概率论与数理统计第七章

第七章 参数估计

1． 样本均值74.002X =

样本方差8

2

261

1() 6.8571081i i S X X -==-=?-∑ 样本二阶中心矩 8

2261

1()6108i

i S X X -==-=?∑ 均值与方差的矩估计值分别为： 2

674.002610μ

σ-= =? 2．（1）矩估计

(1)

()1

c

c

c

E X x c x

dx c x dx θθθθθθθθ+∞

+∞

-+-===

-?

? 令

1c X θθ=-，得θ的估计量为 X X c θ=-，θ的估计值为 1

1

11n

i i n

i i x n x c n θ===-∑∑ （2）极大似然估计

(1)(1)(1)11()()()n n n L c x c x c x x θθθθθθθθθθ-+-+-+==

1

ln ()ln()(1)ln n

i i L n c x θ

θθθ==-+∑

令1

ln ln ln 0n

i i L n n c x θθ=?=+-=?∑

得θ的估计值为 1

ln ln n

i

i n

x n c

θ

==-∑，θ的估计量为 1

ln ln n

i

i n

X

n c

θ

==-∑

3．（1） 矩估计

1214

33

X ++=

= 22()122(1)3(1)32E X θθθθθ=?+?-+?-=-

令()E X X = 得θ的估计值为 5

6

θ

= 极大似然估计

2256112233()()()()2(1)22L P X x P X x P X x θθθθθθθ=====?-?=-

令

ln 5101L θθθ?=-=?-，得θ的估计值为 56

θ=

（2）矩估计量

1

1n

i i X X n λ===∑

极大似然估计

1

111211()()()...()...

!

!

!...!

i

n

x x x n

n n n n e e L P X x P X x P X x e

x x x x λ

λ

λλλλλ---∑

=====

=

令

ln ()0i x L n λθλ?=-+=?∑，得λ的似然估计值为 i x n

λ=∑， 从而λ的似然估计量为1

1n

i i X X n λ===∑。

4．解： 当1=α时, X 的概率密度为

?????≤>=+，

，，

101,),(1x x x ββx f β

(Ⅰ) 由于

??

+∞

++∞

∞

--=

?

==

1

1

,1

);(ββ

dx x βx dx βx xf EX β 令 X ββ

=-1， 解得 参数β的矩估计量为1

X X β=- 。 (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ，似然函数为

∏=+??

?

??=>==n

i i βn

n

i n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他

当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得 ∑=+-=n

i i

x ββn βL 1

ln )1(ln )(ln ，

对β求导数，得

∑=-=n

i i x βn βd βL d 1

ln )]([ln ，

令 0ln )]([ln 1

=-=∑=n

i i x βn βd βL d ， 解得 β的最大似然估计量为∑==n

i i

x

n

β

1

ln ?。

( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为

???

??≤>=，

，，αx αx x αβx f 0,2),(32

对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ，似然函数为

∏=??

?

??=>==n

i i n

n

n i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他

当),,2,1(n i αx i =>时，α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为

},,,min{?21n x x x α

=， 于是α的最大似然估计量为

},,,min{?21n X X X α

=。

5．（1）123(),()2,()E T E T E T θθθ=== 1T ，3T 是无偏估计量 （2）22222221311541()()()()36918164

D T D T θθθθθθθ=+++= , ==

所以31()()D T D T <，因此3T 较有效。

6．（1）σ

已知时，置信区间为2

2,X u X u αα??

??

?

6X =，2

1.96u α=，9n =

置信区间为（5.608，6.392） （2）σ

未知时，置信区间为22(1),(1)X t n X t n αα??-- ???

S =0.57，0.025(8) 2.306t = 得置信区间为（5.5584，6.4416）。

7．解：由于2,μσ均未知，则μ

的置信区间为22(1),(1)X t n X t n αα??-- ???

， 2

σ的置信区间为2222122()(),(1)(1)i i x x x x n n ααχχ-

??-- ? ?-- ???

∑∑，亦即222222

1(1),(1)(1)(1)S S n n n n ααχχ-?? ?-- ?--??。 （1）0.05(5) 2.015t =， 6.6782X =，0.00387S =所以μ的置信区间为（6.6750，6.6814）

-51

()7.483310n

i

i X

X =-=?∑，220.050.95(5)11.07,(5) 1.15χχ==

所以2

σ的置信区间为（-6

6.760610?，-5

6.507810?）

（2）0.05(4) 2.132t =， 6.664X =，0.003S =所以μ的置信区间为（6.6611，6.6671）

-51

() 4.510n

i

i X

X =-=?∑，220.050.95(4)9.49,(4)0.71χχ==

所以2

σ的置信区间为（-6

3.793510?，-5

5.070410?） 8．解：

（1）12

()()()()y

y

Y E X E e e f y dy e

b μ+∞

+-∞

==

==?

；

（2）置信区间μ

为(,)Y u Y u αα-

+

，代人样本数据得(0.97,0.99)-；

（3）由（1）式μ与b 的关系及（2）中μ的置信区间得b 的置信区间为0.47

1.49(,)e

e -。