计算方法李桂成习题答案
计算方法各习题及参考答案
第二章数值分析已知多项式p(x) X1 X3 X2 X 1通过下列点：p(x)试构造一多项式q(x)通过下列点:表中p2(X)的某一个函数值有错误，试找出并校正它•答案：函数值表中P2( 1)错误，应有P2(1)O •利用差分的性质证明12 22n2 n(n 1)(2n1)/6 ・当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]近似函数e x时，使用多少个节点能够保证误差不超过1 1062答案：需要个插值节点・设被插值函数f(x)C4[a,b] 出(叫x)是f(x)矢于等距节点baa Xo X1 Xn b的分段三次艾尔米特插值多项式，步长h •试估计n22I I f (x) H3(h)(x) I I .答案：| |f(x) H3(h) (x) | | M4 hl384第三章函数逼近求f(x) sin x, x [0, 0. 1]在空间span{l, x, x2} ±最佳平方逼近多项式，并给岀平方误差.答案：f (x) sin x的二次最佳平方逼近多项式为-52 sin x p2(x) 0. 832 440 7 10-5 1.000 999 lx 0. 024 985 lx2,二次最佳平方逼近的平方误差为0. 12 2 -12_ (sin x) p2 (x)) dx 0. 989 310 7 10~12・确定参数a, b和c ,使得积分[ax2 bx c 1 ] dx取最小值.l(a,b,c)求多项式f (x) 2x' x3 5x2 1在[1, 1]上的3 次最佳一致逼近多项式p(x) •8 10 a , b 0, c 33答案：f(X)的最佳一致逼近多项式为P(X) ； 7；4用幕级数缩合方法，求f (x) e s ( 1 x 1)上的3次近似多项式p6,3 ( x),并估计I f (x) P6,3(X)I ・答案：23 pe,3 ( x) 0. 994 574 65 0. 997 39583x 0. 542 968 75x2 0. 177 083 33x3,:f (x) P6,3 (x) | | 0. 006 572 327 7J求f (x) e s ( 1 x 1)上的关于权函数(x)的三次最佳平方逼近多1 X"项式S3 ( X),并估计误差I f(X)S3(X)〔2 和I I f(X)S3 (x) I •咎23、口Ss(x) 0. 994 571 0. 997 308x 0. 542 99lx2 0. 177 347 x3,丨丨 f (x) Ss(x) | 12 0. 006 894 83 , | | f (x) Ss( x) | | 0. 006 442 575 ・第四章数值积分与数值微分用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分x n dx (n 1, 2, 3, 4),并与精确值比较答案：计算结果如下表所示式具有的代数术青度.版权文档，请勿用做商业用途h(1 ) h f (x) dx Aif ( h) Ao f (0) Ai f (h)X1(2 ) if (x) dx [f ( 1) 2f (xi) 3f (x?)]乜11 h 2(3) o f (x)dx 2h[ f (0) f (h)] h2[ f (0) f (h)]答案：(1)具有三次代数精确度(2)具有二次代数精确度(3)具有三次代数精确度. a h xi xo ,确定求积公式X12 31 (x xo) f (x) dx h2EAf (xo) Bf (xi) ] h3[Cf (xo) Df (xi) ] R[f]X中的待定参数A, B, C, D ,使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式.2/103)取7个节点处的函数值.用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算 】山心砥•要求积分13 1610 3和10 6・版权文档，请勿用做商业用途 22 Ts 0. 946满足精度要求；使用复化辛浦生公式时,2 0J 田上述i 公武推导帶修忑项韵営化梯形求积公式K2 其中余域(x)dx= [占(xd 予 CxoH ， &b).为 T N h [f po) 2f (xi) 2f (X2) 2f (XN 1) f (XN )],Xi xo in, (i 0, 1, 2, , N), Nh XN XO •$ x 9、用龙贝格方法计算椭圆 / y 2 1的周长，使结果具有五位有效数字. o 4 答案：1 41 9. 6884 .验证高斯型求积公 e f (x) dx Ao f (xo) Ai f (xi)的系数及节点分别为式f<4)()h 6,其中答案：A 3 , B 7 , C 30 20 1440 P2(x)是以 0, h, 口2h •为插值上的二次插值多项式，用3h0 f ( x)dx 的数值积分公式Ih,并用台劳展开法证明：P2 (x)导岀计算积分h 4 f (0) 0(h 5) • 8Ih 0 P2(X )dx°4给定积分Ih[ f(0) 3f (2h)]'sin x dx(2) (3)答5运用复化梯形公式#算上述积分值，使其截断误差不 聲萝改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？亠 10 “ •2取同样的求积节 要求的截断误差不超过106,若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ (1)只需n 7.5，取 9个节点，I 0. 946 ba 4 ⑷"41 6h 1 f ⑷()2) |Rn[f]| |2880 2880 4 5(V 0. 271 10 6 用事后误差估计法时，截断误不超过答案：使用复化梯形公式时，I S4 0. 