第二章极限题及答案：极限的四则运算
分类讨论求极限
例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim
-∞→n
n
n S S .
（1997年全国高考试题，理科难度0.33）
解： ()()
1
1
1111--+--=q q b p p a S n n n
()(
)()()
()(
)()(
)
1
1111
1111111111--+----+--=
---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论；
（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<
p
q
， ∴1
lim
-∞→n n
n S S
()()()()?????
?
??????????????????
??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n
p p q p b p q a p p p q p b p q a p
()()()()()()010110
10111111?-+--?-+--?
=p b q a p b q a p
()()
p q a q a p =--?
=1111 （2）当1
lim
-∞→n n
n S S
()(
)
()()
()(
)()(
)
11111
111lim
11
1111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()
1011011011011111--+---?-+-?-=
p b q a p b q a
()()()()
111111111=--------=
p b q a p b q a . 说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．
自变量趋向无穷时函数的极限
例 求下列极限：
（1）4
224211
5lim x x x x x --+-∞→
（2）???
?
??+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞
∞
”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．
第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与1
22
+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”
型，变形的一般方法是先通分，变成“
∞
∞
”型或“00”型，再求极限．
解：（1）21
1151lim 2115lim 2
442422
4--+-=--+-∞→∞→x x x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1
lim 5lim 1lim 244
2-=--+-=--+-=∞
→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x
x
（2）)12)(12()
12()12(lim 1212lim 2223223+---+=???? ??+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )
1
2)(12(11lim
)12)(12(lim
222
3
x
x x
x x x
x x x +-+
=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)1
2(lim )12(lim )
11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→x
x x x x x
说明：“∞∞
”型的式子求极限类似于数列极限的求法．
无穷减无穷型极限求解
例 求极限：
（1）)11(lim 2
2
x x x x x +--++-∞
→
（2）)11(lim 2
2x x x x x +--+++∞
→
分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式2
2
112lim
x
x x x x
x +-+++=-∞
→
2
2
2
112lim
x
x x x x x +-+++-=-∞
→
.111
111
12
lim
2
2
-=+-+++-=-∞
→x x
x x
x
（2）原式2
2112lim
x
x x x x
x +-+++=+∞
→
.111
111
12
lim
2
2
=+-+++=+∞
→x x
x x
x
说
明
：
当
2 x x ≠，因此 211 111 12 1122 2 2 2 →+-+++≠ +-+++x x x x x x x x x ． 利用运算法则求极限 例 计算下列极限： （1）??? ??+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n Λ； （2）()?? ????-+++- -∞→n n n 3112719131lim 1Λ. （1992年全国高考试题，文科难度0.63） 解： （1）原式() 11321 lim 2+-=∞→n n n n () 232 213lim 123lim 222 =+-=+-=∞→∞→n n n n n n n . （2）原式?? ? ??--??????????? ??--=∞→31131131lim n n []41 014 131141lim =-=?????????? ? ??--=∞→n n . 说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、 减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式1 2 3lim 14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n Λ （2）原式 ()4 131131 027********lim 271lim 91lim 31lim 1=?? ? ??--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ΛΛn n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限 例 设* N p ∈，求n n p n 1 1 11lim 1 -??? ??++∞→． 分析：把1 11+? ?? ??+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得． 解：1 1122111 1 ) 1()1(1111++++++++++=? ? ? ??+p p p p p p n C n C n C n ΛΘ p p p p p p p n C C n C n C n n )1()1(111 111131221111 ++++++++++=-? ?? ? ?+∴Λ 11 1 11lim 111 +==-? ? ? ??+∴++∞→p C n n p p n 或：逆用等比数列求和公式： 原式??? ? ??????? ??+++??? ??++??? ??++=∞ →p n n n n 1111111lim 2Λ 11111+=+++=+p p 43421Λ个 说明：要注意p 是与n 无关的正整数，1 11+? ? ? ??+p n 不是无限项，对某些分式求极限应先 对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等． 零乘无穷型转化为无穷除无穷型 例 求.)1(lim n n n n -+∞ → 分析：当∞→n 时，所求极限相当于∞?0型，需要设法化为我们熟悉的∞ ∞ 型． 解： n n n n )1(lim -+∞ → .21 11 11lim 1lim ) 1()1)(1(lim =++=++=++++-+=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 说明：对于这种含有根号的∞?0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为 n n n ++1，即为∞∞型，也可以将分子、分母同除以n 的最高次幂即n ，完成极限的计算． 根据极限确定字母的范围 例 已知16 1 )2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围． 分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决． 解：16 142161lim ) 2(44lim 2= ? ? ? ??++=++∞→+∞→n n n n n n m m 于是 14 2 <+m ，即26,424<<-<+<-m m ． 说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161 lim =? ? ? ??