微积分(上)模拟试卷一
微积分 上 下 模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《微积分（上、下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、设函数()f x 的定义域是[]0,4，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列nn n)211(lim +∞→的极限为（ ）。
[A] e 4 [B] e 2 [C]e[D] e 33、函数y = ）。
[A] ()21,,y x x =+∈-∞+∞[B] [)21,0,y x x =+∈+∞[C] (]21,,0y x x =+∈-∞[D] 不存在4、1arctany x=， 则dy =（ ）。
[A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25][A] 21dx x + [B] 21dxx -+ [C] 221x dx x +[D]()221dxx x +5、xx xx sin cos 1lim0⋅-→=（ ）6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。
[A][B]1x ； [C] 不存在[D]7、函数4334+-=x x y 的二阶导数是（ ）。
[A] 2x [B] 21218x x - [C] 3249x x -[D] x 128、21lim 1xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）9、已知()03f x '=-，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆（ ）10、函数1()()2x xf x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠[C](){},0x y x y +>[D](){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞12、幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域是（ ）[A] -1 [B] 0[C] 1/2[D] 不存在[A] 2e -[B] e[C]2e [D] 1[A] 12 [B] -12[C]3[D] -3[A] 1[B] -1[C]0[D] 不存在[A] []1,1- [B] [)1,1- [C] (]1,1-[D] ()1,1-13、设)(x f 为],[b a 上的连续函数，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值（ ）14、若f x ax nn n ()==∞∑0，则a n =（ ）15、设(,)f x y 为连续函数，且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =和1x =围成的区域。
微积分模拟试题及答案
三、计算题
1．求f(x)=x/x，phi(x)=|x|/x当x->0时的左、右极限，并说明它们在x->0时的极限是否存在。
2．求微分方程(dy)/(dx)+2xy=xe^(-x^2)的通解
3．设z=lntan(y/x)，求dz
3．设y=2arctan(sqrt(x/(1-x)))，求y’
五、应用题
1．设某商品日产量是x个单位时，总费用F(x)的变化率为f(x)=0.2x+5(元/单位),且已知F(0)=0，求
(1)总费用F(x)
(2)若销售单价是25元，求总利润
(3)日产量为多少时，才能获得最大利润
六、证明题
A．x^2-6x+5
B．x^2-5x+6
C．x^2-5x+2
D．x^2-x
答案：b
二、填空题
1．lim_(n->oo)sqrt(n)(sqrt(n+1)-sqrt(n))=___
答案：1/2
2．f(x)={(ax+b,x<=1),(x^2,x>1):}在x=1处可导，则a=___,b=___
1．设z=arctan(x/y),求证x(delz)/(delx)+y(delz)/(dely)=0
试卷答案
一、单选题
1．已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程f’(x)=0有
A．三个根，分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内
B．四个根，分别为x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4
北语微积分模拟试卷
北语微积分模拟试卷20111. 不是同一个函数的原函数的是（ D. 3ln 2+=x y ）2. 若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )(（ C. C e F x +-)( ） 3. ⎰=-dx x 321（ B. C x +--32ln 31 ） 4. 下列无穷积分中收敛的是（C. ⎰∞+12d 1x x ） 5. 由曲线和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ C. π8 ）6. 当（ C. 11lim <+∞→nn n u u ）时，正项级数∑∞=1n n u 收敛。
7. 下列级数中，（ D. ()-=+∞∑1nn n １ ）收敛。
8. ),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的（A. 必要条件 ）9. 二元函数225z x y =--的极大值点是（ C. (0,0) ）10. 设z y x u =，则=∂∂)2,2,3(yu （ C. 3ln 324 ） 11. 微分方程2()y x y dx x dy +=是（ B. 一阶齐次方程 ）12. 设 2223z x xy y =+-，则2z x y ∂=∂∂（ B. 3 ） 1. x 是（ B. x 21）的一个原函数。
