二次型(1)
考研数学一二次型历年真题试卷汇编1_真题-无答案
考研数学一（二次型）历年真题试卷汇编1(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换X=PY下的标准形为y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换X=QY下的标准形为( )．A. 2y12一y22+y32B. 2y12+y22一y32C. 2y12—y22一y32D. 2y12+y32+y322. 2.设，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．A. B.C. D.3. 3.[2007年]设矩阵，则A与B( )．A. 合同且相似B. 合同但不相似C. 不合同但相似D. 既不合同又不相似填空题4. 4.[2002年] 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换X=PY可化成标准形f=6y12，则a=_______．5. 5.[2011年] 若二次曲面方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a=______．6. 6.[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1，则a 的取值范围是______．7. 7.若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是______．解答题[2005年] 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．8. 8.求a的值；9. 9.求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；10. 10.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．[2018年] 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．11. 11.求f(x1，x2，x3)=0的解；12. 12.求f(x1，x2，x3)的规范形．[2012年] 已知，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2．13. 13.求实数a的值；14. 14.利用正交变换X=QY将f化为标准形．[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记15. 15.证明二次型厂对应的矩阵为2ααT+ββT；16. 16.若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．17. 17.[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．[2009年] 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3．18. 18.求二次型f(x1，x2，x3)的矩阵的所有特征值；19. 19.若二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a的值．20. 20.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）=n．[2010年] 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下的标准形为y12+y12，且Q 的第3列为．21. 21.求矩阵A；22. 22.证明A+E为正定矩阵．设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．23. 23.计算PTDP，其中24. 24.利用上题的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．25. 25.设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．。
二次型知识点总结
二次型知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来唠唠二次型的那些知识点哈。
你知道不，二次型就像个神秘的小盒子，打开它就能发现好多奇妙的东西呢！比如说，一个简单的二次函数$y=x^2$，这就是个典型的二次型啊！它的图像是个漂亮的抛物线。
咱先来说说啥是二次型。
这不就是几个变量的二次齐次多项式嘛！就好像搭积木一样，把不同的项组合起来。
比如说$x^2+2xy+y^2$，这就是一个二次型呀。
然后呢，还有正定二次型和负定二次型呢。
这就像一个团队里有好人和坏人一样。
正定二次型总是积极向上的，给人正能量，比如说一个物体始终有向某个方向的动力；而负定二次型就有点消极啦，老是拖后腿呢！
再来说说合同变换。
嘿，这就像是给二次型换了身衣服，但是本质没变呀！就像你换了件新衣服，还是你自己呀。
还有二次型的标准型呢，这可是很重要滴！它能让复杂的二次型变得简单明了，就好比把一团乱麻理清楚了。
哎呀，二次型的这些个知识点，真的是越琢磨越有意思啊！你想想，生活中不也到处都是这样类似的东西嘛！咱学习二次型，不就是为了更好地理解这个世界嘛！
我觉得啊，二次型就像一个宝藏，等着我们去深挖，去探索！每一次深入了解一点，都能给我们带来新的惊喜和收获。
大家可别小瞧了它哟！。
线性代数试题1及答案
线性代数试题1及答案一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111c b a c b a c b a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A 20 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围是44 t -3. A 为3阶方阵，且21=A ，则=--*12)3(A A 2716-4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是0,21====n n λλλ5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 n二. 选择题（每题3分，共15分）6. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（A ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（C ）成立(A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A8. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则（C ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （D ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ⨯矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（B ） （A ）任意r 个列向量线性无关 (B) 必有某r 个列向量线性无关(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组(D) 任意1个列向量均可由其余n －1个列向量线性表示三. 计算题（每题7分，共21分）11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300041003A 。
线性代数解题技巧及典型题解析01-1.二次型基本问题_25
y1 x1 2x3 ,
x1 y1 2 y3 ,
1 0 2
其中
y2
x2
2x3,
或 x2 y2
2 y3 , 所用线性变换的矩阵为
C
0
1 2.
y3 x3,
x3 y3.
0 0 1
由 | A E | 0 得 A 的特征值为 1 0, 2 1,3 9，故在正交变换下，可将
f 1 化为 y2 9 y2 1，为椭圆柱面.
123
1
2
12
23
化为标准形，并求出所用的正交变换矩阵.
