《2011年高考山东卷理科数学试题及答案word版解析版》

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

（1）设集合2

{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N =

A.[1,2)

B. [1,2]

C. (2,3]

D. [2,3] 解析：{32}M x x =-<<，[1,2)M N = ，答案应选A 。 （2）复数2(2i

z i i

-=

+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析：22(2)34255

i i i

z i ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.

（3）若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan

6

a π

的值为 A.0 B.

3

3

C. 1

D. 3

解析：2

393a ==，2a =，tan

tan 363

a ππ

==，答案应选D. （4）不等式5310x x -++≥的解集是

A.[5,7]-

B. [4,6]

C. (,5][7,)-∞-+∞

D. (,4][6,)-∞-+∞

解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，

不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。

另解1：可以作出函数53y x x =-++的图象，令5310x x -++=可得4x -=或6x =，观察图像可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

另解2：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使

5310x x -++≥成立，答案应选D 。

（5）对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的

A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件

解析：若()y f x =是奇函数，则()y f x =的图象关于y 轴对称；反之不成立，比如偶函数()y f x =，

满足()y f x =的图象关于y 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B 。

（6）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ

上单调递减，则ω= A.3 B. 2 C. 32 D. 2

3

解析：函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增，在区间3[,]22ππ

ωω

上单调递减， 则

23ππω=，即3

2

ω=，答案应选C 。 另解1：令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[

,]22k k x ππππ

ωωωω∈-+为增函数，同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数，则当0,23k ππω==时符合题意，即3

2

ω=，答案应选C 。

另解2：由题意可知当3

x π

=时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值，则)03

f π

'

=，即c

o s 03

π

ωω=，

即

()3

2

k k π

π

ωπ=+

∈Z ，结合选择项即可得答案应选C 。

另解3：由题意可知当3

x π

=时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值，

则

2()32

k k ππ

ωπ=+∈Z ，36()2k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C 。

（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

广告费用x （万元） 4

2 3 5 销售额y （万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为 A.63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元

解析：由题意可知 3.5,42x y ==，则 429.4 3.5,9.1,a a =?+= 9.469.165.5y =?+=，答案应选B 。

（8）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线均和圆22

:650C x y x +-+=相切，且双曲线的

右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为

A.

22154x y -= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22

163

x y -= 解析：圆2

2

:(3)4C x y -+=，3,c =而32b

c

=，则22,5b a ==，答案应选A 。 （9）函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是

2π x

O

y

4

2π x

O

y

4

2π x

O

y

4

2π x

O

y

4

解析：函数2sin 2x y x =

-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1

cos 4

x =，由于函数cos y x =为周期函数，而当2x π>时，2sin 02x y x =->，当2x π<-时，2sin 02

x

y x =-<，则答案应选C 。

（10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()f x 的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：当02x <≤时32()(1)f x x x x x =-=-，则(0)(1)0f f ==，而()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，则(2)(4)(6)(0)0f f f f ====，(3)(5)(1)0f f f ===，答案应选B 。 (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。

其中真，命题的个数是

A.3

B.2

C.1

D.0

解析：①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱， 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，

答案选A 。

（12）设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R

,

1412()A A A A μμ=∈R ,且11

2λμ

+=，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点,C D 调和分割点

,A B ，则下面说法正确的是

A. C 可能是线段AB 的中点

B. D 可能是线段AB 的中点

C. C,D 可能同时在线段AB 上

D. C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上

解析：根据题意可知

11

2c d

+=，若C 或D 是线段AB 的中点，则12c =，或12d =，矛盾；

若C,D 可能同时在线段AB 上，则01,01,c d <<<<则11

2c d

+>矛盾，若C,D 同时在线段AB 的延长线上，

则1,1c d >>，11

02c d

<+<，故C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上，答案选D 。

二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分。 （13）执行右图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===，

正（主）视图

俯视图

开始

输入非负整数l ，m ，n

则输出的y 的值是 。 解析：1406375278,y =++=

278105173,17310568y y =-==-=。

答案应填：68. （14）若62

()a x x -

展开式的常数项为60，

则常数a 的值为 。 解析：62

()a x x

-

的展开式6162

()k k

k k a T C x x

-+=-

636()k

k C a x -=-，令630,2,k k -== 226()1560,4C a a a -===，答案应填：4.