2. =+⎰-+∞→x dx x xe x x )')sin ((lim（ A. 0 ） 3. ⎰⎰=-+=dx x xf C x dx x f )2()(23，则（ B. C x +--32)2(21 ） 4. 设)(x f 为],[b a 上的连续函数，则⎰⎰-b a ba dt t f dx x f )()(的值（ C. 等于零 ）5. 一圆柱形水池，深为h ，半径为a ，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ D. 41 ） 6. 幂级数∑∞=12n n n x nn 的收敛半径R=（ B. 21 ） 7. 若f x a x n n n()==∞∑0，则a n =（ A. f n n ()()!0 ） 8. 函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在的（D. 既非必要也非充分条件）9. 设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32=（ B. 56 ）10. 函数223333y x y x z --+=的极小值点是（ B. （2，2） ）11. 以2312x x y c e c e -=+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为（ D. 60y y y '''+-= ）12. 曲面3=+-xy z e z 在点P (2,1,0)处的切平面方程是（ C. 042=-+y x ）. 1. x 1是)(x f 的一个原函数，则)(x f '=（ A. 32x） 2.=+-=--⎰)()(11x f C e dx e x f x x ，则（ B. 21x - ） 3. ⎰)(cos x xd =（ D. c x x x +-sin cos ）4. 若c x x f x+-=-⎰2e d )(，则)(x f '=（ D. 2e 41x-- ） 5. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ B. 243a π ） 6. 设幂级数()∑∞=-1n n n a x 在点2=x 处收敛，则a 的取值范围为（ C. 31≤<a ） 7. 级数∑∞=⋅1!n n n nn a 收敛时，则（ B. e a < ）8. 设二元函数f (P )=f (x , y ) 的定义域为D ，P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D ，如果),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0) （ C. 连续 ）9. 设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ C. 42 ）10. 已知()=∂∂+∂∂-=-+yf x f y x y x y x f 则22,（ B. y x 22- ） 11. 若1y 和2y 是0y py qy '''++=(,p q 为常数)的两个特解,则1122y c y c y =+(12,c c 为任意常数)是（ C. 方程的解 ）12. 函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D. 既非充分又非必要条件 ）二、【填空题】(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 请将答案填写在答题卷相应题号处。
2019微积分期中模拟考试题(A卷)
2019年秋季学期基础学部大一学生模拟考试(A卷) 课程:微积分考试时间: 2019年11月日学号: 姓名:…………………………………………………………………………………………………………………选择题（每题1分，总分20分）1. 设f（x）在（a,b）内连续，且x0∈（a,b），则在点x0处（）A、f（x）的极限存在，且可导B、f（x）的极限存在，但不一定可导C、f（x）的极限不存在D、f（x）的极限不一定存在2. 当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）A、x1000B、1−cos xC、1−ln x4D、arc tan x3.limsinx√1−cosx3arctan(4√1−cosx3)=( )A、-4B、−12 C、2 D、144. 下列函数中在(-1,1)上满足罗尔定理的函数是（）A、y=|x|B、y=√x23 C、y=x3+1 D、y=x2+15. 若f(−x)=f(x) (-∞<x<+∞)，在(-∞，0)内有f′(x)>0 , f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有（）A、f′(x)>0，f′′(x)<0B、f′(x)>0，f′′(x)>0C、f′(x)<0，f′′(x)<0D、f′(x)<0，f′′(x)>06. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（）A、3B、52 C、2 D、327. 设y=f(cos x)∙cos(f(x))，且f可导，则y′=（）A、f´(cos x)∙sin x∙sin(f(x))f′(x)B、f´(cos x)∙cos(f(x))+f(cos x)∙[−sin(f(x))]C、−f′(cos x)∙sin x∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)D、f´(cos x)∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)8.设函数y={√1−asin2x−bx2,x≠02,x=0在点x=0处连续，则a+b =（）A、-3B、3C、2D、-29. 设函数f(x)=|x3−1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的（）A、充分必要条件B、必要但不充分条件C、充分但不必要条件D、既不充分又不必要条件10. f(x)与g(x)在R 有定义，f(x)连续且大于0，g(x)有间断点，则f(g(x))、g(f(x))、g(x)f(x)、f(x)g(x)中，必有间断点的函数个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、311. 函数f (x )=1x满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ ） A 、[-2,2] B 、[1,2] C 、[-2,0] D 、[0,1]12. 