勾股定理之总统证法简短故事
勾股定理两种主要证明方法
勾股定理两种主要证明方法勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。
在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。
《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”勾股定理现辨认出约有种证明方法，就是数学定理中证明方法最少的定理之一。
下面我们一起来观赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算是经》并作注释时，编定了一幅“勾股圆方图”，也称作“弦图”，这就是我国对勾股定理最早的证明。
年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
方法二：刘徽“青朱进出图”约公元年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（euclid，公元前～公元前）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。
年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发售了一张邮票，图案就是由三个棋盘排序而变成。
方法四：毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯（公元前—前年），古希腊知名的哲学家、数学家、天文学家.将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形abcd，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形abcd．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的`两个正方形洞。
勾股定理的著名证法
勾股定理的著名证法 课外阅读资料2014-2-28勾股定理是一个基本几何定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
……勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代（公元前11世纪）由商高发现，故又有称之为商高定理，在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。
为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
著名的网络科普作家塔米姆·安萨利（Tamim Ansary ）在其近著（10 Great Scientific Discoveries ）中总结了对人类社会发展有重大影响的、最伟大的十个科学发现。
这之中，第一个就为：毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem ） -----------------------------摘自百度百科（整理）下面介绍三种著名的证法：赵爽弦图【一】《几何原本》中欧几里得的证明做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作C L ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠F AB = ∠CAD ，∴ ΔF AB ≌ ΔCAD ， ∵ ΔF AB 的面积等于212a ， ΔCAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积=2b . ∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB∴222c a b =+ ，即222a b c +=【二】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b >a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE , ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90 ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于2c . ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于(b a -∴2214()2ab b a c ⨯+-=. ∴222a b c +=.【三】（1876年美国第20任总统James Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于212c . 欧几里得（几何之父）毕达哥拉斯树 “总统”证法-图。
关于勾股定理的小故事
关于勾股定理的小故事
给你讲个勾股定理的小故事。
话说在古代有个叫毕达哥拉斯的人，这家伙可不得了，是个超级聪明的数学家。
有一天啊，他去朋友家做客，他朋友家的地板那是铺得整整齐齐的正方形瓷砖。
毕达哥拉斯这人啊，眼睛就跟带了放大镜似的，一下子就被地板上的瓷砖吸引住了。
他发现啊，如果把每个小正方形瓷砖的边长看作一个单位长度，那么以瓷砖对角线为边的正方形面积，恰好等于两个小正方形瓷砖面积之和。
这就好比是发现了一个超级大秘密！他就开始琢磨，要是直角三角形的两条直角边分别是这小正方形的边长，那斜边不就相当于那对角线嘛。