2 2 0
解
二次型的矩阵为A
2
1 2,
0 2 0
2 2 0
由| A E | 2 1 2 ( 1)( 4)( 2)
0 2
得 A的特征值为1 1,2 4,3 2；
其对应的特征向量为 1 (2, 1, 2)T ,2 (2, 2, 1)T ,3 (1, 2, 2) .T
2
3
方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ …+ rm =n 个两两正 交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵Q，则 Q 为正交阵 且 Q－1AQ=QTAQ= 为对角阵；
(3) 作正交变换 X=QY，即可将二次型化为只含平方项的标准形： f=XTAX=YT (QTAQ)Y=YT Y.
例1 用正交变换法将二次型 f (x , x , x ) 2x2 x2 4x x 4x x
二次型
正交变换法 化二次型为标准形
配方法
定义
正定性的判定 特征值
顺序主子式
将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：
(1) 写出二次型 f 的矩阵 A；
6-1 二次型及其矩阵表示
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
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合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
线性代数 第1节 二次型及其矩阵
(2)对称性：若A ~B ，则有 B ~A ；
(3)传递性：若 A ~B ,且 B ~ C,则有 A ~C . 证明 只证(3)，其余留作练习.
B C AC1 , C C BC2 ,
T 1
T 2
T T C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 )T A(C1C2 ) ,
由于 C1 , C2 均可逆，所以C1C2 也可逆.
5
f ( x1 , x2 ,, xn )
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 ,, xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
C 称为该线性替换的矩阵.
X CY .
若 | C | 0 ，则此线性变换称为可逆线性替换.
如果C 为正交矩阵，则此线性替换称为正交替换.
x x cos y sin 容易验证，转轴公式 y x sin y cos 是一个正交替换.
13
三、矩阵的合同关系
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵.
7
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
T
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵. A的秩称为该二次型的秩. A是一个实对称矩阵. 事实上， 由一个实对称矩阵也可构造唯一的实 二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相 唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为 研究它的矩阵A所具有的性质.
考研数学一(二次型)模拟试卷6(题后含答案及解析)
考研数学一（二次型）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32—4x1x2+2x2x3的标准形可以是( )A．y12+4y22B．y12—6y22+2y32。
C．y12—y22D．y12+4y22+y32正确答案：A解析：用配方法，有f=x12—4x1x2+4x22+x22+2x2x3+x32=(x1—2x2)2+(x2+x3)2，可见二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0，故选A。
知识模块：二次型2．下列矩阵中A与B合同的是( )A． B． C． D． 正确答案：C解析：合同的定义CTAC=B，矩阵C可逆。
合同的必要条件是r(A)=r(B)且行列式｜A｜与｜B｜同号。
A，B合同的充要条件是A与B的正、负惯性指数相同；A与B的正、负特征值的个数相同。
A选项的矩阵秩不相等。
B选项中行列式正、负号不同，故排除。
C选项中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数，因此A和B合同。
而D选项中，A的特征值为1，±2，B的特征值为—1，—2，—2，因此xTAx与xTBx正、负惯性指数不同，即不合同，故选C。
知识模块：二次型3．设A，B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则( )A．A与B有相同的秩。
B．A与B有相同的特征值。
C．A与B有相同的特征向量。
D．A与B有相同的行列式。
正确答案：A解析：合同的矩阵也等价，必有相同的秩，故选A。
知识模块：二次型4．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )A．二次型xTAx的负惯性指数为零。
B．存在可逆矩阵P使P—1AP=E。
C．存在n阶矩阵C使A=C—1C。
D．A的伴随矩阵A*与E合同。
考研数学一(二次型)模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学一（二次型）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y21+y22-y23，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy 下的标准形为( )A．2y21-y22+y23B．2y21+y22-y23C．2y21-y22-y23D．2y21+y22+y23正确答案：A解析：本题考查正交变换化二次型为标准形的有关理论，所涉及的知识点是：任给一个二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，总存在一个正交变换x=Py将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其标准形的系数是A的特征值；标准形的系数即A 的特征值的顺序与正交矩阵P中对应的列的顺序即A的特征值的所对应的特征向量的顺序一致．设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵为A，正交矩阵P=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y21+y22-y23，即若Q=(e1，-e3，e2)，则所以f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y21-y22+y23．故应选A．知识模块：二次型2．设，则A与B( )A．合同且相似B．合同但不相似C．不合同但相似D．不合同且不相似正确答案：A解析：显然A是实对称矩阵，且特征值为4，0，0，0．故存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=B．因此选A．知识模块：二次型填空题3．设二次型f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x2x3，则f的正惯性指数为_________________．正确答案：2解析：用配方法把f(x1，x2，x3)化成标准形，或求出特征值，正特征值个数即为正惯性指数．利用配方法化二次型为标准形．f=x21+2x1x2+2x2x3=x21+2x1x2+x22-(x22-2x2x3) =(x1+x2)2-(x2-x3)2+x23=y21-y22+y23，其中y1=x1+x2，y2=x2-x3，y3=x3，即由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2．知识模块：二次型4．若二次型f(x1，x2，x3)=2x21+x22+x23+2x1x2+tx2x3正定，则t的取值范围是_______________．正确答案：解析：由于二次型f(x1，x2，x3)=2x21+x22+x23+2x1x2+tx2x3的矩阵所以，有知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一,正(负)定二次型的概念
( − 1) ⋮
r
ar 1
⋮ > 0, ⋯ arr
(r = 1,2,⋯ , n ).
这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理称为霍尔维茨定理． 这个定理称为霍尔维茨定理．
证明：必要性： 证明：必要性：设二次型
n i =1
f ( x1 , x 2 , ⋯ , x k ) = ∑ ∑
n
j =1
a ij x i x
j
= X ′AX
是正定的。对于每个 是正定的。对于每个k,1≤k≤n，令 ，
2 2 y12 + y 2 + ⋯ + y n
Definition 5 .称实对称矩阵A为正定矩阵, 称实对称矩阵A为正定矩阵,
若A确定的二次型 X’AX 是正定二次型. 是正定二次型. 一个实对称矩阵A 一个实对称矩阵A是正定的充分必要条件 是矩阵A与单位矩阵合同. 是矩阵A与单位矩阵合同. 推论:正定矩阵的行列式大于零. 推论:正定矩阵的行列式大于零.
1. 设A为正定实对称阵, 则A′, A−1 , A∗ 均为正定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵则A + B也是 , 正定矩阵 .
3.非退化的线性替换保持正定性不变
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
A 0 x z Cz = ( x , y ) 0 B y
T T T
= x T Ax + y By > 0,
T
且C是实对称阵 , 故C为正定矩阵 .
f k (x1 , x2 ,⋯, xk ) 是正定的。 是正定的。
§1二次型的矩阵表示
§1 二次型的矩阵表示3．写出下列二次型的矩阵表示式 （1） xy（2）222ax by cz dxy eyz fxz +++++。
解 （1）102(,)102x x y y ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ; (2)()22,,2222d f a x de x y z b y zf e c ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4.已给二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =++-，试对它作如下非退化线性替换：（1）112233110012;001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）11223311011;102x y x y x y ⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭（3）1122332211122.3212x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解 （1）123112321233112123233(,,)220100(,,)212(,,)110020021220110244212012(,,)474021001444f x x x x x x x x y y y x y y y y y y y y y =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪--=-- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221231213274888y y y y y y y y⎪⎪⎪=+---+（2） 方法同（1），可得222123123(,,).f x x x y y y =--（3） 方法同（1），可得222123123(,,)42.f x x x y y y =+-§2 标准形15．配方法化下列二次型为标准形：（1）22123121223(,,)326;f x x x x x x x x x =--- （2）2221231122233(,,)2244;f x x x x x x x x x x =++++（3）123121223(,,)422;f x x x x x x x x x =-++ （4）2221234124121314232434(,,,)2442222;f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++（5）123414342324(,,,)8228.f x x x x x x x x x x x x =+++解 （1）二次型222221231212231122223222,12233(,,)32624639()(2)24f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---=-+--=--+-令1123122322333313,,243132,,224,,x y y y y x x y x x x y y y x x y ⎧=+-⎪=-⎧⎪⎪⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎪⎩或故 2221231239(,,).4f x x x y y y =-- (2) 同样方法,可求得2212312(,,).f x x x y y =+(3) 令112112212212233311,22,11,,22;.y x x x y y x y y y x x x y y x ⎧=+⎪=+⎛⎫⎪⎪⎪=-=-⎨ ⎪⎪ ⎪=⎝⎭=⎪⎪⎩或 二次型 2212132312132221323(,,)42244414()42f x x x x x x x x x y y y y y y y y =-++=-++=--++令 1131132222333311,,22,,;.z y y y z z z y y z z y y z ⎧⎧=-=+⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或故 222123123(,,)44.f x x x z z z =-++ (4) 同(1)之方法可得22212341231(,,,)2.2f x x x x y y y =-+ (5) 同(1)之方法可得222212341234(,,,)8222.f x x x x z z z z =-+-16．