946 083满足精度要求. f (1) (x) dx插值公式推导带有导数值的求积公式(b i2a )[f (b) f (a)] R[f],其中 确定高斯型求积公式0 xf (x) dx Aof (xo) Aif (xi)闻 xo , xi 及系数Ao,Ai.答案：xo 0. 289 949xi 0. 821 162 , Ao 0. 277 556, Ai 0. 389 111. 利用埃尔米特 b%ba[f(R f 山)]Ao 2： 2S Ao 2： 21x 0 2 2, Xi 2 2 . 第五章解线性方程组的直接法1 11用按列选主元的高斯若当消去法求矩 A 的逆矩阵’其中A21 01 1 0答案：用追赶法求解三对角方程组21 X11 131X22111X3221x4欣X4 2, X3L X2 1， XI 0 .第六章解线性代数方程组的迭代法X! 8X2 7X! 9X2 8作简单调整，使得用高斯一赛得尔迭代法求解时对任9x1 X2 X3 7 意初始向量都收敛，并取初始向量X （O ） [0 0 0]T使（k 1）k （）3||x （k bx k （）|| 10.3版权文档，请勿用做商业用途答案：近似解为X” [1.0000 1. 0000 1. 0000] T . 6 . 2讨论松弛因子1. 25时，用方法求解方程组1020X150101x231243x3170103x4答案: xi 2、X3 2X 21,Xi 1.411XI6 1 4. 25 2. 75X20. 512. 753. 5 X31. 25 答 xi 2X2X3用平方根法（分解法）求解方程组3用矩阵的直接三角分解法解方程组4x1 3x2 16 3xi 4x2 X3 20X2 4x312〔121，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯-赛得尔迭代法收敛・12 1 123 0 2 X1bi6・4 设有方程组0 21X2b 2讨论用雅可比方法和咼斯一赛得尔方21 2 X3b3法解此方程组的收敛性•如果收敛，比较哪种方法收敛较 版权文档，请勿用做商业用途为6 . 3给定线性方程组Ax b,其中答案：雅可比方法收敛，高斯一赛得尔方法收敛，且较快.6. 5设矩阵A 非奇异.求证：方程组Ax b 的解总能通过高斯一赛得尔方法得到. …Aaij n n 为对称正定矩阵，对角阵D diag (an, a22 , , ann)・求证：高斯u 一赛得尔方法求解方程组D 2 AD 2x b 时对任意初始向量都收 敛.第七章非线性方程求根例7. 4对方程3x 2 e s 0确定迭代函数(x)及区间［a, b ］,使对xo ［a, b ］,迭代过程 XR i (x), k 0, 1, 2,均收敛，并求解.要求 xk 1 xk | 10x X? 0.458960903 •在［3, 4］上，将原方程改写为e x 3 x 2 ,取对数得性条件，则迭代序列xki In(3 xk 2 ), k 0, 1,2,在［3, 4］中有惟一解.取x 0 3.5 , x xie 3.733067511 •例7 . 6对于迭代函数(x) x c(x 2 3)，试讨论：的收敛性・若收敛，则取 x (0)[0 0 0]T迭代求解，使 ||x (I )x (k)1104-X1 1.50001，X2 答案：方程组的近似解3.33333，X32.16667 •答案：若取(X )e 2 ,则在［1,0］中满足收敛性条件,因此迭代法e 2k , k 0,1,2,在（1,0）中有惟一解•取 X0 0. 5， 3取(X )9 e"i,在［0 ,上1满足收敛性条件， 迭代序列1Xk 1 k 1 03k 0, 1, 2,在[0,1]中有惟一解.取 xo 0. 5,X X140.910001967x 2 ) (x)・满足收敛x In （3(1)当c为何值时，x kl (x k)产生的序列｛x k｝收敛于3；(2)c取何值时收敛最快？顿法收敛，证明牛顿迭代序列｛Xk ｝有下列极限矢系：l k im xk i 2xk xk i第八章矩阵特征值用乘幕法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已矢口 5 5 0 A 0 5. 5 1，要求 x (k)| 10 6,这里 严表示|的第k 次近似值.3 1答案：1 5 ,对应的特征向量为[5,0,0] T :2 5 ,对应的特征向量为[5, 10, T 5 ・]1 1 0＞彳 2的按模最小的特征12例7设不动点迭代xki (x)的迭代函数(x)具有二阶连续导数，/是(x)的不动1 1 5取C,力別If 鼻(X 丿旳个动点3 '妥吞| XkiXkl 1U- •3) 223(1 ) c (,0)时矗代收敛•答案： 31c 时收敛最快• O 、 233)分别取c 1,123，并取xo1.5，计算结果如下表7• 7所示yk点，且(X*) 1,证明迭代式(xk ) , Zk (xk )(yk x k )2 , k 0, 1, 2,二阶收敛于x"・版Xk 1 Xk Zk 2yk Xk权文档，请勿用做商业用途 例设(x) x p(x) f (x) q(x)f 2)，试确定函数p(x)和q(x),使求解f (x) 0且以(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收 敛.案:p(x) f X (x )・ q(x) ；[f f (W]3例7设f (x)在[a, b]上有高阶导数,x* (a, b)是 f(x) 0的m(m 2)重根，且牛知A 的按模较大的特征 值用反幕法求矩阵A的近似值为15,用p 5的原点平移法计算1及其对应的特征向量.版权文档，请勿用做商业用途 答案：0 A 的按模最小的特征值为3 0. 238442812212第九章 微分方程初值问题的数值解法用反复迭代(反复校正)的欧拉预估一校正法求解初值问题y © 0] 0<x 0.2 5 ,要求取步长h 0. 1,每步迭代误差不超过10 5 .答案:Y y(0. 1) yi y 】⑷ 0. 904 762 , y(0. 2) y 2 y?