设函数f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n，则f(x)在(−∞,+∞)内（ ）A 、处处可导.B 、恰有一个不可导点.C 、恰有两个不可导点.D 、至少有三个不可导点. 13. 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x)>0，f ″(x)>0，Δx 为自变量x 在x 0处的增量，Δy 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分.若Δx >0，则（ ）A 、0<dy <ΔyB 、0<Δy <dyC 、Δy <dy <0D 、dy <Δy <0 14. 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是（ ） A 、若lim x→0f(x)x存在，则f (0)=0 B 、若limx→0f(x)+f(−x)x 存在，则f (0)=0C 、若limx→0f(x)x 存在，则f ′(0)存在 D 、若lim x→0f(x)−f(−x)x 存在，则f ′(0)存在 15. 设{x =sint y =tsint +cost （t 为参数），则d 2ydx 2|t=π4 =（ ）A.√2B.2C.4 D .√3 16. 函数f (x )=x 2−x x 2−1√1+1x2的无穷间断点的个数为（ ） A 、0. B 、1 C 、2. D 、3 17. 函数y =ln (1−2x )在x =0处的n 阶导数y (n )(0)=（ ）A 、2n (n −1)!B 、−2n n!C 、2n n!D 、−2n (n −1)!18. 设函数f (x )=(e x −1)(e 2x −2)………(e nx −n),其中n 为正整数，则f′(0)= （ ） A 、(−1)n−1(n −1)! B 、(−1)n (n −1)! C 、(−1)n−1n! D 、(−1)n n!19. 设f ′(x)在[a , b]上连续，且f ′(a)>0, f ′(b)<0，则下列结论中错误的是（ ）A 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) >f(a)B 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) > f(b)C 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f ′(x 0)=0D 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) =020. 下列关于数列{x n }的极限是a 的定义，正确的有（ ）个 ①对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜ε成立②对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜cε成立 c 为正常数 ③对于任意给定的正整数m ，存在正整数N,当n ＞N 时，|x n −a |＜1m成立 ④对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ≥N 时，|x n −a |＜ε成立 A 、2 B 、3 C 、1 D 、4基础学部百思堂 2019年11月2日参考答案1. B[解析] 由函数f （x ）在（a ，b ）内连续的定义知，lim x→x 0f (x )=f (x 0)，因此f （x ）在点x 0处的极限存在，但不一定可导如：f （x ）=|x|，在x =0处连续，但是不可导 2. C[解析] x1000与x 同阶，1−cos x 等价于x 22，1−ln x 4等价于−x 4，arc tan x 与x 同阶，所以c 为高阶无穷小3. D[解]lim sinx √1−cosx 3arctan(4√1−cosx 3)=lim sinx √1−cosx34√1−cosx3-lim 4√1−cosx3=lim x→0(e sinx −1)4(x 22)13+14-lim x→0sinx4(x 22)13=144. C5. C [解析] f(-x)=f(x)，则−f ′(−x )=f ′(x )所以，f 1(x )为奇函数，同理，f ′′(x )为偶函数，已知在(-∞，0)内有f ′(x )>0 , f ′′(x )<0则有χϵ(0,+∞)时f ′(x )<0，f ′′(x )<06. C[解析] ∵f （x ）=ax 2+bx+c∴f ′（x ）=2ax+b ，f ′（0）=b ＞0 ∵对任意实数x 都有f （x ）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2-4ac ≤0即 b 2≤4ac b ≤2√acf (1)f ′(0)=a+b+c b =1+a+cb≥1+2√acb≥1+bb =27. C[解析] 复合函数求导 导数的四则运算y`=[f(cosx)]`cos(f(x))+f(cosx)[cos(f(x))]`=f`(cosx)(-sinx)cos(f(x))+f(cosx)[-sin(f(x))]f`(x) =-f`(cosx)sinxcos(f(x))-f(cosx)sin(f(x))·f`(x) 8. A 9. A[解析] 若|x 3−1|φ(x)在x=1处可导，则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h所以lim h→0+h 3+3h 2+3h h φ(h) = lim h→0−−h 3−3h 2−3hhφ(h) 所以必有lim h→0φ(x)=0若φ(x )=0 则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h= 0所以，在1处可导所以，充要条件 10. B[解析] 对于f(g(x))， g(x)有间断点，但只要f(x)为常函数，则f(g(x))无间断点；对于g(f(x))，只要间断点小于等于0，因为f(x)＞0，则间断点无法取到； 对于g(x)/f(x)，f(x)>0，g(x)有间断点，则一定有间断点；对于第四个复合函数，仍然可以考虑常函数来举出反例 11. B 12. C[解析]当|x |<1时，f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n=1；当|x |=1时，f(x)=lim n→∞√1+1n=1；当|x |>1时，f(x)=lim n→∞|x|3(1|x|3n+1)1n=|x |3.即f(x)={−x 3,1,x 3,x <−1,−1≤x ≤1,x >1. 可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).13. A[解析]因为f ′(x)>0, 则f(x)严格单调增加f ″(x)>0,则f(x)是凹的又Δx >0,故0<dy <Δy 14. D[解析]本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
兰州财经大学微积分一期末考试模拟卷子
兰州财经大学第一学期期末模拟考试数学分析 试卷题号 一二三四五六总分得分一、单项选择题（16分，每小题2分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim n n x →∞=，则为（ ） A.0B.1C.12D.22、设函数()f x 处处可导，且'(0)1f =，并对任何实数x 和h ，恒有()()()2f x h f x f h hx +=++，则'()f x =（） A.21x + B.1x + C.xD.xe 3、已知函数2()2lnf x x x =−，则下列说法正确的是（ ）A.在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减B.在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增C.在整个定义域()0,+∞上递增D.在整个定义域()0,+∞上递减4、'()'()f x g x >是()()f x g x >的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件得 分 评卷人5、若lim n n a a →∞=，且0a ≠，则当n →∞时（ ）A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >−D. 1n a a n <−6、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则（ ） A.(0)0f =且'(0)f −存在 B.(0)0f =且'(0)f +存在C.(0)f c =且'(0)f −存在D.(0)f c =且'(0)f +存在7、当0x →时，用“()o x ”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） A. 23()()x o x o x ⋅= B.23()()()o x o x o x ⋅=C.222()()()o x o x o x += D. 22()()()o x o x o x +=8、若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，且lim()0n n n a b →∞−=，则lim n n a →∞与lim n n b →∞的关系为（ ）A ．lim n n a →∞与lim n n b →∞都存在B.lim n n a →∞存在，lim n n b →∞不存在C.lim n n b →∞存在，lim n n a →∞不存在D.lim n n a →∞与lim n n b →∞存在且相等二、填空题（16分，每空2分）1、1220(12)lim ln(1)xx e x x →⎛⎫−+ ⎪= ⎪+ ⎪⎝⎭.2、1lim(1)xx x→∞+=，sin limx xx→∞=.3、叙述数列的柯西收敛准则得 分 评卷人.4、1lim ()()n n f a f a n→∞⎡⎤+−=⎢⎥⎣⎦.5、函数3,(0,)(,)()sin 21,0,xx f x x x ππππ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩的间断点为，且为第 类间断点.6、已知'(0)1f =，(0)0f =，则1(2)limx f x x→=.三、判断题（6分，每小题1分）1、任何两个无穷小量之积仍为无穷小量，任何两个无穷小量都可以进行阶的比较.（ ）2、当0x 为()f x 的极值点时，必有0'()0f x =.（ ）3、若()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 区间一致连续.（ ）4、导函数单调的函数单调. （ ）5、设函数()f x 在0x =处连续，若0()()limx f x f x x→+−存在，则(0)0f =.（ ）6、曲线43341y x x =−+有稳定点无拐点.（ ）四、计算题（25分，每小题5分）得 分 评卷人 得 分 评卷人1、22111lim()(1)(2)n n n n →∞++++ 2、5lim nn n e→∞ 3、求2cos lim 2x x x ππ→−4、求曲线方程为221x t y t t⎧=−⎨=−⎩， 在2t =处的法线方程.5、求()f x=在0=x处的4次Taylor多项式.五、证明题（17分，第一小题8分，第二小题9分）1、设1()sinf xx=，0x≠，证明极限lim()xf x→不存在.2、设函数f 在区间],[b a 上连续,在区间),(b a 内可导.证明:存在),,(b a ∈ξ使得).()()]()([222ξξf a b a f b f '−=−六、综合题（20分，每小题10分）1、 设函数1sin 0()0mx x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时，f 在0x =连续;（2）m 等于何值时，f 在0x =可导;（3）m 等于何值时，'f 在0x =连续.得 分 评卷人2、讨论函数x xe y −=的性态,并作出其图像.。
【学在交大】大一微积分期中试卷答案
十、讨论函数 f ( x) lim 解：由题意，得
1 x 2n x 的连续性，若有间断点，判别其类型． n 1 x 2 n
x, 0, f ( x ) x, 0, x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
x 0
'
x.
1 ex 1 x 1 1 1 a x lim ， 故令 ， 函数 f x 在 x 0 x 0 x 2 e 1 x0 x e x 1 2
处连续。 又
1 1 1 x 2 e x 1 2 x x e x 1 f x f 0 lim lim x e 1 2 lim x 0 x 0 x 0 x x 2 x 2 e x 1 xe x 2e x x 2 e x xe x 2e x 1 lim x 0 x 0 2 x3 6 x2 e x xe x e x 1 lim x 0 12 x 12 1 故当 a 时 f x 在 x 0 处可导， 2 1 ex ,x 0 x2 2 x e 1 ' 且 f x 1 , x 0 12 x sin x 六、求积分 dx. cos 2 x lim
解： （1）若 F x kx h x ，则 h x F x kx ，其为以 T 为周期的函数的充要条件 是
F x T k x T
即
x T
0
f t dt k x T h x T h t f t dt kx.
x 1
a b x b
3x 1 x 3
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
微积分模拟考试试题及答案
微积分模拟考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3的导数是：A. 6x^2 - 10x + 7B. 6x^2 - 10x + 6C. 6x^2 - 8x + 7D. 6x^3 - 10x^2 + 72. 曲线y = x^2 + 3x - 2在x = 1处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 73. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -cos(x) - sin(x) + CC. cos(x) - sin(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C5. 函数y = ln(x)的反函数是：A. e^xB. x^eC. 1/xD. √x二、填空题（每空1分，共10分）6. 函数f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5的二阶导数是______。
7. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 3在x = 2处的切线方程是______。
8. 定积分∫[1,2] (3x + 1) dx的结果是______。
9. 函数f(x) = 2e^x的原函数是______。
10. 函数y = x^2的反函数是______。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上的定积分。
12. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值点。
13. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
四、解答题（每题10分，共20分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其在x = 1处的泰勒展开式。
15. 利用定积分求曲线y = 2x - 1与x轴围成的面积。
五、综合题（每题15分，共15分）16. 一个物体从静止开始，以初速度0，加速度a = 3t^2（m/s^2）加速运动。
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AP考试模拟试题与答案1-微积分BC- AP Calculus-BC
1
14
(A) (B) 1 (C)
(D) 4 (E) 5
2
16
15. Which of the following is an equation of the line tangent to the curve with parametric equations x = 3t2 − 2, y = 2t3 + 2 at the point when t = 1?
−
d 3)
x
=
n
5x
(A) lim n→0
−3
(x
+
2)(x
−
dx 3)
−2
5x
(B) lim n→− 3 + n
(x
+
2)(x
−
dx 3)
n
5x
(C) lim n→− 2−
− 3 (x + 2)(x − 3) d x
n
5x
(D) lim n→− 3
ห้องสมุดไป่ตู้
−3
(x
+
2)(x
−
dx 3)
−2
5x
(E) lim n→0 n
III. f < 0 on (0, b)
(A) III only (B) I and II only
(C) II and III only (D) I and III only (E) I, II, and III
y f
a
0
x b
Figure 1T-3
7.
∞
1
=
n = 1 (2n − 1)(2n + 1)
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北京语言大学网络教育学院
《微积分（上）》模拟试卷一
注意：
1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1.下列集合表示法正确的是（ ）
[A]｛１，２，２，３｝
[B]｛全体实数｝
[C]｛有理数｝
[D]不等式ｘ２
－５＞０的解集为｛ｘ２
－
５＞０｝
2.下列函数中,y 随x 的增大而增大的函数图象是（ ）
3、()24
lim
1232n n n →∞++++-=⎡⎤⎣⎦ （ ） [A] 0 [B] 1
[C] 2
[D] ∞ 4、3lim(1)3
x x
→+＝（ ）
[A] 1 [B] 2
[C] 3
[D] 不存在
5、设曲线()y f x =在某点处切线方程为()11
223
y x -
=-+，则()2f '-=（ ） [A]
12 [B] 13
[C] 13
- [D] 2-
6、设()ln cos f x x =，则()f x '=（ ）
[A] y=-2x [B] y=
x 5+4 [C] y=-x
2
(x>0) [D] y=-x
6
[A]
1cos x [B] tan x [C] cot x
[D] tan x -
7、求函数22cos ln x x x y +=的微分（ ）
[A] 2x [B] 0
[C] 3
2
49x x -
[D] dx x x x )sin 21ln 2(2-+
8、如果函数)(x f y =满足条件（ ），则区间（a , b ）内至少存在一点ξ，使得
0)(='ξf ,则f (x ) （ ）。
[A]在],[b a 上连续
[B] 在(a, b)内可导
[C] 在],[b a 上连续，在(a, b)内可导
[D] 在],[b a 上连续，在(a, b)内可导，且
)()(b f a f =
9．判断曲线y =ln x 的凹凸性为（ ）
[A] 凸的 [B] 凹的
[C] 无法判断 [D] 无凸凹性
10、函数cos ()2
x
f x =在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
内是（ ） [A] 增函数
[B] 减函数
[C] 不连续的函数 [D] 不可导的函数
二、【填空题】（本大题共10小题，每题2分，共20分；请将答案填写在答题卷相应题号处） 11、 ln x
y x
=
函数在区间（ ）内单调增。
12、0''()0f x = 是曲线()y f x = 在点00(,())x f x 取得拐点的（ ）条件。
13、函数()sin f x x =在[,]ππ-上满足罗尔定理的条件，则罗尔定理结论中的ξ=（ ）。
14、
=]1
[5
x dx d （ ）。
15、设()sin f x x =，则(cos
)2
f π
=（ ）。
16、在曲线ln y x =与直线x e =的交点处，曲线ln y x =的切线方程是（ ）。
17、2
2lim 2
x x x →-＝（ ）。
18、设∑
=++=n
k n k k k x 1)2)(1(1
，n n x ∞
→lim =（ ）。
19、在函数3
2
--=
x x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）。
20、定义集合A-B ={x |x ∈A ,且x ∉B },则当A ∩B =∅时，A -B =（ ）。
三、【计算题】（本大题共4小题，每题5分，共20分；请将答案填写在答题卷相应题号处）
21、已知函数(0.5)(1)((,1]()log ([1,)a
a x x f x x x --∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩在区间（,-∞+∞）内是减函数，
则a 的取值范围？
22、求曲线22sin y x x =+上0x =点处的切线方程和法线方程。
解：y ’=2cosx+2x ，当x=0时，y=0，k=y ’=2，所以切线方程y=2x ，法线方程y=-2x 。
23、求3221lim 53
x x x x →--+。
解： 将2带入：= -7/3
24、求函数y ＝3x ２－x3的凹向区间与拐点？
四、【综合题】（本大题共4小题，每题10分，共40分；请将答案填写在答题卷相应题号处）
25、设()2
211412
x x f x x x x ≠≠⎧
≤⎪⎪
=⎨
-⎪>⎪-⎩且x 0
且x 2
，求函数的间断点，并判断其类型。
解：一导和二导 然后算x=0 1 -2 2 -∞ +∞ 等，然后根据特性分析驻点 拐点 不连续点等
当x ≤1且x ≠0时，
f(x)’= －2／ｘ^3 f(x)’’= 6／ｘ^4 当x ＞1且x ≠2时，
f(x)’
= f(x)’’=
26、求函数()
2
ln 1y x =+的凹凸区间及拐点。
解：求出一导、二导式子，根据凹凸区间和拐点定义来做，不难（我定义忘了），主要就是几个0点、间断点、无意义点、无穷大点等。
f(x)’=
f(x)’’=
27、证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数
),04(2
2>-+c b a 则3
22
22[1()]dy
dx d y d x
+=定数 28、设,2e b a e <<<证明 22
24ln ln ().b a b a e
->-
证：设b=k1*e ，a=k2*e ，则e>k1>k2>1
左边=[ln(k1*e)+ln(k2*e)]*[ ln(k1*e)-ln(k2*e)]=(2+lnk1+lnk2)*(2+lnk1-lnk2) ∵e>k1>k2>1 ∴左边>4
右边=4(k1*e/e^2-k2*e/e^2)=4(k1/e-k2/e)=4(k1-k2)/e<4 又∴左边大于右边，QED。