于是啊，勾股定理就这么被他发现了，就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
还有个关于勾股定理的趣事呢。
在咱们中国古代，有个叫赵爽的数学家。
他为了能让大家更好地理解勾股定理，就画了一个超级酷的图，叫“弦图”。
这个图就像是用四个直角三角形和一个小正方形拼起来的一个大正方形。
通过这个图啊，一眼就能看出来勾股定理是咋回事，就好像是把这个定理变成了一幅看得见摸得着的画一样。
你看，勾股定理从古代就被这些聪明的脑袋瓜发现了，到现在可都是数学里超级重要的宝贝呢。
不管是盖房子、测量土地，还是在那些超级复杂的科学计算里，都离不开它。
借经典之巧,研变式之妙——由“总统证法”所想到的
（ ）画出拼成 的这个 图形 的示意图， 出它是 １ 指 什 么 图形． （） ２ 用这个 图形证 明勾股定理． 思维简析ｉ１ 是直角梯形（ 图１ （） 如 所示） ． （） ２ 在直角梯形 Ａ Ｃ 中，如 图１ ＢＤ （ ）
一
方 ｓ ＾ ＝ 口 ｂ（＋） 寺 ｃ＋ 面 梯 Ｂ ÷（＋） ｂ ＝ （ ｃ Ｄ ‘ ２
已知 倾斜放 置 的 三个 正 方 形 的面 积 分 别 是 １２ ３ 、、 ，
水平放置 的四个正方形 的面积依次是 Ｉ ２Ｉ、４ ｓ 、。ｓ ， ｓ ｓ
直接 写 出 Ｓ １＋ｓ ｓ ＋ｓ ２＋． ３ ４的值．
（ ） ３ 的规律一直摆放 ， ， ＋ ３ ＆ ４ 按（ ） 求Ｓ ＋ ｓ＋
＋ … ＋Ｉ ｓ 姗
６
＋ Ｓ０ ． ２０ ｌ
思维简 析 ： １ （ ）属 于 总 统证 法 图 的直 接 应 （ ）２
图２
图３
用， 学生感受此 图的多个结论 ， 让 感知经典 图形 的 “ 基本” 之处，３ （ ）开始纵 向拓展 ， （）４ 增加正方形的
个数 ， 寻找 变化 规律．
３ 在 ＰＡ Ｂ ， ａ Ｃ Ｅ中， Ｃ ： Ｂ ２
。
丽
＝、
： ｃ ＝２
Ｂ
，
在等腰直角三角形 Ａ Ｃ中，Ｃ ＝ Ｂ Ａ
图７
‘ ８ 图
图９
丙 ．
３６ 善 于拓 展 ， 广 基本 图形之 灵魂 —— 形 ． 推
散 而神似
思维简析： 通过直线 Ｍ Ｎ的运动， 使基本 图形发 生了变化， 拓展 了图形的多样性 ， 从复杂的图形中分 辨 出基本 图形， 并且用基本 图形 的性质去解决 问题 的思路却没有变化． 这种用旋转变换的手段， 设置 了 图形变化的情景， 丰富基本图形的内涵， 拓展 了图形
勾股定理趣事
勾股定理趣事学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；勾股的发现在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。
后来，勾股的证明人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。
例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。
据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。
勾股定理的九种证明方法(附图)
勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥AB，垂足为D。
则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ×BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ×AB。
②我们发现，把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。
它利用了相似三角形的知识。
四、古人的证法：CABD如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
勾股定理(一)演示文稿
弦图
• 赵爽 • 东汉末至三国时代吴 国人 • 为《周髀算经》作注， 并着有《勾股圆方图 说》。
证明三
a
b ½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
c c b
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
美国总统的证明
• 加菲尔德 （James A.
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab c2 = a2 + b2
弦图
• 赵爽 • 东汉末至三国时代吴 国人 • 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
小孩问：
１、如图： １２
求剩下的一条边长 ２５ ∟ ５ ８
７
２、如图：两正方形 面积如图所示求大正 方形的面积
Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总统 • 1876 年提出有关证明
证明二及证明三的比较
• 两个证明基本上完全相同！
证明四
a2
b2
证明四
证明四
证明四
证明四
a2 + b2 = c2 c2
出入相补
• 刘徽（生於公元三世紀） • 三国魏晋时代人。 • 魏景元四年（即 263 年）为 古籍《九章算术》作注释。 • 在注作中，提出以「出入相 补」的原理来证明「勾股定 理」。后人称该图为「青朱 入出图」。