⑷ 0.818 594267 一x y , 0<x 0. 4用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题"“ “嗜厲汀⑹1长h 0.2,运算过程中保留五位小数). 计算得用平面旋转变换和反射变换将向量X [23 0 5] T 变为与 ei [1 0 0 0]T 平行的向量.2/ 38 3/ 385/ 38答案： T3/ 13 2/ 13 0 00 1 010/ 49415/ 4940 13/4940. 324 442 840 0. 486 664 262 0 0. 811107 1040. 486 664 2620.812 176 0480 0.298 039 922H10.811 107 104 0. 298 039 922 00.530 266 798然后用QR 方法求A 的全部特征值.4 4 5答案：取5 2. 234375即有2位有效数字. 532若A 6 4 4 ,试把A 化为相似的上阵， 值， 21n 0 时，Ki 1.000 00, K2 1. 200 00, y(0. 2) yi=l. 240 00n 1 时，Ki 1. 737 60, 用二阶休恩格式, K 2 2. 298 72, 取初值yo 1计算得y(0. 4) y 2 =1. 699 740 1 5. 1248854 ,对应的特征向量为(8) _设方阵A 的特征值都是实数，且满足 n)时， [0.242 4310, 1 , 0. 320 011 7],为求1而作原1 2 n,点平移'试证：当平移量P 2,(2幕法收敛最快•用二分法求三对角对〈方 A的最小特征 使它至少具有2位有212 答案：用二阶中点格式，取初值yo 1n 0 时，Ki 1.000 00, Ka 1.266 67, y(0.2) yi=1.240 00n 1时，Ki 1.737 60, Ka 2.499 18, y(0.4) y 2 =1.701 76用如下四步四阶阿达姆斯显格式 y n 1 y n h(55f n 59 fn 137fn2 9fn 3)/24求初值问题y x y, y(0) 1在［0,0.5］上的数值解•取步长h 0.1 小数点后保留8位•答 y(0.4) y 40.583 640 216 ‘ y(0.5) y 51.797 421 984 ・ 为使二阶中点公式ym yn hf(Xn h 2h,yn h f(Xn, yn))，求解初值问题2 n nh 的大小应受到的限制条件・hf (Xn,yn)用如下反复迭代的欧拉预估T&榴式 yn (k 11) yn h[f(Xn,y n ) f(Xn1,y n (k)1)］'k 0,1,2,; n 0,1,2,求解初值问题心讪•小时，如何选择步长h ，使上述格式矢于k 的迭y(0) 1代收敛•2答案：h 时上述格式尖于K 的迭代是收敛的・e求系数a,b,c,d ，使求解初值问题y f (x, y), y(xo) a 的如下隐式二步法 yn2aynh(bfn2Cfmdfn)的误差阶尽可能高，并指出其阶数•高'为五阶。
计算方法_习题集(含答案)
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
11.求公式 的代数精度。
12.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度。
13.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
11.解：取 代入公式，得到：
当 左边=1，右边=1。当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ,当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ，
所以公式具有三次代数精度。
12.解：令 ，代入积分公式，有
解之： ,积分公式为： ，
由于当 时，左= 右= ,
所以积分公式具有一次代数精度。
13.解：令 ，代入积分公式，有
16.解：增广矩阵的变换为
，
等价于方程组：
，解之， 。
17.解：消元过程： ，
回代可求出： 。
18.解：
，
， ，
，
所以
19.解：增广矩阵变换为：
等价于方程组
， 所以，方程组的解为
20.解：
等价的三角方程组为
回代可得 。
21.解：迭代格式： ， ，
。 ，所以迭代不收敛.
22.解：因为系数矩阵 是严格的对角占优矩阵，
21.对于方程组 ，写出 迭代的迭代格式并判断是否收敛。
22.对于方程组 ，分析Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代的收敛性。
23.设线性方程组的系数矩阵为 ，求能使Jacobi迭代收敛的 的取值范围
24.用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代于方程组 是否收敛？为什么？若将两个方程对调，结论又如何？
计算方法：第4章习题答案
第四章 习题答案1。
用Gauss 消去法解方程组12312312323463525433032x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对其进行Gauss 消去得123234414726002x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭得方程组12312323323461314482224x x x x x x x x x ++=⎧=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-=-⎪⎩ 2。
用Gauss 列主元素消去法解方程组1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12r r ↔−−−→1231070732645156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21311310122310707161061010550522r r r r x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23r r ↔−−−→12310707550522161061010x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭32125r r +−−−→1231070755052231310055x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到方程组12123233107705551221313155x x x x x x x x ⎧⎪-==⎧⎪⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩ 3。
计算方法教程(第2版)习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯ 4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d l t t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x y e ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．Tx )2,1,3(= b ．Tx )1,2,1,2(--= c ．无法解 2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
[电子教案]计算方法 (27)
![[电子教案]计算方法 (27)](https://img.taocdn.com/s3/m/6340b2056c85ec3a87c2c57c.png)
p( x ) a 00 ( x ) a11 ( x ) ... a m m ( x )
《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
m n
6.7.2
4
将6.7.2 式代入6.7.1式中，使误差平方和 2 取最小
2
值问题可转化为求下列 多元函数：
F(a 0 , a1 ,..., a m ) a j j ( x i ) y i i 0 j 0
《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
5
记离散意义下函数的内 积符号：
, (x )
j k j i i 0
n
k
(x i )
f , k yi k ( x i ) d k
则6.7.3式可写为：
i 0
n
(
j 0
n
k
, j )a j d k
6.7.5
实际计算与理论分析表 明，当n较大时，方程组
6.7.5为“病态”方程组。
8 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
求拟合多项式的步骤为 : (1)由给定的数据在坐标纸上描点，根据点的分布确定 拟合多项式的次数n (2)求解正规方程组 6.7.5 式，求出系数ai (3)写出拟合多项式S ( x )
3 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
2
6.7.2最小二乘法原理与多项 式拟合
对于给定的一组数据x i , y i
平方和：
2 2
i 0,1,2,..., n 在函数类
0 ( x ), 1 ( x ),..., m ( x ) 中寻求一个函数 ( x )，使误差 p
2 m
计算方法：第1章习题答案
1.已知 ，求 的 插值多项式。
解：由题意知：
2.取节点 对 建立 型二次插值函数，并估计差。
解
3.已知函数 在 处的函数值，试通过一个二次插值函数求 的近似值，并估计其误差。
解：
（1）采用Lagrange插值多项式
其误差为
（2）采用Newton插值多项式
根据题意作差商表：
一阶差商
二阶差商
0
4
3
节点等距
其中， 均为三次多项式，且满足条件
如何得来？
依条件可设 ，由 可得：
同理， 为什么这么设？
误差为：
解法2：用承袭性构造
由条件 先构造一个二次多项式
作差商表：
一阶差商
二阶差商
0
0
1
1
1
2
1
2
2
9
7
3
于是有：
令所求插值多项式
利用剩下的一个插值条件 ，得
为什么？
由此解出
故有
19．求作满足条件 的插值多项式 。并给出插值余项。
解：令
利用插值条件 定出：
注意到这里 是三重零点， 是单零点，故插值余项为
20．求作次数 的多项式 ，使满足条件
并列出插值余项。
解法1：由于在 处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在 处有直到二阶导数值的插值条件所以 是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：
可以作出差商表
一阶
二阶
0
1
2
4
1
9
23
3
解：
（1）Lagrange插值多项式
=
=
=
=
（2）Newton插值多项式
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
