系统稳定性判别方法

a1 a3 a5 ..... 0
a0 a2 a4 ....... 0
0 a1 a3 ..... 0
Δ= 0 a0 a2 ..... 0
00
00
...... ......
......
.... .... ....
0 .... .... an-1 0 0 .... .... an-2 an
系统稳定的充分必要条件： 主行列式Δn及其对角线上各子行列 式Δ1，Δ2，Δ3，Δ4......Δn-1均具有正
于无穷远处。
举例如题，G(S )
K S(S 1)
，起点：０，－１，无零点，n=２，
m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞
三．根轨迹的分支数
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
四．实轴上的根轨迹
在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零 点和开环极点数目之和为奇数。
五．根轨迹的渐近线
１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为
对于二次型标量函数；
设 x1，x2 ，xn为n个变量，二 次 型 标 量 函 数 可 写
为
V (x) xT Px x1 x2 L
p11
xn
p21 M
p12 L p22 L MO
p1n x1
M
x2
M M
pn1
L
L
pnn
xn
其中，P为实对称矩阵。
此时，必然存在正交矩阵T，通过变换 x Tx ，使之化为：
对于给定的一个系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x)， 根据该函数导数来确定能量随时间的变化。
标量函数的符号性质：设V(x)是向量x的标量函数，且在x=0 处，恒有 V(0)=0，那么在所有定义域中的任何非零向量x， 若V(x)>0，则V(x)正定；若V(x)≥0，则V(x)半正定。若V(x)<0， 则V(x)负定；若V(x)≤0，则V(x)半负定；若V(x)>0或V(x)<0， 则V(x)不定
根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发 展成为经典控制理论中最基本的方法之一。
根轨迹的基本概念
一．举例说明根轨迹的概念
R(S)
C(S)
C(S) K R(S) S 2 S K
K S(S 1)
特征方程 S 2 S K 0 的根为
S1
1 2
1 2
1 4K ，
11 S2 2 2 1 4K
q 1,a 180
jω
j2
K1=6
-1 60 -0.423
× °×
-
σ
60°
K1=6
j 2
李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫稳定性方法
李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第一法是通过求解系统微分方程，然后根据解的性 质来判定系统的稳定性，其基本思路与经典控制理论一致。 对于线性定常系统来说
x Ax bu
y cx
劳斯稳定性判据 代数稳定性判据
赫尔维兹稳定性判据
劳斯稳定性判据是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程 式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性. 判断依据：1、特征方程的各项系数都不等于0；
2、特征方程各项系数符号相同； 3、劳斯表的第一列是否均大于零。
sn a0 a2 a4 a6 ..... sn-1 a1 a3 a5 a7 ....... sn-2 b1 b2 b4 b6 ....... sn-3 c0 c2 c4 c6 ........
且只能解决非线性不是很严重的系统，将其线性化处理，取其 近似的线性方程来判断稳定性。
例：设系统的状态空间表达式为：
x
1 0
0 1
x
11u
y 1 0x
试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。
I A ( 1)( 1) 0
故系统不是渐进稳定的。1 1, 2 1,
再由其传递函数
W (s) c(sI A)1b
系统稳定性的基本概念：
如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当 扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这 个系统是不稳定的。
稳定性判别方法： 1、劳斯稳定性判据 2、赫尔维兹稳定性判据 3、乃奎斯特稳定性判据 4、由伯德图判断系统的稳定性 5、根轨迹法 6、李雅普诺夫稳定性方法
a
(2q 1)180 nm
q 1,2, …，（n-m-1)
当 q 0 时，求得的渐近线倾角最小，
q 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线
只有（n－m）条．
２.渐近线与实轴的交点
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
渐近线的交点总在实轴上，即 a 必为实数．在计 算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相 互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．
例：G(S)H(S)
K1
求根轨迹
S(S 1)(S 2)
解：①在Ｓ平面中确定开
环零、极点的位置。 ②确定实轴上的根轨 迹。
③n=3,m=0,应有三个分
支，并且都趋向无穷远
处。
-2
④确定渐近线的位置．
×
a
p1 p2 nm
p3
0 1 2 30
1
a
(2q 1)180 nm
(2q
1)180 3
q 0,a 60
2、当开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时
当遇到位于虚轴上G(s)的极点（图中用×表示）时，要用半径 很小的半圆从右侧绕过。Z=P-2N
带有延迟环节时的系统稳定。
Gk (s) G1(s)es
幅频特性 | GK ( j) || G1( j) |
相频特性 Gk ( j) G1( j)
1
0
s
0
1
s
0111
s
s 1
1s 1
s
1 1
可见传函的极点在-1处位于左半平面，故系统输出稳定。
李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法是从能量观点进行稳定性分析，当一个系
统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰弱，到达平衡 状态时，能量将得到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。 反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个 平衡状态就是不稳定的，如果系统的储能既不增长也不消耗，那 么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件就是矩阵A所有特征值均
具有负实部，这里所说的是系统的状态稳定性，而对于输出稳定 性来说，其稳定的充要条件是其传递函数
W (s) c(sI A)1b 的极点全部位于s的左半
平面。
该方法能解决线性定常和非线性定常系统的稳定性分析，但不 能延伸至时变系统的分析。
V (x) xT Px xTT T PTx xT (T T PT )x x T Px
1
xT
0
2
O
0
n
x
i 1
i xi2
n
此称为二次型函数的标准型，ʎi为P的特征值，则V(x)正定的充要条 件是P的特征值ʎi均大于0。
若V(x)正定，则 P 为正定矩阵，记为 P>0;若V(x)负定，则 P 负定矩阵，
绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
v1
若某行第一个sn 元素为0，则用一个趋于0的数ε代
数s等0 于w1在右半平若面第上一根列的系个数数有。负数，则第一列系数符号的改变次
优点：不必求解方程，方便系统的稳定性的判断。不但可以判别 绝对稳定性还可以判别相对稳定性。
应用领域：分析系统参数对稳定性的影响。
赫尔维兹稳定性判据 先依据特征方程写出Δ
s2 u1 u2
b1
a1a2 a0a3 a1
b2 a1a4 a0a5 a1
b3 a1a6 a0a7 a1
c1
b1a3 a1b2 b1
c2
b1a5 a1b3 b1
c3
b1a7 a1b4 b1
......
