高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故

/, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr.

fh i)i

又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2

+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.

Dy 1)：

从而得

/, = 4/2.

(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：

如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ

jf/(x,y)da =0；

D

如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则

=0.

D

«3.利用二重积分定义证明：

(1)jj da=(其中(7为的面积)；

IJ

(2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；

o n

(3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个

I) b\ lh

尤公共内点的WK域.

证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得

n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

=l i m cr= a.

A—0

n

(2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^

i)1

n

=A lim y/(^(,i7,)A(7-,=k \\f{x,y)Aa.

A-°台•{!

(3)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总

是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在A U D2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为

^/(^, ,17,) A CT, = ^/( ^, , 17,) A CT, + ^/(^, ,17,) A CT,.

/)(U0, ", l)：

令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得J

f(x,y)i\a =jjf(x,y)da+JJ/(x f y) da.

p,un}V, n；

Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«l y达到最大值.

I)

解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当£»是椭圆2/+y2= l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=

D I)

1所围成；

(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=

t) n

2所围成；

(3)I'M A；+y)(lor与!"[In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三

顶点分别为

l)"

(1，0)，(1，1)，(2,0);

(4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+y)]2fW，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡

1 .

i) i)

解(1)在积分K域0上，故有

(x + j) 3 ^ (x + y) 2.

根据二重积分的性质4，可得

J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)

0 D

(2)由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V+ •、彡1 1内，故在/)|:&

(.f + y)2彡(A + y)3•从『("• J( v +＞ )：drr ^ jj ( x + y) \l f r.

(3)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)

上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此

jj[ln(A:+y)]2(Jo-^+y)d

(4)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y)| .v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)

彡1，从而：In(-v+)')]2彡In(:c+)').因此

Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.

i) a

36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：

(1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y)1,0 1|；

n

(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1;

i)

(3)/= J*(A：+y + l)d(7,其中/>= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[；

it

(4)/=J(x2 +4y2 +9)do•，其中D= \{x,y) \x2 +y2 ^ 4|.

I)

解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此

(2 )在积分区域/)上，0矣sin J:矣1,0 ^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0

的面积等于TT2,W此

(3)在积分K域"上有\^x+y +\«4,/)的而积等于2,因此

(4)W为在积分K域/>»上有0矣;t2+y2苳4,所以有

9^+4r2+9^4( x2+y2)+9矣25.

34I)的酣枳等于4TT，W此

36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.

二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分: