平行四边形知识点及典型例题

一、知识点讲解：
1．平行四边形的性质：
四边形ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧.
54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；
（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（
2.平行四边形的判定：
.
3. 矩形的性质：
因为四边形ABCD 是矩形⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧.3;
2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4矩形的判定：
(1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形． ⇒四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。

5. 菱形的性质：
因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；
（有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是菱形.
菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长；
菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；
菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。

菱形的面积等于两对角线长积的一半。

A
B
D
O
C
A
B
D
O
C
A
D B
C
A
D B C O
C
D
B A
O
C
D
B A O
C D
A
B
A B
C
D
O
7.正方形的性质：
四边形ABCD 是正方形⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；
）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（
8. 正方形的判定：
⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎪
⎬⎫
++++++对角线互相垂直矩形）（一组邻边等
矩形）（对角线相等）菱形（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（54321⇒四边形ABCD 是正方形.
9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三
遍的一半。

2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、例题
例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.
例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F.
求证：BE = CF.
例3．已知：如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，F ，G 分别是OB ，OC 的中点．求证：四边形DFGE 是平行四边形．
例4如图7， ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.
求证：四边形AFCE 是菱形.
（图1）
E
F O
A B C
D
E F （图2） 图7
A
B
C
D E
F O
例5、顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ； 顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________； 顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；
例6.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角
∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形
ADCE 是一个正方形？并给出证明．
例7.如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点， PE⊥BC，垂足为E ， PF⊥CD，垂足为F ， 求证：EF ＝AP
例8. 如图所示，E 为□AB CD 外，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，
求证：□ABCD 为矩形
例9、如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为 ，折痕EF 的长为 。

A B C D
M N E (第6题)
D
C
B
A
F E
G
例10. 18.①如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且 DP =OC ，
连结CP ，试判断四边形CODP 的形状．并证明。

②如果题目中的矩形变为菱形，则四边形CODP 的形状是______________ ③如果题目中的矩形变为正方形，则四边形CODP 的形状是____________
例11. 如图所示，.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．
（1）求证：AE =CG ；
（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，
并证明你的猜想．
B
A D C
P
O
B
A
D
C
P
O
B
A
D
C P
O。