《概率论》试卷答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2011-2012学年第 1 学期 考试科目： 概率论 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、 填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1、一位运动员投篮四次，已知四次中至少投中一次的概率为0.9984，则该运动员投篮的命中率为________ 0.8_________ .

2、若事件,,A B C 相互独立，且()0.25,()0.5,()0.4,P A P B P C ===，则

()P A B C =_____0.775________________.

3、设随机变量X 的分布函数0,

0.4,()0.8,

1,F x ???=???? 111

13

3x x x x <--≤<≤<≥，则{13}P X ≤≤=__0.6__. 4、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球.今有两人依次随机地

从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是______0.4______. 5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=____1__________.

6、若随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_3/5___.

7

、已知()0.5,(\)0.3,P B P A B ==则()P AB =________0.2__________.

8、设随机变量X 的密度函数2

3,02()80,x x f x ?<

，则21E X ??

= ???____3/4____.

二、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、对于事件,A B ，不正确的命题是（ D ） (A) 若,A B 相容，则,A B 也相容 (B) 若,A B 独立，则,A B 也独立 (C) 若,A B 对立，则,A B 也对立 (D) 若,A B 对立，则,A B 独立

2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为：( B )

(A) sin ,[0,]()0,x x f x π∈?=??其他 (B) 1,0

()00,0x

e x

f x x θ

θθ-?≥?=>??

(C) 2

2()2,0()0,0x x f x x μσ--?≥=

(D) ?????<=其他

,02,

2

1

)(x x f

3、设随机变量2(,)X

N μσ,则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<（ C ）

(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定

4、已知1

,(1,2,)!

k

P

X k c k k λ-===（）为随机变量X 的概率分布列，其中0λ>为

常数，则c =( D ).

(A) e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ-

5、已知随机变量X 的分布函数为30,0

(),011,1x F x x x x

=≤

，则()E X =（ A ）

(A) 1

303x dx ?

(B)

1

40

1

x dx xdx +∞

+?

?

(C) 1

2

3x dx ? (D) 40

x dx +∞

?

三、解答题（本大题共 6 小题，共 61 分）

1、测量某一目标的距离，测量误差X (cm)服从正态分布

250,100N （），求：（1）测量误差的绝对值不超过150cm 的概率；（5分）

（2）测得的距离不少于真实距离的概率.（5分） （已知(0.5)=0.6915(1)=0.8412(2)0.9772ΦΦΦ=；；） 解：（1）由题设可得：

1505015050

{150}{150150}(

)()100100

(1)(2)10.84120.977210.8184

P X P X ---<=-<<=Φ-Φ=Φ+Φ-=+-=…………5分

（2）由题设可得：50

{0}1{0}1()(0.5)0.6915100

P X P X ≥=-<=-Φ-

=Φ=.…5分 2、已知玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 求：（1）

顾客买下该箱的概率α？（2）在顾客买下一箱中，确实没有残次品的概率β？（10分）

解：设B={顾客买下该箱玻璃杯}，012A A A 、、分别表示该箱中含有0、1、2件残次品，则由题可知 …………………………………………………………1分

012()0.8;()0.1,()0.1.

P A P A P A ===

4200420(|)1;C P B A C ==41914204(|);5C P B A C ==4

18042012

(|).19

C P B A C == ……………4分

（1） 由全概率公式有

001122()()(|)()(|)()(|)

412448

0.810.10.10.94.

519475

P B P A P B A P A P B A P A P B A α==++=?+?+?=≈ …………7分

（2） 由贝叶斯公式有 000()(|)0.8

(|)0.85.()0.94

P A P B A P A B P B β==

== …………………10分

3、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数().Y f y （10分） 解

：2

2

(0,1),(),.x X

N x x ?-=-∞<<∞Y 的分布函数为

2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………3分

当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………5分 当0y >

时，2()(){(((Y F y P X y P X P X P X =≤=≤≤=≤

-≤=Φ-Φ ………………7分

从而

2

()()(((Y Y y f y F y ????-'''==Φ-Φ==

+=

9分

所以

20()0,0y

Y y f y y -?≥=

……………………………………………10分 4、设一只昆虫所生的虫卵数X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p ，且各个虫卵是否发育为幼虫相互独立，试求一只昆虫所生的幼虫数Y 的数学期望和方差.（6分） 解：由题可知

(),0,1,2,!

n e P X n n n λ

λ-==

=

(|)(1),0,1,2,

,.k k n k n P Y k X n C p p k n -===-=……1分

由全概率公式，得

0()()(|).n P Y k P X n P Y k X n ∞

======∑…………2分

因为当n k <时，()(|)0,P X n P Y k X n ====所以

(1)()()(|)

!

(1)!

!()!()[(1)]!

()!()!(),0,1,2,

!

n k n k n k

n k

k n k n k

k p k p P Y k P X n P Y k X n e n p p n k n k p e p k n k p e e

k p e k k λ

λ

λλλλλλλλ∞

=-∞

-=--∞

=---======---=

-===∑∑

∑………………4分

即，一只昆虫所生的幼虫数Y 服从参数为p λ的泊松分布，故

(),().E Y p D Y p λλ==…………………………………………6分

5、设X 与Y 的联合概率密度函数为

(2)e ,0,0,

(,)0,

x y A x y f x y -+?>>=?

?其它. 求：(1)常数A ；（2分） (2)分布函数(,)F x y ；（3分） (3){}P X Y <；（5分） (4)判断X 与Y 是否独立.（5分） 解 (1) 由(2)0

1d (,)d d e d x y x f x y y x A y +∞

+∞+∞+∞

-+-∞-∞

==??

??

20

e d e d 2

x

y A A

x y +∞

+∞

--==

?

?． 得2A =． …………………………………………………………………………2分

(2) (,)d (,)d x

y F x y x f x y y -∞

-∞

=??

2002e d e d ,0,0,

0,x y

x y x y x y --?>>?=???

??其它.

2(1e )(1e ),0,0,

0,x y x y --?-->>=??

其它.………………………………5分

图1 图2

(3)如图1所示，{(,)|0}G x y x y =<<，故

{}{}(,)(,)d d G

P X Y P X Y G f x y x y <=∈=??

220

230

d 2

e e

d 2

e (1e )d 2e

d 2

e d 211.33

y

x y

y y y

y y x y

y y

+∞+∞

----+∞

+∞

--==-=-=-

=????? ……………………10分

(4) X 与Y 的边沿密度分别为

(2)02,0,0

()()0,00,0x y x X e

dy x e x f x f x y dy x x +∞

-+-+∞

-∞

??>>?===??

≤??≤???， (2)202,02,0

()()0,0

0,

0x y y Y e

dx y e y f y f x y dx y y +∞

-+-+∞

-∞

??>>?===??

≤??≤???

， 显然, (,)()()X Y f x y f x f y =成立,故X 与Y 独立. ……………………15分 6、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布，问：

(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（5分） (2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0．90？（5分）

（已知0.9099,(1.645)0.95Φ=Φ=） 解: 假设i X 表示每i 次计算时,所得到的误差,则

~(0.5,0.5)i X U -,1,2,

,1500i =,……………………1分

15001

i i X X ==∑表示1500个数相加,所得到误差总和,则1500

0,12512

EX DX ==

=,根据中心极限定理

, X 近似服从标准正态分布.………………3分 (1)

{}{

}

1511515222(10.9099)0.1802.

P X P X >=--<<≈-Φ=-=……………………5分

(2)假设最多可有n 个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90，则

1100.90n i i P X =??<>?????

∑11010n

i n i i X P X P =??

????-<<=<

∑∑

210.9=Φ->……………………………………9分

解得443n =.…………………………………………………10分