（15）设函数()(0)2

x

f x x x =

>+，观察： 1()()2x f x f x x ==

+，21()(())34x f x f f x x ==+，32()(())78

x f x f f x x ==+， 43()(())1516

x

f x f f x x ==+，……

根据上述事实，由归纳推理可得：

当*n ∈N ，且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== 。 解析：2122()(())(21)2x f x f f x x ==

-+，32

33

()(())(21)2x

f x f f x x ==-+， 4344()(())(21)2x f x f f x x ==

-+，以此类推可得1()(())(21)2

n n n n

x

f x f f x x -==-+。 答案应填：

(21)2n n

x

x -+。

16.已知函数()log (0,a f x x x b a =+->且1)a ≠。

当234a b <<<<时函数()f x 的零点为0(,1)(*)x n n n ∈+∈N ， 则n = 。

解析：根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=，

(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=，而函数()f x 在(0,)+∞上连续，单调递增，故函数()f x 的零

点在区间(2,3)内，故2n =。答案应填：2.

三、解答题：本大题共6小题，共74分。 17.（本小题满分12分）

在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=，

（Ⅰ）求

sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1

cos ,24

B b ==，求AB

C ?的面积S 。 解：（Ⅰ）在ABC ?中，由cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=及正弦定理可得

cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A

B B

--=，

即sin sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=- 则sin sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+

sin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =，

即

sin 2sin C

A

=。 另解1：在ABC ?中，由

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=可得

cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-

由余弦定理可得222222222222

22b c a a b c a c b a c b c a a c +-+-+-+--=-，

整理可得2c a =，由正弦定理可得

sin 2sin C c

A a

==。 另解2：利用教材习题结论解题，在ABC ?中有结论

cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+. 由

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-

即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+，则2c a =，

由正弦定理可得

sin 2sin C c

A a

==。 （Ⅱ）由2c a =及1

cos ,24

B b ==可得

22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，

S 21115

sin 121cos 224

ac B B =

=???-=，即154S =。

（18）（本题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘。已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ。

解析：（Ⅰ）记甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘中甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件,,D E F ,则甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 分别为事件,,D E F ，根据各盘比赛结果相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++

()()()()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F =+++

0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.5=??-+?-?+-??+??0.55=.

（Ⅱ）依题意可知0,1,2,3ξ=，

(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1P P DEF P D P E P F ξ====-?-?-=； (1)()()()

P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35=?-?-+-??-+-?-?=;

(2)()()()

P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4=??-+-??+?-?=; (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===??=.故ξ的分布列为

ξ

0 1 2 3 P

0.1

0.35

0.4

0.15

故00.110.3520.430.15 1.6E ξ=?+?+?+?=. 19. （本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，

090ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ， //FG BC ，//EG AC ，2AB EF =．

（Ⅰ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ；

（Ⅱ）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小． 几何法：

证明：（Ⅰ）//EF AB ，2AB EF =可知延长BF 交AE 于点P ，而//FG BC ，//EG AC ， 则P BF ∈?平面,BFGC P AE ∈?平面AEGC ，即P ∈平面BFGC 平面AEGC GC =， 于是,,BF CG AE 三线共点，1

//

2

FG BC ，若M 是线段AD 的中点，而//AD BC , A

B

C

D

E

F

G M

则//FG AM ，四边形AMGF 为平行四边形，则//GM AF ，又GM ?平面ABFE ， 所以//GM 平面ABFE ；

（Ⅱ）由EA ⊥平面ABCD ，作C H A B ⊥，则CH ⊥平面ABFE ，作H T B F ⊥，连接CT ，则C

T B F ⊥，

于是CTH ∠为二面角A BF C --的平面角。

若2AC BC AE ==，设1AE =，则2A C B C

==，22,2AB CH ==，H 为AB 的中点，222

t a n 2

22AE AE FBA AB EF AB ∠=

===

-，3sin 3FBA ∠=， 36

sin 233

HT BH ABF =∠=?

=

，在Rt CHT ?中tan 3CH CTH HT ∠==, 则60CTH ∠=

，即二面角A BF C --的大小为60

。

坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为平行四边形， 0

90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，可得以点A 为坐标原点，,,AC AD AE 所在直线分别为,,x y z 建立直角坐标系，

设=,,AC a AD b AE c ==，则(0,0,0)A ,1

(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0)2

C a

D b M b B a b -.

由//EG AC 可得()EG AC λλ=∈R ，

1

(,,)2

GM GE EA AM a b c λ=++=-- 由//FG BC 可得()FG BC AD μμμ==∈R

,1122

GM GF FA AM AD BA EA AD μ=++=-+++

1(,(1),)2a b c μ=---，则12λμ==，12

GM BA EA =+

，而GM ?平面ABFE ，

所以//GM 平面ABFE ；

（Ⅱ）（Ⅱ）若2AC BC AE ==，设1AE =，则2AC BC ==，

(2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)C E B F --,则(0,2,0)BC AD == ,(1,1,1)BF =-

, (2,2,0)AB =-

,设11112222(,,),(,,)x y z x y z =n =n 分别为平面ABF 与平面CBF 的法向量。

则11111220

x y x y z -=??

-++=?，令11x =，则111,0y z ==，1(1,1,0)n =；

222220

y x y z =??

-++=?，令21x =，则220,1y z ==，2(1,0,1)=n 。 于是1212121

cos 2

?<>=

=?n n n ,n n n ，则1260<>= n ,n ，

即二面角A BF C --的大小为60

。

20. （本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．

第一列 第二列 第三列

第一行 3 2 10 第二行 6 4

14

第三行

9

8 18

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n

n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解析：（Ⅰ）由题意可知1232,6,18a a a ===，公比3

212

3a a q a a ===， 通项公式为123n n a -=?；

（Ⅱ）()1111ln 23(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln 3]n

n n n n n

n n n b a a n ---=+-=?+-?=?+-+-

当2(*)n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++

212(133)[1(23)((22)(21))]ln3

k k k -=+++++-+++--+- 2132ln 331ln 3132

k n n k -=+=-+-

当21(*)n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++

222(133)[(12)((23)(22))]ln3ln 2k k k -=++++-++----

21

132(1)ln 3ln 213

k k --=----(1)31ln 3ln 22n n -=--- 故31ln 3,2

(1)31ln 3ln 22

n

n n n n S n n ?-+??=?-?---??为偶数；，为奇数.

另解：令1

1

(1)

ln 23

n

n

n n T -=

-?∑，即1

1

(1)

ln 2(1)(1)ln 3n

n

n

n n T n =

-+--∑∑

223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n =-+-++-+-?+-?++-?- 231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n ++-=-+-++-+-?+-?++-?-

则12312[1(1)]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln3n n n n T n ++=---+-+-++----

211

111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222n n n n T n +++---=---+---

12111

[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324

n n n T n ++=---+----

故1122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++

12111

31[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324

n n n n ++=-+---+----.

21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，

长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球

形，按照设计要求容器的容积为

803

π

立方米，且2l r ≥．假设

该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．

解析：（Ⅰ）由题意可知2

3480()33r l r l r πππ+

=≥2，即2804

233

l r r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为22

28042346()433

y rl r c r r r c r ππππ=?+?=-+，

即2216084y r r c r

π

ππ=-+，定义域为{02}r r <≤. （Ⅱ）2160168y r rc r πππ'=-

-+，令0y '=，得3202

r c =

-. 令3

20

2,2

r c =

=-即 4.5c =， （1）当3 4.5c <≤时，3

20

2,2

c -≥当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值； （2）当 4.5c >时，3

202,2c <-当3

2002r c <<-，0y '<；当320

2

r c >-时0y '>， 此时当3

20

2

r c =

-时y 有最小值。 22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：22

132

x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且

OPQ ?的面积6

2

OPQ S ?=

，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ?的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得6

2

ODE ODG OEG S S S ???===？若存在，判断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由．

解析：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，

由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而1162OPQ S x y ?==，则116

,12

x y == 于是22123x x +=，22122y y +=.

当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22

132

x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x km m +++-=，0?>，即2232k m +>

2121222636

,2323km m x x x x k k -+=-=++

2

2

2

12121211()4PQ k x x k

x x x x =+-=++-22

2

2

2632123k m k k +-=++

2

1m d k

=

+，2221126326

22232

POQ

k m S d PQ m k ?+-=??==

+ 则22

322k m +=，满足0?>

22

2

2

21

2121222

63(2)

()2()232323km m x x x x x x k k

-+=+-=--?=++， 222222*********

(3)(3)4()2333

y y x x x x +=

-+-=-+=， 综上可知2

2

123x x +=，2

2

122y y +=.

（Ⅱ））当直线l 的斜率不存在时，由（Ⅰ）知16

26;2

OM x PQ =?=

?=

当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知

12322x x k

m

+=-， 2121231

()222y y x x k k m m m m

++=+=-+=， 22

221212222

9111()()(3)2242x x y y k om m m m

++=+=+=- 2222

2

2222

24(32)2(21)1

(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++

2

2

221125(3)(2)4OM

PQ m m =-

+≤，当且仅当221132m m

-=+，即2m =±时等号成立，综上可知OM PQ ?的最大值为5

2

。

（Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,D E G ，使得62

ODE ODG OEG S S S ???===， 由（Ⅰ）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，

2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.

解得2

2

2

3

2

D E G x x x ===

,2221D E G y y y ===， 因此,,D E G x x x 只能从6

2

±

中选取，,,D E G y y y 只能从1±中选取， 因此,,D E G 只能从6

(,1)2

±

±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与6

2

O D E O D G O E G

S S S ???===相矛盾， 故椭圆上不存在三点,,D E G ，使得62

ODE ODG OEG S S S ???===。