初中数学竞赛专题选讲
初中数学竞赛专题选讲
基本对称式
一、内容提要
1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 的基本
对称式.
2. 含两个变量的所有对称式,都可以用相同变量的基本对称式来表示.
例如x 2+y 2, x 3+y 3, (2x -5)(2y -5), -y
x 3232-, y x x y +……都是含两个变量的对称式,它们都可以用相同变量x,y 的基本对称式来表示:
x 2+y 2=(x+y )2-2xy , x 3+y 3=(x+y )3-3xy(x+y),
(2x -5)(2y -5)=4xy -10(x+y)+25, -y x 3232-=-xy
y x 3)2+(, y
x x y +=xy x y 22+=xy xy y x 2)(2-+. 3. 设x+y=m, xy=n.
则x 2+y 2=(x+y )2-2xy =m 2-2n ;
x 3+y 3=(x+y )3-3xy(x+y)=m 3-3mn ;
x 4+y 4=(x 2+y 2)2-2x 2y 2=m 4-4m 2n+2n 2;
x 5+y 5=(x 2+y 2)(x 3+y 3)-x 2y 2(x+y)=m 5-5m 3n+5mn 2;
………
一般地,x n +y n (n 为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式:
x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)-xy(x k -1+y k -1) (k 为正整数).
4. 含x, y 的对称式,x+y, xy 这三个代数式之间,任意知道两式,可求第三式.
二、例题
例1. 已知x=21(3+1), y=)-(132
1 求下列代数式的值: ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ; ②x
2 (2y+3)+y 2(2x+3).
解:∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.
∴先求出 x+y=3, xy=2
1. ① x 3+x 2y+xy 2+y 3 =(x+y )3-2xy(x+y) =(3)3-2×
321 =23;
② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)=2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2
=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)
=3[(x+y )2-2xy ]+2xy(x+y)
=3[(21232?
-))2×213 =3-6.
例2. 解方程组???=+=+②
①53533y x y x
分析:可由 x 3+y 3, x+y 求出xy ,再由基本对称式,求两个变量x 和y.
解:∵x 3+y 3,=(x+y )3-3xy(x+y) ③
把①和②代入③,得
35=53-15xy.
∴xy=6.
解方程组?
??==+65xy y x 得???==32y x 或???==2
3y x . 例3. 化简 321420++321420-. 解:设321420+=x, 321420-=y.
那么 x 3+y 3=40, xy=32196400?-=2.
∵x 3+y 3=(x+y )3-3xy(x+y),
∴ 40=(x+y )3-6(x +y ).
设x+y=u,
得 u 3-6u -40=0 . (u -4)(u 2+4u+10)=0.
∵u 2+4u+10=0 没有实数根,
∴u -4=0, u =4 .
∴x+y=4.
即
321420++321420-=4. 例4. a 取什么值时,方程x 2-ax+a -2=0 的两根差的绝对值最小?其最小值是什
么?
解:设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理,
得 ???-==+22
121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-=212214)x x x x -+(=842+-a a =4)2(2+-a ,
∴当a=2时,21x x - 有最小值是2.
三、练习
1. 已知 x -y=a, xy=b. 则x 2+y 2=______ ; x 3-y 3=______.
2. 若x+y=1, x 2+y 2=2. 则 x 3+y 3=_______; x 5+y 5=______.
3. 如果 x+y=-2k, xy=4, 3=+x
y y x . 则 k=_____. 4. 已知x+
x 1=4, 那么x -x 1=____ , 221x x +=___. 5. 若x x 1
+.=a, 那么x+x 1=______, 221x
x +=___. 6. 已知:a=321
-, b=3
21
+. 求: ①7a 2+11ab+7b 2 ; ②a 3+b 3-a 2-b 2-3ab+1.
7. 已知x
x 1+=8,则x x 12+=____.(1990年全国初中数学联赛题) 8. 已知 a 2+a -1=0 则a 3-31a
=_____.(1987年泉州市初二数学双基赛) 9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5,两根积是2,则这个方程可写成为:
____________. (1990年泉州市初二数学双基赛)
10. 化简: ①335252-++; ②33725725--+.
练习题参考答案
1. a 2+2b, a 3+3ab
2. 2.5, 4.75
3. ±5
4. 23或-23, 14, 52
5. a 2-2, a 4-4a 2+2
6. 109,36
7. 62
8. –4
9. x 2 ±3x +2=0
10. ①1, ②2
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