计算方法教程(第2版)习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d l t t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x y e ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432 +⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．Tx )2,1,3(= b ．Tx )1,2,1,2(--= c ．无法解 2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond 524)(748)()(22221===∞A Cond A Cond A Cond⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000 180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000 ,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x LNewton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
(完整版)计算方法练习题与答案.doc
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.x *–12.0326 作为 x 的近似值一定具有6 位有效数字，且其误差限1 10 4( )2。
2. 对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )x 24.1( )用2近似表示 cos x 产生舍入误差。
5. 3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题y 123 4 9x 1231.为了使计算x 1x 1的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；2. x * –0.003457是 x 舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题1． x * –0.026900作为 x 的近似值，它的有效数字位数为 ( ) 。
(A) 7；(B) 3；(C) 不能确定(D) 5.2．舍入误差是 ( )产生的误差。
(A) 只取有限位数(B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量(D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示 e x 所产生的误差是 ()误差。
(A). 模型(B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入1．用 * 22 表示自由落体运动距离与时间的关系式(g 为重力加速度 )，s t 是在4s =gt时间 t 内的实际距离，则 s t s * 是（ ）误差。
(A). 舍入(B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5． 1.41300作为 2 的近似值，有 ( )位有效数字。
(A) 3 ；(B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题221． 3.142，3.141， 7 分别作为 的近似值，各有几位有效数字？2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：11 x, | x | 1x 11 dt | x |1(1) 1 2x 1 x， (2) x1 t 2(3) ex1, | x | 1，(4)ln(x 2 1 x) x114．真空中自由落体运动距离 s 与时间 t 的关系式是 s= 2 gt 2，g 为重力加速度。
《计算方法》练习题及答案
《计算方法》练习题及答案1. 单选题1. 数值3.1416的有效位数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6正确答案：C2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。
A. 零B. 一C. 二D. 三正确答案：A3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A. 超线性B. 平方C. 线性D. 三次正确答案：C4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（）A. 使残差的最大绝对值为最小B. 使残差的绝对值之和为最小C. 使残差的平方和为最小D. 是残差的绝对值之差为最小正确答案：D5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。
A. AB. BC.CD. D正确答案：B6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（）A. xB. x+1C. x-1D. x+2正确答案：B7. 题面如下，正确的是（）A. 2B. 3C. -2D. 1正确答案：B8. 题面如下图所示，正确的是（）A. AB. BC. CD. D正确答案：D9. 用列主元消去法解线性方程组,A. 3B. 4C. -4D. 9正确答案：C10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。
A. nB. n+1C. n-1D. n*n正确答案：C11. 线性方程组的解法大致可以分为（）A. 直接法和间接法B. 直接法和替代法C. 直接法和迭代法D. 间接法和迭代法正确答案：C12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。
A. 牛顿法B. 下山法C. 弦截法D. 迭代法正确答案：A13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：D14. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：C15. 所谓松弛法，实质上是（）的一种加速方法。