03最短路

（１）赋初值： 对所有 i,j, d(i,j) w(i,j), r(i,j) j, k 1
(2) 更新 d(i,j), r(i,j) d(i,k)+d(k,j), r(i,j) 对所有 i,j，若 d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)，则 d(i,j) k
(3) 若 k= ，停止．否则 k k+1，转（２） ．
算法原理—— 查找最短路路径的方法
( 若 rij ) p1 ，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
然后用同样的方法再分头查找．若： （１）向点 i 追溯得： rip1 p2 , rip2 p3 ,…, ripk pk （２）向点 j 追溯得： rp1 j q1 , rq1 j q2 ,…, rqm j j
先写出带权邻接矩阵：
0 2 1 8 0 6 1 0 7 9 0 5 1 2 W 0 3 0 4 0
9 6 3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
迭代 次数 １ 2 3 4 5 6 7 8 最后标记:
(k ) ij
r
k r ( k 1) ij
( ( ( 若d ijk 1) d ikk 1) d kjk 1) 否则
即当 v k被插入任何两点间的最 短路径时，被记录在R(k)中，依 次求 D( ) 时求得 R( ) ，可由 R( )来查 找任何点对之间最短路的路径．
k 1, 2 , 3 , 4 ,5
min {d ( X
1b
, X 6( rk ) )}
(k ) X (k ) 其中 d( X 1b , X 6r )为顶点X 1b 到 6r 的最短路的权.
求得最短路的权为 53，而两条最短路分别为
( (2 1 (2 X 1b X 21) X 3r ) X 4b X 5(r ) X 6r ) ; r ( ( ( (3 X 1b X 21) X 3b X 41) X 5r2) X 6r ) r r
v S V \ S ,令 l (v) = W (u0 , v ) , z(v ) = u0 u u0 （2）更新 l (v) 、 z(v ) ： v S V \ S ,若 l (v) > l (u) W (u, v) 则令 l (v) = l (u) W (u, v) , z(v ) = u
4 3 3 3 3
4 3 4 4 3
4 3 5 3 5
d51 9 ，故从 v5 到 v1 的最短路为９． 由 r51 ＝４． v4 向 v5 追溯： r54 3, r53 3 ; 由 v4 向 v1 追溯： r41 1 所以从 v5 到 v1 的最短路径为： 5 3 4 1 .
(k )
( （2）弧集 E={ ( X ib , X i 1,b ),( X irk ) , X i 1,b ), i=1,2,3,4; k=1,2,…,i-1} 1) ( k 1 ∪{ ( X ib , X i(1,r ) , i=1,2,3,4,5}∪{ ( X irk ) , X i(1r ) ) ,i=1,2,3,4,5;k=1,2,i-1} ,
例 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径．
TO MATLAB (road2(floyd))
0 7 D 5 3 9
7 0 2 4 6
5 2 0 2 4
3 4 2 0 6
9 1 6 3 4 , R 4 6 1 4 0
4 2 2 3 3
1 j
i 1, 2,,
1 i
（3）求出顶点 vk ，使 S (v k ) min{S (vi )} .
则vk 就是要求的建立消防站的地点．此点称为图的中心点．
TO MATLAB (road3(floyd))
单产品、无能力限制的批量问题
某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有 产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且 使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt dt
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
则由点i到j的最短路的路径为： i, pk ,, p2 , p1, q1 , q2 ,, qm , j
i
pk
p3
பைடு நூலகம்
p2
p1
q1
q2
qm
j
算法步骤
Floyd 算法：求任意两点间的最短路．
D(i,j)：i 到 j 的距离． R(i,j)：i 到 j 之间的插入点． 输入: 带权邻接矩阵 w(i,j)
( d ij2) 是从 v i 到 v j 的只允许以 v 1 、 v 2 作为中间点的路径中最短路的长度．
…
( ( （ ）D(ν)= (d ij ) ) ，其中 dij ) min{ ij 1) , di( 1) d(j 1) } d(
( d ij ) 是从 v i 到 v j 的只允许以 v 1、 v 2、…、 v 作为中间点的路径中最短路 的长度．即是从 v i 到 v j 中间可插入任何顶点的路径中最短路的长，因此
构造加权有向图 G1(V,E)
( （1）顶点集 V＝{ X ib , i=1,2,3,4,5}∪{ X irk ) , i=2,3,4,5,6; k=1,2,…,i-1},
每个顶点代表年初的一种决策，其中顶点 X ib 代表第 i 年初购置新设备 的决策，顶点 X ir 代表第 i 年初修理用过 k 年的旧设备的决策
最短路问题
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算法 调用
求固定顶点到其它顶点的最短路-- Dijkstra算法
求 G 中从顶点 u0 到其余顶点的最短路.
设 G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负．
对每个顶点，定义两个标记（ l (v) ， z(v ) ） ，其中:
l (v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v ) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l (v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权．
S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u , v)
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l ( u0 ) =0
l (ui )
u1
０ 0
u2
２ 2
u3
１
u4
８ 8 8 8 7
u5
3
u6
6
u7
10 10 10 10 9
u8

12 12 12 12 12 u5
l (v) z (v)
0
2
1
u1
u1
u1
7 u6
3 u2
6 u5
9 u4
l (ui )
u1
最后标记:
选址问题--中心问题
例 2 某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务， 如图所示．问应设在哪个区，才能使它至最远区的路径最短．
（1）用 Floyd 算法求出距离矩阵 D= (d ij ) ．
（2） 计算在各点 v i 设立服务设施的 最大服务距离 S (vi ) ．
S (vi ) max {d ij }
( ( （１）D(1)= (d ij1) ) ，其中 dij1) min{ ij0) , di(10) d1( 0) } d( j
( d ij1) 是从 v i 到 v j 的只允许以 v 1 作为中间点的路径中最短路的长度．
( 1 ( ( （2）D(2)= (d ij2) ) ，其中 d ij2) min{ ij1) , d i(2) d 21j) } d(
若第 i 年初作了决策 X i 后，第 i+1 年初可以作决策 X i1 ，则顶点 X i 与
X i1 之间有弧( X i , X i1 )，其权 W( X i , X i1 )代表第 i 年初到第 i+1 年
( 初之间的费用.例如，弧 ( X 3b , X 41) ) 代表第三年初买新设备，第四年初 r 决定用第三年买的用过一年的旧设备，其权则为第三年初的购置费与第 三、第四年间的维修费之和，即为 12＋5＝17. (k ) （3）问题转化为顶点X 1b 到X 6r 的最短路问题.五年的最优购置费为
（3） 设 v 是使 l (v) 取最小值的 S 中的顶点，则令 S=S∪{ v }，
* *
u v*
（4） 若S φ ，转 2，否则，停止.
用上述算法求出的 l (v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
z (v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
例 求下图从顶点 u 1 到其余顶点的最短路． TO MATLAB(road1)
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法 依次构造出 个矩阵 D(1)、 D(2)、… 、D( )，使最 后得到的矩阵 D( )成为图的距离矩阵，同时也求出 插入点矩阵以便得到两点间的最短路径．
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算法原理—— 求距离矩阵的方法
( 把带权邻接矩阵 W 作为距离矩阵的初值，即 D(0)= (d ij0) ) =W