用合同变换化下列二次型为标准形，并写出相应的可逆矩阵：（1）22123121223(,,)222;f x x x x x x x x x =++- (2) 212311223(,,)54;f x x x x x x x x =+- (3) 22123131223(,,)22;f x x x x x x x x x =-++ (4) 12312132 3.(,,)f x x x x x x x x x =++解 （1）二次型的矩阵为110121.010⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭作如下合同变换11010010010121010011110010001010001100100010110.002111⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭故222123123(,,)2.f x x x y y y =+-相应的可逆矩阵为111011.001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用同样方法得2221231232516(,,).425f x x x y y y =-+55124801.25001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3） 用同样方法可得2212312(,,).f x x x y y =-111011001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 用同样方法可得222123123(,,).f x x x z z z =--111111.001C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭17. 用可逆线性替换化下列二次型为标准形:(1) 12341234(,,,)22;f x x x x x x x x =- (2)122122211(,,,).n n n n n f x x x x x x x x x --=+++解 (1) 作可逆线性替换112212334434,,,.x y y x y y x y y x y y =-⎧⎪=+⎪⎨=-⎪⎪=+⎩得 222212341234(,,,)2222.f x x x x y y y y =--+ (2) 令112222111121221212,,,,,,;.n n n n n n n n n n nn x y y x y y x y y x y y x y y x y y -+++--=+⎧⎪=+⎪⎪⎪=+⎪⎨=-⎪⎪⎪=-⎪⎪=-⎩得 222221221212(,,).n n n n f x x x y y y y y +=+++--- 18. 用可逆线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算其结果:2121(),.nni i x x x X X X n=+++-=∑其中解 令112112122232111112,2,,,,,2,;.nii n i i n n n n i n n n n i n n x y y y x x x y y y y x x y x x x y y y y x x y ==-----=⎧=+⎪⎧⎪=-⎪⎪=++=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪=++⎪⎪=⎩⎪⎪=⎩∑∑∑或 ① 由11(1),n ni ii i y Xn x x ===--=∑∑则 原式=()111122222111111222222121121()()2()332()2.42121n n n n n in i i i ii ji i i i i i j nn n yy y y y y y y n nz z z z z z n n ----=====≤<≤--+-=+=+=+++=+++--∑∑∑∑∑∑其中所作的线性替换为112312234111111,231111,341,,.n n n n n n y zz zzn y z zz z n y z y z ----⎧=----⎪-⎪⎪=----⎪-⎨⎪⎪=⎪⎪=⎩由①,②知替换矩阵为2000131001214101,231111231001T n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭||0.T ≠ 再求二次型的矩阵 A.122123111221212()(,,,)(,,,)'(,,,),ni i n n n n n x x x x X X x x x x x x x x x x x x x x x C C x x x C x x =⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ 其中C 是主对角线上元素都是1n n -,其余元素都是1n-的n 阶方阵.111111.111n n n n n A C nn nn nn n -⎛⎫--⎪ ⎪- ⎪-- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 20000300024000'.30000100T AT n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭19.求把二次型 222123123121323(,,)2938410f x x x x x x x x x x x x =+++-- 化为二次型222123123121323(,,)236448g y y y y y y y y y y y y =++--+的非退化线性替换.解 二次型123(,,)f x x x 的矩阵为242495.253A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭由合同变换法，可求得121011.001C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使200'010000C AC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同理可求得0111012,001C -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭使00200222'010,234.000246C BC B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中 这样，取10136013,001P C C ---⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作非退化线性替换11232233336,3,.x y y y x y y x y =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 则有123123(,,)(,,).f x x xg y y y = §3 规范形28. 