......
...... ...... ...... ...... ......
s1 替
优点：1、可以将幅值相乘转化为幅值相加，便于绘制由多个环 节串联组成的系统的对数频率特性图。
2、可采用渐近线近似作图方法绘制对数幅频图，简单方 便。
3、有效扩展了频率范围，尤其是低频段。（指数增长）
根轨迹法
控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态 响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面 上分布的位置有关。
伯德图是系统频率响应的一种图示方法，由幅值图和相角图组 成，两者都按频率的对数分度绘制
判断方法：在开环状态下，特征方程有P个根在右半平面内。 此时，在L（ω）≥0的范围内，相频特性曲线ɸ（ω）在-π线上正、 负穿越次数只差为P/2次，则闭环系统是稳定的。
分别用N+和N-表示正穿越次数和负穿越次数,则N=N+-N-。判据 的结论是Z=P－2N，且Z=0时闭环系统稳定，Z≠0时闭环系统不 稳定。由于频率响应的幅值对数图和相角图易于绘制，因此对数 频率响应稳定判据应用更广。
幅值条件改写
m
(s z j ) j 1
n
(s pi )
1 K1
i 1
jω ∞
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ pi ，即起点是开环极点。∞
当 K1 ，必有Ｓ＝ z j ，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处
起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋
优点：1、开环频率响应容易通过计算或实验途径定出，所以它 在应用上非常方便和直观。
2、能解决代数稳定判据不能解决的比如含延迟环节的系 统稳定性问题。
3、能定量指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性定 量指标，进一步提高和改善系统动态性能。
由伯德图判断系统的稳定性
与乃奎斯特稳定性判据类似，该方法是利用开环系统的伯德图 来判别系统的稳定性，同样也是能够用实验来获得，因此也得到 广泛的应用。
GB
s来自百度文库
1
Gs GsH
s
开环传递函数： GK s Gs H s
特征方程：F s 1 Gs H s
若
GB
G sK
s
G
s
H
s
M
F sN
s s
GK s
零零则点点F s极 点1 G s H零s点 M极sN点 sN s 零零点点 极点
相同
相同
GB
s
1
Gs GsH
s
M sNs M s N s
作图方法： 1、写出幅频特性|G（jω）|和相频特性 G（jω）表达式。 2、求出ω=0和ω→∞时的G（jω）。 3、求乃氏图与实轴虚轴的交点。 4、必要时画几点中间的，并勾勒大致曲线
值
优点：规律简单明确，使用方便 缺点：对高阶系统，计算行列式较复杂
此外，劳斯稳定性判据和赫尔维兹稳定性判据还有一个共同的 缺点就是：无法解决带延迟环节的系统稳定性判定。
乃奎斯特稳定性判据
乃奎斯特稳定性判据是根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭 环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。
闭环传递函数：
决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚 这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握 了系统的基本特性。
为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹 法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴 趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在 Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。
1、奈奎斯特稳定判据的基本形式表明，如果系统开环传递函数 G(s)在s复数平面的虚轴jω上既无极点又无零点，那么有 Z=P-N
P是开环传递函数在右半s平面上的极点数。
N是当角频率由ω=0变化到ω=+∞时 G（jω）的轨迹沿逆时针 方向围绕实轴上点(-1，j0)的次数。如果Z=0，则闭环控制系统 稳定；Z≠0，则闭环控制系统不稳定。
当K=0时，S1=0，S2=-1
令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解 析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值， 将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的 粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头 表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋 势。
jω ∞
K K=0×
-1
K=0.×25K=0 σ
K
∞
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
记为 P<0;若V(x)半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P≥0;若V(x)半负定， 则 P 半负定矩阵，记为 P≤0;
希尔维斯特判据
设实对称阵
p11
P
p21
M
pn1
p12 L p22 L MO LL
p1n
M , M
pij
p ji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即