• 欧几里得《几何原本》 是用公理方法建立演 绎数学体系的最早典 范。 • 「证明一」就是取材 自《几何原本》第一 卷的第 47 命题。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理的故事
勾股定理的故事在古代，有一个叫做毕达哥拉斯的数学家，他发现了一条神奇的定理，这就是我们现在所熟知的勾股定理。
毕达哥拉斯生活在古希腊的一个小岛上，他对数学有着浓厚的兴趣，经常在大自然中探索数学规律。
有一天，毕达哥拉斯走在田间小路上，看到了一个农民正在修理他的田地。
农民用了三根木棍，想要修出一个直角三角形的田地。
毕达哥拉斯被这个场景吸引住了，他立刻意识到了三根木棍的长度有着特殊的关系。
毕达哥拉斯开始仔细观察，他发现了一个有趣的现象，如果将三根木棍分别标记为a、b、c，其中c是斜边的长度，a和b分别是直角边的长度。
他发现了一个有趣的规律，a的平方加上b的平方等于c的平方。
这个规律让毕达哥拉斯感到非常兴奋，他决定将这个规律称为勾股定理。
勾股定理的发现，让毕达哥拉斯声名远扬。
他的发现不仅在数学领域引起了轰动，也在实际生活中得到了广泛的应用。
人们在建筑、航海、天文等领域都能够看到勾股定理的身影，它成为了解决实际问题的重要工具。
勾股定理的故事告诉我们，数学是隐藏在我们生活中的，只要我们用心去观察，就能够发现数学的美妙之处。
毕达哥拉斯的发现，不仅让我们认识到数学的重要性，也让我们明白了数学与生活的密切联系。
勾股定理的故事，不仅仅是一段古老的传说，它也是数学发展史上的重要一页。
正是由于毕达哥拉斯的发现，才让我们对数学有了更深刻的理解，也让我们的生活变得更加便利和美好。
勾股定理的故事，就像一颗闪亮的明星，永远熠熠生辉，激励着我们不断探索数学的奥秘，也让我们明白了数学在我们生活中的重要作用。
愿我们能够像毕达哥拉斯一样，用心去发现数学的美丽，让勾股定理的光芒照耀着我们的生活。
勾股定理证明方法通用六篇
勾股定理证明方法通用六篇勾股定理证明方法范文1勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.方法1：课本方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.利用三个正方形面积之间的关系，从而得到直角三角形三边之间的关系. 基于完全可以接受的朴素观念，既直观又简单，任何人都看得懂.方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.方法3：美国第十七任总统J·A·加菲尔德（1831～1888）在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年（当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统），给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想，如下图.S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=■=■. ②比较以上两式，便得a2+b2=c2.这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明. 如：欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.勾股定理证明方法范文21本章内容概述直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c 的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.2编写时考虑的几个问题2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.课本练习是一种重要的教学资源。
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勾股定理之总统证法简短故事
在一个遥远的国家里，有一位年轻而聪明的总统候选人，他的名字叫亚历克斯。
亚历克斯非常渴望成为这个国家的总统，因为他想要为人民做更多的事情。
然而，在一次重要的辩论会上，亚历克斯遇到了一个看似棘手的问题。
辩论的
主持人问道：“亚历克斯，我想考考你数学知识。
请问你能回答出勾股定理吗？”
亚历克斯自信的微笑着，然后解释说：“勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它可以用来计算直角三角形两条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边的平方之和。
”
大厅里的观众们开始对亚历克斯的回答感到好奇，他们纷纷交头接耳地讨论着。
亚历克斯意识到，他有机会将这个问题的解答与政治相结合。
他继续说道：“我相信勾股定理不仅仅适用于数学领域，它也可以引申为一种
政治理念。
正如勾股定理帮助人们解决数学问题一样，我希望作为总统能够帮助国家解决各种问题。
我会用正确的方法和政策搭建起一个和谐的社会，并在国家的各个层面上推动改革和进步。
”
亚历克斯的回答获得了观众们的掌声和赞许。
他的创新思维和对勾股定理的巧
妙应用使他在选民心目中脱颖而出。
最终，亚历克斯成功当选为这个国家的总统。
他不仅在数学领域展现了自己的
才华，还通过将勾股定理与政治相结合，彰显了他的智慧和领导能力。
这个简短的故事告诉我们，有时候创新和巧妙的思考可以帮助我们解决看似棘
手的问题。
无论是在数学还是在其他领域，我们都应该利用我们所学的知识和技能来解决现实生活中的挑战，为社会作出积极的贡献。