在实数域上,将互相合同的n 阶对称矩阵放在一起组成一个合同类.问一共有多少个合同类? 解n 元实二次型的秩有1n +种可能:0,1,2,,n 而秩为()r n ≤的实二次型的正惯性指数有1r +种可能:0,1,,,r 因此n 元实二次型按合同关系分类的情况如下表n因此n 元实二次型的合同类总数为(1)(2)123(1).2n n n n ++++++++=29. 在复数域中,化下列二次型为规范行,并写出相应的线性替换:(1) 222123123121323(,,)2242;f x x x x x x x x x x x x =-++++ (2) 2221231231213(,,)5424.f x x x x x x x x x x =+-+-解 (1)222123123121323222123233(,,)224218(2)3().33f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++++=++-+-作非退化线性替换1123123332,1,3.y x x x y x x y x =++⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 则2321231238(,,)3.3f x x x y y y =-- 再作非退化线性替换.112233,,.y z y z y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎩则222123123(,,).f x x x z z z =++(2) 同样方法,可得222123123(,,).f x x x ωωω=++30.在实数域中,化下列二次型为规范形,并写出相应的线性替换:(1) 223123122121323(,,)4443;f x x x x x x x x x x x x =++-+-(2) 222123123121323(,,)3422;f x x x x x x x x x x x x =+++++ (3) 123121323(,,).f x x x x x x x x x =++ 解 (1) 实二次型123(,,)f x x x 的矩阵为422321.23212A ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭由合同变换法,可求得1011002011,'010.011001C C AC ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭使则 222123123(,,).f x x x y y y =-+所作的非退化线性替换为 1122331012011.011x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭(2)用同样方法可得 222123123(,,).f x x x y y y =-+ 非退化线性替换为11223310.00x yx y x y ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ (3) 用同样方法可得222123123(,,).f x x x z z z =--非退化线性替换为112233111111.001x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31. 求下列实二次型的秩与符号差:(1) 2221231231213(,,)56444;f x x x x x x x x x x =---++(2) 123411223(,,,)53;f x x x x x x x x x =+- (3) 1234122334(,,,);f x x x x x x x x x x =++(4)2222123411213142232434(,,,)222242.f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-++-+- 解 （1） 2221231231213(,,)56444f x x x x x x x x x x =---++=2221232332262405[()]().551313x x x x x x --+--- 令 1123223332().52,13,y x x x y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则 2221231232640(,,)5.513f x x x y y y =--- 再令112233,,,z z z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩得 222123123(,,).f x x x z z z =---故实二次型 123(,,)f x x x 的秩为3，符号差为-3. (2) 用同样的方法可得1234(,,,)f x x x x 的秩为3，符号差为2-1=1.(3) 用同样的方法可得1234(,,,)f x x x x 的秩为4，符号差为0.（4） 同样的方法可得1234(,,,)f x x x x 的秩为3，符号差为1.32． 求下列实二次型的秩与符号差：（1） 1221234212(,,,);n n n f x x x x x x x x x -=+++（2）122123456782(,,,)234.n n nf x x x x x x x x x x x n x x-=+++++解 （1） 作非退化线性替换112212334434212122212,,,,,.n n n nn n x y y x y y x y y x y y x y y x y y ---=+⎧⎪=-⎪⎪=+⎪=-⎨⎪⎪=+⎪⎪=-⎩即12212121234342122122222221321242(,,,)()()()()()().n n n n n n n n f x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----=+-++-+++-=+++----故 122(,,,)n f x x x 的秩为2n ，符号差为0. （2）用同样的方法可得122(,,,)n f x x x 的秩为2n ，符号差为0.§ 4 正定二次型1． 用克兰姆法则解方程组 2x 1－x 2+3x 3+2x 4=6 3x 1－3x 2+3x 3+2x 4=5 3x 1－x 2－x 3+2x 4=3 3x 1－x 2+3x 3－x 4=42． 设 α1=（1，2，3，0） α2=（-1，-2，0，3）α3=（2，4，6，0） α4=（1，-2，-1，0） α5=（0，0，1，1） 求｛α1，α2，α3，α4，α5｝的秩和一个极大线性无关组。