直线平面的平行与垂直的判定 高三
直线、平面平行与垂直的判定及其性质复习
直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ii.思考：如图，设直线b 在平面a 内，直线a 在平面a 外，猜想在什么条件下直线 a与平面a 平行.（all b ）直线与平面平行的判定线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除线在平面内的情况）i .直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下 三种）注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外文字描述直线和平面在空间永无交点，则直线 和平面平行（定义）平面外的一条直线与平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行图形条件a 与a 无交点结论a //ab //a特别提示证明直线和平面的平行通常米用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.知识点三、平面与平面平行的判定性质直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定要点诠释：定义中“平面陆内的任意一条直线”就是指“平面岀内的所有直线”， 这与“无数条直线”不同（线线垂直=线面垂直）知识点四、平面与平面平行的性质 文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的直线平行于 另一个平面 图形条件结论j /all pPG Y = b a^Y = a a / ball pa? p a//a条件 /丄隔裙匚口 ： Z 丄比加丄结论丿丄用知识点三、二面角I .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直图形 结果 aPlB =l a -I- 3 =90° a 丄 3 I 丄a, I 匚^ 3 a 丄Ba, （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”—“随意”“无数”等字眼）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角-AB -（简记P — AB — Q )二面角的平面角的三个特征:i .ii . iii .点在棱上 线在面内 与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角,内分别作垂直于棱I 的射线 平面角.—l — 的棱I 上任取一点 0，以点 OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的 O 为垂足，在半平面AOB 叫做二面角的180°.文字描述。
平行垂直的判定和性质
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明 (1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
α∥β
a∥b
a∥α
基础诊断
考点突破
课堂总结
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直
线平行于这个平面．
( ×)
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个
平面内的任一条直线．
(×)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么
来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，
但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.
答案 A
基础诊断
考点突破
课堂总结
3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( ) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则 平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线 m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D. 答案 D
基础诊断
考点突破
课堂总结
规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面 垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性 (a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α， α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核 心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的 性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线 面垂直的基本思想．
2020届高三理数一轮讲义：8.5-直线、平面垂直的判定及其性质(含答案)
知识梳理两直线垂直于同一个平面，
1.判断下列结论正误
表示两条不同的直线，
考点一线面垂直的判定与性质
2MB，求点C到平面
，O为AC的中点，
⊥平面POM.
的距离.
＝2
3BC＝
42
3，∠ACB
上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为
；
－BCD的体积为
SAD，可得BD⊥SD
多维探究PCD；
AD的中点，
，使得AC⊥BM，若存在点
，所以MN⊥AC.
⊥平面MBN.
所成角的余弦值；
PDC，
的正切值.
PD2＝25，∴PA＝5. [思维升华]
证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件
基础巩固题组
如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG
中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D
不垂直，满足题意，故选D.
B.直线AB上D.△ABC内部
，所以PC垂直于直线
AB⊥平面PAC，又因为
BD，因为PA⊥
PAC，所以BD⊥PC
C1D1中，AB＝BC
________.
AC1与平面A1B1
AC＝22，
的中点，求证：BD⊥平面AOF.
G，连接FG，AG
是梯形CDPE的中位线，
；
PB上是否存在点F
C，所以DC⊥平面
AC，所以AB⊥AC
B.AH⊥平面EFH
D.HG⊥平面AEF AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE
C.4
上的射影为E，连接D1E
C1DF，
ADC；
与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为。
空间几何的平行与垂直判定
空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。
其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。
一、平行的判定方法在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。
下面将介绍几种常见的平行判定方法。
1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。
2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。
二、垂直的判定方法在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。
下面将介绍几种常见的垂直判定方法。
1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。
2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。
三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。
以下是几个应用举例。
1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。
这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。
2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。
平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。
3. 垂直投影与三视图在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。
根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。
4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。
【精选】立体几何平行垂直所有判定定理和性质定理
①面面平行→线面平行（面面平行性质定理1） ②面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
复习 空间中的垂直关系
判定直线与直线垂直的方法：
① 定义(成角90°) ② 线线平行→线线垂直（a∥b，a⊥c则b⊥c） ③ 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义）
直线和直线垂直的性质：
① 线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理）
复习 空间中的平行关系
判定直线与直线平行的方法：
① 定义(在同一平面内且不相交的两条直线) ② 平面几何方法： ③ 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ④ 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ⑤ 面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
直线和直线平行的性质：
① 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 线线平行→面面平行（面面平行判定定理推
论2）
判定平面与平面垂直的方法
①定义 ②线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理）
平面与平面垂直的性质
①面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理）判定直线与平面垂直的方法：
①线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理） ②面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理） ③线线平行→线面垂直（线面垂直判定定理推论1）
直线和平面垂直的性质：
① 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义） ② 线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理） ③ 线面垂直→线线平行（线面垂直判定定理推
论）
判定直线与平面平行的方法：
① 定义（直线与平面没有公共点） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 面面平行→线面平行（面面平行性质定理1）
直线和平面平行的性质：
① 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ② 线面平行→面面平行（面面平行判定定理）
直线、平面垂直的判定与性质
两个平面垂直,如果一个平面
性质 内有一条直线垂直于这两个
定理 平面的 交线
,那么这条直
线与另一个平面垂直
α ⊥ β,
α⋂β = a,
b⫋β,
b⊥a
b ⊥α
⇒______
3.直线与平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和
这个平面所成的角.
