-1多元函数概念预备知识
高等数学——81多元函数的基本概念-文档资料
解 lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y
x0 x
x0 xy
x0 xy
x0
y2
y2
y2
y2
2 lim sin(xy) 2． xy0 xy
四．多元函数的连续性
二元函数连续性定义：
设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)
z
O
y
P0
x
性质1 (最大值和最小值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和
最小值．
性质2 (介值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不
同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次．
多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续 函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数．
P2
E2 P2
P1
E1和E2都是连通的． D = E1E2是不连通的． E1和E2都是区域． D = E1E2是不区域．
E3
E3是闭区域．
有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的
距离|AP|不超过K，即 |AP|K
对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．
2
y2
例7 求 lim xy 1 1 ．
x0
xy
y0
解 lim xy 1 1 lim ( xy 1 1)( xy 1 1)
x0
xy
x0 xy( xy 1 1)
y0
y0
lim 1 1 ． x0 xy 1 1 2
y0
z=f(x，y)(或z=f(P))
8-1多元函数的基本概念
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二元函数 z f ( x, y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面.
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例如 zsinxy 图形如右图.
例如 x2y2z2a2
z
右图球面.
D {x (,y)x2y2a2}.
o
y
单值分支: z a2x2y2
x
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（开）区域
y
连通的开集称为区域或开区域．
o
x
例如 {x (,y)|1x 2y24 }.
闭区域
y
开区域连同它的边界一起
称为闭区域.
o
x
例如 {x (,y)|1x 2y24 }.
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有界集和无界集
设E是一点，集 A是一定点。如果 数存在
r
V r2h , ( r, h) r 0, h 0
h
定量理想气体的压强
p RT V
( R为常数）,
(V , T ) V 0, T T0
三角形面积的海伦公式 ( p a b c ) 2
b
a
S p( p a)( p b)( p c)
sin( x 2 y)
lim
x 0
x2 Байду номын сангаас2
y 0
x2 y
lim
x0
x2
y2
y0
limrcos2sin 0 r 0
利用极坐标变换，把 二元函数的极限，转化 成一元函数的极限！
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证明极限不存在的方法：
多元函数的基本概念汇总
§10–2 多元函数的基本概念基础知识导学1.多元函数⑴二元函数 设D 是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律f ，使每一个点D y x ∈),(都对应于惟一确定的值z ，则称z 为D 上的二元函数.记做),(y x f z =，其中y x 与称为自变量，函数z 也称为因变量，D 称为该函数的定义域.⑵点函数 设Ω是一个点集,对任意的点Ω∈P ,变量u 按某一法则总有惟一确定的值与之对应,则称u 是Ω上的点函数,记作)(P f u =.当Ω是x 轴上的点集时,点函数)(P f u =是一元函数;当Ω是xOy 平面上的点集时,点函数)(P f u =是二元函数; 当Ω是n 维空间上的点集时,点函数)(P f u =是n 元函数; 当Ω是三维空间上的点集时,点函数)(P f u =是三元函数.自变量多于一个的函数统称为多元函数.⑶二元函数的几何意义 函数),(y x f z =的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D 就是此曲面在xOy 坐标面上的投影.2. 二元函数的极限与连续⑴二元函数的极限设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义（在点),(000y x P 处可以无定义），如果当点),(y x P 以任意方式趋向于点),(000y x P 时，相应的函数值),(y x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称当→),(y x ),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限，记作),(lim 0A y x f y y x x =→→或A y x f →),( ),(00y y x x →→.⑵二元函数的连续性① 在一点连续的两个等价的定义定义1 设有二元函数),(y x f z =,如果),(lim 0y x f y y x x →→=),(00y x f ,则称二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续.定义2 设),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆(称z ∆为函数),(y x f 的全增量),若0lim 00=∆→∆→∆z y x ,则称二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续.