大一线性代数期末考试题

2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A 卷）

课 程 线性代数 授课教师 考试时间 2011 年 7 月 6 日 考试班级

一、填空题（每小题3分，共18分）

1. 设()T 1,1,1,1=α 与()T

k k k k ,5,1,-+=β 正交，则=k .

2. 设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，则(A +3E )-1 (A 2-9E )=.

3. 设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031021A ，则A -1=. 4. 已知向量组T T T t )2,5,4,0(,)0,,0,2(,)1,1,2,1(321--==-=ααα

线性相关，则t = .

5. 向量组T T T T )1,6,3,1(,)3,2,1,1(,)4,1,2,1(,)5,0,3,1(4321--====αααα

的最大无关组为 .

6. 已知5阶矩阵A 与对角矩阵相似，且3是A 的二重特征值，则R (A -3E )= . 二、选择题（每小题3分，共18分）

1. 若矩阵A 有一个r 阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ]

(A ) R (A )r ； (D ) R (A )≥ r .

2. 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ ] (A ) AB = BA ； (B ) 存在可逆矩阵P ，使P -1 AP =B ； (C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AP =B ； (D ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P -AQ =B .

3. 若A 与B 均为n 阶非零方阵，且AB=O ，则 [ ] (A ) A 的列向量组线性相关； (B ) A 的列向量组线性无关； (C ) R (A )=0； (D ) R (B )=0.

4. 已知x 1，x 2，x 3是线性方程组Ax =b 的三个解向量，其中x 1=(1,1,1,1)T ，x 2+ x 3=(3,0,3,2)T ，

R (A )=3，则方程组Ax =b 的通解为 [ ] (A ) c (2,-1,2,1) T + (1,1,1,1) T ，c ∈R ； (B ) c (1,-2,1,0) T + (1,1,1,1) T ，c ∈R ；

(C ) c (3/2,0,3/2,1) T + (1,1,1,1) T ，c ∈R ； (D ) c 1(3/2,0,3/2,1) T + c 2 (1,1,1,1) T ，c 1, c 2∈R .

5. 矩阵方程AX =B 有解的充分必要条件是 [ ]

(A ) R (A )= R (B )； (B ) R (B )=R (A , B )； (C ) R (A )=R (A , B )； (D ) R (A )

6. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ,,101010001,10000101021⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则[ ]

(B ) B =P 2AP 1； (C ) B =A P 1P 2； (D ) B =P 1P 2A .

三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分）

1. 计算行列式

3

32

1

32

21

321

1321

1

111

b a a a a b a a a a b a a a a +++.

2. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨

⎧=++=++=+++00022421

4324321x x x x x x x x x x 的基础解系及通解.

3. 已知矩阵⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--=2001,1121B P 满足P -1AP=B ，计算：

(1) A 的特征值与特征向量； (2) |-A 5|； (3) A 3.

四、（共12分）试求一正交变换将二次型

yz z y x z y x f 4332),,(222+++=

化为标准型.

五、（共12分）已知向量组

;),0,1,1(,)2,1,1,0(,)3,0,2,1(:321T T T a A ===ααα

,),15,1,4(,)4,9,1,2(,)1,3,1,1(:321T T

T b B -=-=-=βββ

(1) a ，b 取何值时，向量组B 可由向量组A 线性表示；

(2) 求向量组B 由向量组A 线性表示的系数矩阵.

六、证明题（共8分）已知n 阶矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =O ，证明：

(1) A 的特征值只能取1或2； (2) A 的列向量组线性无关.