++∞→n n m 可知，n m ??? ??+42的极限必为0，而0→n q 的充要条件是1 14 2 <+m ． 零比零型的极限 例 求x x x 1 1lim 10 -+→． 分析：这是一个00 型的极限，显然当0→x 时，直接从函数x x 1110 -+分子、分母中 约去x 有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时x 化为1)1(10 10-+x ，这就启 发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110 -=y x ． 解：设101x y +=，则110 -=y x ，于是，当0→x 时，1→y ． 原式10 1 11lim 11lim 891101 =++++=--=→→y y y y y y y Λ 说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些 型的极限问题． 例如对于11 lim 21--→x x x ，我们一般采用因式分解，然后约去1-x ，得到2)1(lim 1 =+→x x ．其 实也可以采用这种代换，即设1-=x t ，则当1→x 时，0→t ，这样就有 .2)2(lim 1)1(lim 11lim 02021=+=-+=--→→→t t t x x t t x 组合与极限的综合题 例 ) (lim 1 2 22 =++∞→n n n n n C C A ．0 B ．2 C ． 21 D ．4 1 分析：将组合项展开后化简再求极限． 解： 1 2 22 lim ++∞→n n n n n C C .4 126412lim )22)(12()1(lim )!22()!1()!1(!!)!2(lim 222 =++++=+++=?? ????++?+?=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n 故应选D ． 说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念． 高考填空题 1．计算.________)2 ( lim =+∞ →n n n n 2．若数列{}n a 的通项公式是)N () 1(1 *∈+=n n n a n ，则.________)(lim 21=+∞→n n a n a 3．计算：.________)1 3( lim =++∞ →n n n n 1．解析 22 22 2221221lim 2lim -+-- +-∞→∞→=?? ????? ????? ??????? ??+-+=??? ?? +-=??? ??+e n n n n n n n n n n n 说明：利用数列极限公式e n n n =?? ? ??+∞ →11lim ，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题 主要考查灵活运用数列极限公式的能力． 2．解析 .2 1 ,)1(11=∴+= a n n a n Θ . 23121)11121(lim )1(121lim 2=+=+ +=?? ? ???+?+∴∞→∞→n n n n n n 说明：本题的思考障碍点是如何求1a ？——只要懂得在通项公式中令1=n ，可立得1 a 的具体值，本题考查数列极限的基本知识． 3．解析 n n n n )1 3( lim ++∞ → 21 22 1)121(lim e n n n n n =?? ? ???++=++∞→ 说明：本题考查数列极限公式的应用． 根据已知极限和四则运算求其它极限 例 若12lim =∞ →n n na ，且n n a ∞ →lim 存在，则.________)1(lim =-∞ →n n a n A ．0 B ． 21 C ．2 1 - D ．不存在 分析：根据题设知n na 和n a 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论． 解：,lim ,12lim 存在n n n n na na ∞ →∞ →=Θ 0lim 021 lim 2lim lim =∴==∴ ∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n a n na a 又2 1 lim ,12lim = =∞ →∞ →n n n n na na ∴2 1210lim lim )(lim )1(lim =- =-=-=-∞ →∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n na a na a a n 即.2 1)1(lim -=-∞ →n n a n 选C ． 说明：n n a ∞ →lim 是关键，不能错误地认为0lim =∞ →n n a ，0)1(lim =-∞ →n n a n ． 两个数列{}n a 、{}n b 的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但? ?? ?? ?n n b a 的极限不一定存在． 化简表达式再求数列的极限 例 求下列极限 （1）?? ? ??+++++++++∞→112171513lim 2222n n n n n n Λ （2）n n n 2 1412113191311lim ++++++++∞→ΛΛ （3）?? ??????? ??+-??? ??-??? ??- ??? ??-∞ →211511411311lim n n n Λ 分析：先运用等差数列、等比数列的前n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达 式，再进行极限的四则运算． 解：（1）原式1 ) 12(753lim 2++++++=∞→n n n Λ 11 121lim 1)2(lim 2 2=++ =++=∞→∞→n n n n n n n （2）原式n n n n n n ??? ??-? ?? ??-=?? ? ???????? ??-?????????? ? ??-=∞→∞→211311lim 34211231123lim 4301013421lim 1lim 31lim 1lim 34=--?=?? ? ??-??? ??-=∞→∞→∞→∞→n n n n n n （3）原式.22 2lim 21544332lim =+=??? ?? ++??? =∞→∞ →n n n n n n n Λ 说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为 0112lim ,,015lim ,013lim 222=++=?? ? ??+=??? ??+∞→∞→∞→n n n n n n n Λ而得到（1）的结果是0． 无穷比无穷和字母讨论的数列极限 例 求下列极限： （1）n n n n n 3423352lim 11?+??-++∞→ （2）)0(11lim >+-∞→a a a n n n 分析：第（1）题属“ ∞ ∞ ”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论． 解：（1）原式432315 322lim 342331522lim +??? ???-??? ???=?+??-?=∞ →∞→n n n n n n n n .41540315024lim 32lim 315lim 32lim 2-=+?-?=+??? ??-??? ??=∞ →∞→∞→∞→n n n n n n （2）当10< 11 1lim 11lim =+-=+-∞→∞→n n n n a a ， 当1>a 时，.110101lim 1lim 1 lim 1lim 1111lim 11lim -=+-=+?? ? ??-??? ??=+??? ??-??? ??=+-∞ →∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n a a a a a a 说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为 0lim =∞ →n n a ． 根据极限确定等比数列首项的取值范围 例 已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且有21 1lim 1=??? ? ??-+∞→n n q q a ，求1a 的取值范围． 分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知n n q ∞ →lim 存在，因此可得q 的取值范围， 从而确定出1a 的取值范围． 解：由211lim 1=??? ? ??-+∞→n n q q a ，得n n q ∞→lim 存在． ∴1 当1 2 1 11=+q a ， ∴121-=a q ， ∴112<-a 解得101< 11≠ a ． 当1=q 时，这时有2 1 12lim 1=??? ??-∞→a n ， ∴31=a ．