(2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°].
O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平
面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所
在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角
为(
)
A.20° B.40°
C.50° D.90°
答案B
解析由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.
4.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形叫作二面角.
(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱
垂直 的射线,则两射线所成的角叫作二面角的平面角.
常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
由m∥β,β⊥α,可得m∥α或m与α相交或m⫋α,故B错误;
3直线、平面平行、垂直的判定与性质.docx
一.《考纲》要求以立体儿何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线垂直的有关性质与判定定理.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.二.命题方向线而平行、而而平行的判定及性质是命题的热点.着重考查线线、线而、而而平行的转化及应用.题型多以选择题与解答题.三.知识解析（一）直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行判定定理：平而外-•条直线与此平而内的一条直线平行，则该总线与此平而平行.注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行.这是处理空间位査关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）.直线与平面平行判定定理的符号表示：a （Za fb u a , .fl. a // b => a // a .直线与平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.注：在线与平面平行的性质定理揭示了在线与平面平行屮蕴含着肓•线与直线平行.通过肓•线与平面平行町得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的的重要方法.（二）面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一•个平面平行，则这两个平面平行.平面与平面平行的判定定理的符号表示：QU0, bu0, ap\b = P, alia, b // a => // a .平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平而同时和第三个平而相交，那么它们的交线平行.注：平面与平面的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行.（三）直线与平面垂直1.直线与平面垂直直线/与平而&内的任意一条直线都垂直，就说直线/与平而&互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论在平面内的一条直线，如果与这斜线的対影垂直，那么它也与这斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果与这斜线垂直，那么它也与这斜线的射影垂直.4.直线与平面所成的角平而的一条斜线和它在平而内的射影所成的锐角叫做这条总线和这个平而所成的角.如图①, 03<a<90°.当直线与平面平行或在平面内时，规定肓线与平面成角为0。
直线、平面垂直的判定及其性质课件
Page 1
【2013 年高考会这样考】 1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题 或充要条件相结合． 2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能 力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力． 3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、 定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性 质和判定定理的简单命题．
Page 2
【复习指导】 1． 垂直是立体几何的必考题目， 且几乎每年都有一个解答题出 现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题， 立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知 识，基本方法，基本能力． 2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本节中“化归”思想 尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察 与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．
Page 24
考向三 平行与垂直关系的综合应用 【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. [审题视点] EFC. 第(1)问需证明EF∥AD；第(2)问需证明BD⊥平面
Page 25
A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直 解析 由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 答案 D
Page 10
2．(2012· 安庆月考)在空间中，下列命题正确的是( A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
Page 3
平行线与垂直线的认识与判定
平行线与垂直线的认识与判定平行线与垂直线是几何学中常见的概念，它们在解决问题时有着重要的作用。
本文将从认识与判定两个方面来探讨平行线与垂直线的特点和应用。
一、平行线的认识与判定平行线指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
我们常用以下几种方法来判定两条线段是否平行：1. 重合法则：若两条直线所在直线重合，则它们是平行线。
重合法则的判定依赖于给定的线段，如A线段与B线段重合，则可判定A线段与C线段平行。
2. 利用平行线的性质：若两条直线分别与第三条直线相交，且这两个交点分别在该直线的两侧，那么这两条直线平行。
3. 使用平行线判定定理：若两条直线分别与另一条直线相交，而对应的内错角相等或对应的同旁内角相等，则这两条直线平行。
二、垂直线的认识与判定垂直线指两条直线在平面内相交且互相垂直的现象。
我们可以通过以下几种方法来判定两条直线是否垂直：1. 利用垂直线的性质：若两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 使用垂直线的判定定理：若两条直线分别与一直线相交，而对应的内错角相等，则这两条直线垂直。
3. 利用直角的性质：若两条直线上的一对对应角互为直角，则这两条直线垂直。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 地图测量：在地图上，我们常常需要通过两条平行线或垂直线的交点来确定位置或测量距离。
2. 建筑设计：建筑师在设计建筑物时需要使用平行线和垂直线确保建筑物的结构稳固和外观美观。
3. 道路规划：交通规划师使用平行线和垂直线来规划道路，确保车辆行驶安全和交通流畅。
4. 数学问题解决：在解决数学问题时，我们经常需要利用平行线和垂直线的特性来推导和证明结论。
以上只是几个平行线与垂直线在实际应用中的例子，它们在许多其他领域也有重要的作用。
总结：平行线与垂直线是几何学中的基本概念，了解它们的认识和判定方法对于解决问题和应用知识都具有重要意义。
通过本文的介绍，我们能更好地理解和运用平行线与垂直线在几何学中的应用，同时也增加了对几何学的基础知识的掌握和理解。
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 1 -
姓名 李正才 学生姓名 填写时间 2012- - 学科 数学 年级 教材版本 人教版 阶段 观察期□：第（ ）周 维护期□ 课时统计 第（ ）课时 共（ ）课时
课题名称 上课时间
教学目标 同步教学知识内容 直线、平面平行的判定及其性质、垂直的判定及其性质 个性化学习问题解决 教学重点
教学难点
教学过程 课后作业 备注 提交时间 教研组长审批
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 2 -
1.直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言为：.
