P{X 2}X | 0P{Y (5)=

+==-==+====<===<======<><=

<>X P Y X P Y X P X P X P Y X P

|

(6) EX=0*+2*=

EY=(-1)* + 0*+1* =

91

.069.13.2)3.1(*)3.1()65.0*2*235.0*0*0())(()(22=-=-+=-=X E X E DX 56

.0)2.0(*)2.0(2.0*1*14.0*0*04.0*)1(*)1())(()(22=---++--=-=Y E Y E DY (7) E(XY)= 0*(-1)* + 0*0* + 0*1*0 + 2*(-1)* + 2*0* + 2*1*= Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 56

.0*91.0383.1)

()(),(-=

=

Y D X D Y X Cov xy ρ

(8) 求 E(X-2Y+3)=E(X)– 2E(Y) + 3= – 2*+3 =

D(X-2Y-2)=D(X)+4D(Y)-2Cov(X,Y)= +4* *= (9) P{X-Y=1}= P{X=0,Y=-1}+P{X=2,Y=1}= + =3

P{X>Y}=P{X=0,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} + P{X=2,Y=0} + P{X=2,Y=1} =+++= ， (10)

P{Z=-1}=P{X=0,Y=-1}= , P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{Z=1}=P{X=2,Y=-1} + P{X=0,Y=1}= + 0=, P{Z=2}=P{X=2,Y=0}= , P{Z=3}=P{X=2,Y=1}= Z=X+Y | -1 0 1 2 3 P |

P{U=-1}=P{X=0,Y=-1} + P{X=2,Y=-1} =+= ,

P{U=0}=P{X=0,Y=0} +P{X=0,Y=1}+P{X=2,Y=0} = + 0 + = P{U=1}=P{X=2,Y=1}=

#

U=Min(X,Y) | 0 1 2

P |

10设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=?

??≤≤≤≤,,0,

10,20,75.02其他y x y x 则

(1) 关于X 和关于Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y (2) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么

(3) 求概率 P{ X>1}, P{X>1,Y<} ￥

(4)求条件概率P{ Y<|X>1}，P{ Y=0| X<2} (5)求条件概率密度)|(|x y f X Y (6) 求E(X)， E(Y) ，D(X)，D(Y)

(7)求E(XY)

(8)求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ 答案：

(1) 22

1022

1

02

375.08

3|)2(75.075.0)(x x y x ydy x x f X ==

==? ??

?≤≤=其它

,02

0,375.0)(2x x x f X y x y ydx x y f Y 2|)3

(75.075.0)(2

032

02

===?

??

?≤≤=其它

,01

0,2)(Y y y y f $

(2) 随机变量X 与Y 是相互独立，因f (x ,y )等于两个边缘概率密度相乘。

)()(),(y f x f y x f Y X ?=

(3)

8

7

875.0|3375

.0375.0|)2

(75.0ydydx 0.75x

1}X P{213

2122

1

1

022

21

1

2

=======

>??

??x dx

x dx y x

32

7

21875.0|32323|)83(ydydx 0.75x 0.5}y 1,X P{213

2122

1

5

.0022

21

0.5

2

===

====

<>??

??

x dx

x dx y x

(4) 25.08

/732

/7}1{}5.0,1{1}X | 0.5Y P{==><>=

>

P{ Y=0| X<2}=0 ; (5)

y

x y

x x f y x f x y f y x X X Y 2375.075.0)(),()|(1

0202

2|===≤≤≤≤时，当

??

?≤≤=≤≤其它

，

时即，当,0102)|(20|y y x y f x X Y ^

(6) ?

?∞

∞

-=

==

2

12)()(1

322

dy y dy y f y Y E Y ??

===?=2

2

20542

2

2

5

12

|40383375.0)(x dx x dx x x X E EX=

?

?

==?=∞

∞

-2

2

0425.1|32

383)(x dx x x dx x xf X

EY=3

2|3221031

0==

??y ydy y 203

)23(512)()(222=

-=

-=EX X E DX 181

)32(21)()(222=-=-=EY Y E DY

(7) 因X,Y 独立 E(XY)=E(X)E(Y)=*(2/3)=1

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0

0)

()(),(==

Y D X D Y X Cov xy ρ

"

(1) 求常数C

(2)求X 和Y 的边缘分布律 ·

(3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 (4)求概率 P{ X>0}, P{2 ≥ X >, Y ≤ 1} (5) 求条件概率 P{Y>1 |X<2},P{Y<1|X=2} (6) 求EX ， EY ，DX ，DY (7) 求 E(2X-3Y) ，D(2X-Y+4) (8) 求协方差Cov(X,Y),相关系数xy ρ

(9) 求概率 P{X-Y=1}， P{X>Y}

(10)求Z=X+Y 分布律，V=Max{X,Y} 分布律 (11) 求 P{X<2|X ≠1} 答案：

：

(1) C=1 - - - - - =

X | 0 1 2 ~

P |

随机变量Y 的边缘分布律

Y | 0 3 P |

(3) 独立， 因对任意i ，j 有 Pij=Pi. * (4) P{ X>0}=P{X=1}+P{X=2}=+=

P{2 ≥ X > , Y ≤ 1}=P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=0}=+=

4

.05

.02

.0}2{}0,2{}2{1}Y 2,P{X 2}X |1P{Y 6

.02.03.012

.018.0}

0{}1{}

3,0{}3,1{2}P{X 1}Y 2,P{X 2}X | 1P{Y (5)=======<==

=<=++=

=+===+===<><=<>X P Y X P X P X P X P Y X P Y X P

:

(6) EX=0*+1*+2*=

EY=0* + 3* =

61

.069.13.2)3.1(*)3.1()5.0*2*23.0*1*12.0*0*0())(()(22=-=-++=-=X E X E DX 16.28.1*8.16.0*3*34.0*0*0))(()(22=-+=-=Y E Y E DY

(7) 求 E(2X-3Y)=2E(X)– 3E(Y)= 2* – 3* =

D(2X-Y+4)=4D(X)+D(Y)= 4* + =

(8) 因随机变量X 、Y 独立

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0; xy ρ=0 ;

(9) P{X-Y=1}=P{X=1,Y=0}= /

P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=+=

(10)

P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= , P{Z=1}=P{X=1,Y=0}= P{Z=2}=P{X=2,Y=0}=, P{Z=3}=P{X=0,Y=3}= P{Z=4}=P{X=1,Y=3}= P{Z=5}=P{X=2,Y=3}=

Z=X+Y | 0 1 2 3 4 5 P |

P{V=0}=P{X=0,Y=0}= , P{V=1}=P{X=1,Y=0}= ,

P{V=2}=P{X=2,Y=0}=

P{V=3}=P{X=0,Y=3}+P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=3}=++= V=Max(X,Y) | 0 1 2 3

P |

（11）7

2

5.02.02.0}2{}0{}0{1}P{X 1}X 2P{X 1}X |2P{X =+==+===≠≠?<=≠

12 设二维随机变量（X,Y ）联合概率密度f (x ,y )=?

??≤≤≤≤,,0,

10,20,其他y x kxy 则

(1) 求常数k

(2) 关于X 和关于Y 的边缘概率密度 (),()X Y f x f y

：

(3)问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么

(4) 求概率 P{ X>1}, P{>X>1,Y<} (5)求EX ， EY ，DX ，DY

(6)求 E(2X-3Y) ，D(3X-Y), E(2XY)

答案： (1)????

======

1

02022

022

102

)4(201)2(1k kx dx kx dy y kx kxydydx k=1

(2) 当0≤x ≤2

0)(x ,2/0

1

)2y (x )(21

0====?x f x xydy x f X X 为其他值时，

—

当0≤y ≤1

0)(y 20

2

)2()(22

====?

y f y x y xydx y f Y Y 为其他值时，，

(),()X Y f x f y 分别为 x/2与 2y ；

(3) 随机变量X 与Y 相互独立，因f (x ,y )等于两个边缘概率密度相乘。 当0≤y ≤1, 当0≤x ≤2

)()(),(y f x f y x f Y X ?==xy

其他 )()(),(y f x f y x f Y X ?==0 (4)

4

/30

2

)4(201)2(xydydx 1}y 0 2,X 1 P{1}X P{2212

1

221

10

=====≤≤≤<=>??

?

?x dx x dx y x 或

4/32

)(2}X 1 P{1}X P{2

1

2

1

===≤<=>?

?dx x

dx x f X 64/58

xydydx 0.5}Y 1,0X P{1.50.5}Y 1,X P{1.55

.11

1.51

0.50

===<≤>>=<>>?