②如果),(y x f 在区域D 内的每一点都连续，则称),(y x f 在区域D 上连续.③如果),(y x f 在点),(000y x P 不连续，则称点),(000y x P 是二元函数),(y x f z =的不连续点或间断点.解题方法指导1． 求二元函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域并画出定义域的图形.（1）221)(ln x y x y z --+-=，（2）y x y x z --=24 .解 （1）要使函数有意义，需满足条件⎩⎨⎧≥-->-,01,022x y x y 即 221x y x -≤<. 因此定义域为2x y =与21x y -=围成的部分，包括曲线21x y -=.（2）要使函数有意义，需满足条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥>-≥-,0,0,042y y x y x 即⎩⎨⎧<≤≤,0,422x y x y 定义域如图所示另外，求函数y x y x z --=24的定义域时，也可把z 看成两个函数214y x z -=与2xy x z -=12的乘积，214y x z -=的定义域是042≥-y x ，即 x y 42≤，y x z -=12的定义域是⎩⎨⎧≥>-,0,0y y x 因此函数y x y x z --=24的定义域是1z 与2z 的定义域的公共部分，即⎩⎨⎧<≤≤.0,422x y x y 小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。
大一高数多元函数知识点总结
大一高数多元函数知识点总结大一的高等数学是大学学习的一门基础课程，其中多元函数是其中比较重要的一部分。
在学习多元函数时，我们需要了解一些基本的概念、性质和计算方法。
本文将对大一高数多元函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、多元函数的概念和性质1.1 多元函数的定义多元函数是指含有两个或两个以上自变量的函数，在平面上表示为f(x,y)，在空间中表示为f(x,y,z)。
而自变量的取值范围可以是实数集合或者某个区间，函数的值可以是实数或者向量。
1.2 驻点和极值对于多元函数，我们可以通过求偏导数的方法找到其驻点和极值。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，求偏导数f’x(x,y)和f’’y(x,y)，令其等于零，可以得到驻点的坐标。
然后，通过计算二阶偏导数f’’xx(x,y)、f’’xy(x,y)和f’’yy(x,y)的值，可以判断驻点是否是极值点。
1.3 偏导数与全微分对于多元函数，我们可以通过对其中某一个自变量求偏导数的方法来求得偏导数，而偏导数可以理解为函数对于某一自变量的变化率。
而全微分则是对多元函数进行全面的微分，表示其在各个自变量方向上的变化率之和。
1.4 隐函数和参数方程在一些情况下，多元函数的表达式并不明显，而是通过一些隐含的条件进行表示。
这时要借助隐函数的概念，将多元函数用隐函数的形式表示出来。
而参数方程则是将多元函数在某个平面上表示为参数的函数形式。
二、多元函数的计算方法2.1 多元函数的线性逼近对于一个二元函数f(x,y)，我们可以通过求得其一阶偏导数和二阶偏导数，来进行函数的线性逼近。
而通过线性逼近，我们可以计算函数在某一点的近似值，以及该点处的切线和法线。
2.2 多元函数的积分多元函数的积分与一元函数的积分类似，只是需要在计算过程中考虑到多个自变量。
可以通过对其中一个自变量进行积分，将多元函数转化为一元函数的形式，然后再进行计算。
2.3 向量场的散度和旋度对于一个二维向量场和三维向量场，我们可以通过计算其散度和旋度来了解向量场的性质。
1多元函数的概念及极限
x0 x
x0 xy
x0 xy x0
y2y2y2y2令u xy , u 0
lim sin xy lim sin u 1 x0 xy u0 u
y2
例8
求极限
sin( x2 y)
lim
x0
x2
y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x, y )( x0 , y0 )
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2、lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
1 (x
cos( x 2 y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
•P0
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
1多元函数的基本概念
• 若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P0 (x0 , y0 ) 时, 函数
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
不存在 .
例3. 讨论函数
f
(x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
多元函数
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3. n 维空间
n 元有序数组
记作 R n ,即 Rn R R R
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 R n中的零元,记作
O.
2020/5/18
多元函数
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,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 函数
在圆周 x2 y2 1 上间断.
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
2020/5/18
多元函数
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .