平行四边形典型题型

平行四边形典型问题分类解析

为了开阔同学们的视野，特就一些平行四边形典型问题分类选解几例，希望同学们从中得到启示． 1．证明线段垂直

例1 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 2BC ，M 为AB 的中点，求证：CM ⊥DM ． 分析：根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中AB = 2BC 和M 为AB 的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠CDM ＋∠DCM =︒90，可使问题得到解决．

证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = BC ， ∴∠AMD =∠CDM ，∠BMC =∠DCM ，

∵AB = 2BC ，M 是AB 的中点，∴AD = AM = BM = BC ． ∴∠ADM =∠AMD ，∠BMC =∠BC M ∴∠ADM =∠CDM ，∠BC M =∠DCM ，

∴∠CDM =21∠ADC ，∠DCM =2

1

∠BCD ．

又∠ADC ＋∠BCD =︒180，∴∠CDM ＋∠DCM =︒90，即∠DMC =︒90．

∴CM ⊥DM ．

评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM 、DM 所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠DMC =︒90，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．

2．证明线段平行

例2 如图，AB 、CD 交于点O ，AC ∥DB ，AO = BO ，E 、F 分别为OC 、OD 的中点，连结AF 、BE ．求证：AF ∥BE ．

分析：从已知条件可证△AOC ≌△BOD ，得到OC = OD ，又有E 、F 为OC 、OD 中点，则OE = OF ，判定四边形AFBE 为平行四边形，即有AF ∥BE ．

证明：连结BF 、AE ，∵AC ∥DB ，∴∠C =∠D ．

A

M

D

B

C

例1图

A

C

O

F

B

D

E 例2图

在△AOC 和△BOD 中，有⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠.,,BO AO BOD AOC D C

∴△AOC ≌△BOD ，∴OC = OD ． 又E 、F 为OC 、OD 的中点，∴OE = OF ， ∴四边形AFBE 是平行四边形， ∴AF ∥BE ．

评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法． 3．证明线段相等

例3 如图，△ABC 中，AB = AC ，P 是BC 上的一点，PE ∥AC ，PF ∥AB ，分别交AB 、AC 于E 、F ，请猜出线段PE 、PF 、AB 之间存在什么关系，并证明你的猜想．

分析：从已知条件中不难证明PF = AE ，PE = BE ，从而PE 、PF 、AB 之间满则关系式PE ＋PF = AB ．即猜想结论：PE ＋PF = AB ．

证明：∵PE ∥AC ，∴∠BPE =∠C ． ∵AB = AC ，∴∠B =∠C ， ∴∠BPE =∠B ，∴PE = BE ． PE ∥AC ，PF ∥AB ，

∴四边形AEPF 是平行四边形，∴PF = AE ． ∵BE ＋AE = AB ，∴PE ＋PF = AB ．

评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．

4．求线段的长度

例4 如图，在四边形ABCD 中，AB = 6，BC = 8，∠A =︒120，∠B =︒60，∠C =︒150，求AD 的长．

分析：要求AD 的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A 和∠B 的关系可以判定AD ∥BC ，这样不妨过点C 作AB 的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决．

解：点C 作CE ∥AB 交AD 于E ， ∵∠A ＋∠B =︒180，∴AD ∥BC ，

D

C

B

A

E

例4图

E B

C

F A 例3图

∴四边形ABCE 是平行四边形．

∴AE = BC = 8，CE = AB = 6，∠BCE =∠A =︒120． 又∵∠BCD =︒150，∴∠DCE =︒30． 而∠D =︒360－︒120－︒60－︒150=︒30， ∴∠D =∠DCE =︒30，∴DE = CE ， ∴AD = 8＋6 = 14．

评析：在判定AD ∥BC 后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．