??

dx x

(5) ??====1

041

03

2

2

2

1

01422)()(y dy y dy y f y Y E Y

（

??

===2

2

3

2

2

22

)()(dx x dx x f x X E x EX=

?

?

===2

2

323

402)6(2)(x dx x dx x xf x EY=

?

?

==

1

1

3/22)(yydy dy y yf Y

92

)34(2)()(222=-=-=EX X E DX

18

1

)32(21)()(222=-=-=EY Y E DY

(6) E(2X-3Y)=2EX – 3EY =2*4/3 – 3*2/3= 2/3

因X,Y 相互独立

D(3X-Y)=9DX + DY = 9*2/9 + 1/18 = 37/18

E(2XY)=2E(X)E(Y)=2*(4/3)*(2/3)=16/9

(1) 求常数C

(2)求X 和Y 的边缘分布率

(3) 问随机变量X 与Y 是否相互独立为什么 ·

(4)求概率 P{ X>1}, P{2 ≥ X > 1, Y ≤ 1} (5) 求EX ， EY ，DX ，DY (6) 求 E(2X-3Y) ，D(4X-Y)

(7) 求概率 P{X+Y=2}， P{X>Y} (8) W=X+Y 的分布律。 答案：

(1) C=1-1/6 - 1/12 – 1/12 – 1/3 – 1/6 =1/6

(3) 独立， 因对任意i ，j 有 Pij=Pi.

(4) P{ X>1}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/12 + 1/6 =1/4

P{2 ≥ X > 1, Y ≤ 1}= P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/12+1/6=1/4 (5) EX=

∑i

i x

.P =0*1/2+ 1*1/4+ 2* 1/4=3/4

EY=

∑j

j

y

P.=0*1/3 + 1*2/3 =2/3

16/11)4/3()4/1*24/1*12/1*0())(()(222222=-++=-=X E X E DX 9/2)3/2(3/2*13/1*0))(()(22222=-+=-=Y E Y E DY

】

(6) 求E(2X-3Y)=2EX – 3EY= 2* 3/4 – 3* 2/3 =

因X,Y相互独立

D(4X-Y)=16DX+DY= 16*11/16 + 2/9= 101/9

E(2XY)=2EX *EY= 2*3/4 * 2/3 =1

(7) P{X+Y=2}=P{X=1,X=1}+P{X=2,Y=0}=1/4

P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/12+1/12+1/6=1/3

(8) P(W=0)=P(X=0,Y=0)=1/6 ;

P(W=1)=P(X=0,Y=1)+ P(X=1,Y=0)=1/3 +1/12 =5/12

P(W=2)=P(X=2,Y=0)+ P(X=1,Y=1)=1/12 +1/6 =3/12

P(W=3)=P(X=2,Y=1)=1/6

/

14 请分别写出(0-1)分布、二项式分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的分布律或概率密度、期望与方差(教材P255)

15 设袋中有10个球，编号从1～10 ,任取一球记录其号码。设事件A取出的号码大于等于7，事件B取出的号码为偶数，事件C取出的号码为6、7或10

(1) 分别写出事件A、B、C的样本空间。

(2) 分别写出事件AB、BC、AC、ABC的样本空间

(3) 根据第(1)、(2)小题的样本空间计算P(A),P(B),P(C),P(AB), P(BC),P(AC), P(ABC)的概率(直接写出答案)

(4) 事件A、B、C是否相互独立，为什么

（5）根据第(3)小题用A，B，C 的关系运算表示下列各事件并计算其概率

@

1). A ,B发生，C 不发生；2). A，B ，C中至少有一个发生；

3). A，B，C 都不发生；4). A，B，C 恰好有两个发生；

5). A 发生，B与C 不发生；6) A,B,C中不多于1个发生。

7) A 发生，B不发生；

答案:

（1）A={7,8,9,10}, B={2,4,6,8,10}, C={6,7,10}

(2) AB={8,10}, BC={6,10}, AC={7,10}, ABC={10}

(3) P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(AB)=,P(BC)=,P(AC)=, P(ABC)=

(4) P(ABC)=, P(A)P(B)P(C)=

因P(ABC) 不等于P(A)P(B)P(C) 所以事件A、B、C不是相互独立

~

(5)