2.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 这个定理用符号语言可表示为：
这个定理用图形语言可表示为：如图3.
1.下列命题中，正确命题的个数是 . ①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥;②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m⊥，m⊥n，则n∥ ②若m∥，n∥，则m∥n ③若m，n∥，则m∥n ④若m、n与所成的角相等，则m∥n
4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 3 -
①若a∥b,b,则a∥; ②若a∥b,a∥,则b∥; ③若a∥,b∥,则a∥b. 其中真命题的个数是 .
5.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN∥平面AA1C1.
例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面. 已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点. 求证：EF∥面BCD.
变式训练 如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 4 -
例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． 求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
例3. 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点. 图6 求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
B A D C P N
Q M
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 5 -
变式训练 已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.
思路2 例题1. 设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8, （1）证明PQ∥平面AA1B1B； （2）求线段PQ的长.
变式训练 已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 6 -
例2：如图 2，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 在 AB1 上，F 在 BD 上，且 B1E＝BF， 求证：EF∥平面 BB1C1C
例 3：已知：有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD 上的点，且 AP＝DQ，求证：PQ∥平面 CBE.
考点2.平面与平面平行的判定与性质 一.知识回顾: 没有公共点——两平面平行 1.两个平面的位置关系有两种： 有一条公共直线——两平面相交
2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.
cba
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 7 -
定理的模式：//////ababPab 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推论模式：,,,,,,//,////abPababPabaabb
3.两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
4. 两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
例1 已知正方体ABCD—A1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1∥平面BDC1.
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 8 -
变式训练 如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG.
例2．正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
例3、已知平面||平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B 、D，且PA=6，AC=9, PD=8;则BD的长为（ ） A、16 B、24或524 C、14 D、20
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 9 -
变式训练 1－1.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过 P 点的两条直线分别交α于 A、B，交β于 C、D，且 PA ＝6，AC＝9，AB＝8，则 CD 的长为_______.
例4、正四棱柱1AC的底面边长为3，侧棱长为4，则两平行平面DCA11与平面CAB1的距离是
例5、是ABC所在平面外一点，'''CBA、、分别是PABPCAPBC、、的重心， （1）求证：平面ABCCBA平面||'''; (2)求ABCCBASS:'''
直线、平面垂直的判定及性质 4 定义： 直线l与平面α垂直记作：l⊥α
5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
6．直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 10 -
7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
9 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
推理模式： ,,POOPAAaAOaaAP．
例1．、表示平面，a、b表示直线，则//a的一个充分条件是 （ D ） ()A，且a ()Bb
，且ba//
)(Cba//，且//b ()D//，且a
例2．在直四棱柱1111ABCDABCD中，当底面四边形ABCD满足条件ACBD时， 有111ACBD（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
aPOA
乐优·乐佳教育
乐 佳 教 育 关爱成就梦想
- 11 -
例3．若三个平面,,，之间有，，则与 （ ） ()A垂直 ()B平行 ()C相交 ()D以上三种可能都有
例4．已知，是两个平面，直线l，l，设（1）l，（2）//l，（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( ) ()A0 ()B1 ()C2 ()D3
例5、若有平面lPPl,,,＝，且与则下列命题中的假命为（ ） A、过点P且垂直于的直线平行于； B、过点P且垂直于l的平面垂直于； C、过点P且垂直于的直线在内； D、过点P且垂直于l的直线在内；
例6． 如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
图9 例7. （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.