线性规划问题的一种改进的单纯形法
单纯形法
◼1.5 求解线性规划问题的单纯形法➢LP问题的几何意义➢单纯形法的经济解释➢单纯形法的计算步骤❖基本概念为凸集。
则称若设K K XXK XK X),10( )1( ,,)2()1()2()1(≤≤∈−+∈∈ααα 1、凸集：在某个点集K 中任给出两点，若连接这两点的线段上的一切点也在此点集中。
即2、顶点：不能用不同的两点的线性组合表示的点。
➢LP 问题的几何意义❖基本定理➢LP问题的可行域是凸集。
➢可行解X=(x,x2,…,x m,0,…,0)T是基本可行解的充要条件是X1的非零分量所对应的系数列向量是线性无关的➢基本可行解对应可行域的顶点➢有可行解必有基本可行解，即凸集非空、有顶点➢最优解一定在可行域的顶点上得到（必定在基本可行解中）例设有一家具厂用木材和钢材生产A,B,C 三种家具，生产一件家具所需的材料、每件家具可获得的利润以及每月可供的木材和钢材数量如下表，问此家具厂应如何安排各种家具的生产量才能使企业获得最大的利润？产品木材钢材单位产品获利（元）A B C3 21 14 4415材料可供量8000 3000解：设A,B,C 三件家具的产量(件数)分别为x 1,x 2,x 3，有：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤++≤++++=3,2,1,0300042800043..54321321321j x x x x x x x t s x x x MaxZ j➢单纯形法的经济解释模型的标准型为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++⋅+⋅+++=5,4,3,2,1,0300042800043..00545321432154321j x x x x x x x x x t s x x x x x MaxZ j系数矩阵和基：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10011041201413B A 取则：x 4, x 5为初始基变量; x 1, x 2x 3为非基变量，变换标准型的约束条件：⎩⎨⎧−−−=−−−=32153214423000438000x x x x x x x x 代入目标函数：Z = 0 + 4x 1+ x 2+ 5x 3令非基变量等于0，基变量x 4=8000, x 5=3000)3000,8000,0,0,0()0(==Z XT初始基本可行解经济解释观察目标函数：321540x x x Z +++=选x 3入基，x 1, x 2仍为非基变量且为0，代入上方程组：75043000,48000min 04300004800033534=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎩⎨⎧≥−=≥−=x x x x x 则：则：基变量为x 4, x 3;非基变量为x 1, x 2x 5，变换标准型的约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧−−−=+−=⇒⎩⎨⎧−−−=−−=+521351452132143414121430005000230004380004x x x x xx x x x x x x x x x 代入目标函数：Z = 3750 + 1.5x 1－0.25x 2－1.25x 5 令非基变量等于0，基变量x 3=750,x 4=50003750)0,5000,750,0,0()1(==Z XT基本可行解当x 3=750时，x 5=0即为非基变量，x 4=5000观察目标函数：5214541233750x x x Z −−+=选x 1入基，x 2, x 5仍为非基变量，且为0，代入上方程组：{}15002*750,5000min 0217500500011314==⎪⎩⎪⎨⎧≥−=≥−=x x x x x 则：则：基变量为x 1, x 4; 非基变量为x 2, x 3x 5，变换标准型的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−=+++=⇒⎩⎨⎧−−−=−−=+5321532453213241212211500232213500430002480003xx x x x x x x x x x x x x x x 代入目标函数：Z = 6000 －x 2－3x 3－2x 5 令非基变量等于0，基变量x 1=1500, x 4=35006000)0,3500,0,0,1500()2(==Z XT最优解当x 1=1500时，x 3=0即为非基变量，x 4=3500将问题化标准型，求出初始基本可行解，建立初始单纯形表是否最优？是否无解？最优解YNY无解N确定换入变量、换出变量，迭代，得到一个新的基本可行解➢单纯形法的计算步骤例线性规划问题的标准型：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++⋅+⋅+++=5,4,3,2,1,0300042800043..00545321432154321j x x x x x x x x x t s x x x x x MaxZ j初始单纯形表：∑='=mi iji j a c Z 1c j → 41 5 0 0 C ’ B X B b x 1 x2 x3 x4 x5 0 0X 4 X 5 8000 30003 2 1 14 4 1 0 0 1 Z j C j – Z j0 40 10 50 00 0初始解为X=(0,0,0,8000,3000)Z=0检验数表达式推导：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+=+====+=+=+==+=−+='−+'=+−'=+'=−=nm j jj jnm j jm i ij i j mi i imi nm j jjnm j j iji inm j j jmi i i nm j jiji i x z cZ x a c c b cx cx ab cx cx c Z m i x ab x 10111111111)()()(),,2,1(＝代入目标函数式： ➢判别式：MaxZ: c j –z j ≤ 0 (对于所有的非基变量）问题达到最优；换入变量的确定：{}入基K K K j j x Z c Z c Max ⇒−=>−0换出变量的确定：出基L LKLik ik i x a b a a b Min ⇒=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0,θ系数矩阵的变换：按照增广矩阵的变换规则，将基变量的系数矩阵转化为单位矩阵，非基矩阵和资源向量作相应的变化。
第二章 图解法与单纯形法
表1-4 XB
基变量 x1 x2
进基列 x3
bi /ai2，ai2>0 x4 b
将3化为1
(1)
θi 40 10
出 基 行
x3
x4
2
1 3
1
3 4
1
0 0
0
1 0
40
30
σj
x3
乘 以 1/3 后 得 到
5/3
0 1 0 0 1
1 0 0 3/5 -1/5
-1/3 1/3 -4/3 -1/5 2/5
x2
40
例题
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
max Z 3x1 4x2 2 x1 x2 40
30
x1 1.5 x2 30 x1 0, x2 0
20
最优解X=(15,10) 最优值Z=85
10
O
10
20
30
40
x1
2.1 线性规划问题的图解法
θ M 20
0 λj
0 2 λj 1 2 λj
x5
x4 x2 x1 x2
1/3 1
3 1/3 1/3 1 0 0
1 2
0 1 0 0
5 1
17 5 －9 17/3
0 0
1 0 0 1/3
1 0
3 1 －2 1
20
75 20 25
25 60
1 0
28/9 －1/9 2/3 －98/9 －1/9 －7/3
1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。
它适用于小到中等规模的问题。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。
相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。
3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。
它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。
4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。
通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。
5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。
需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
线性规划问题的算法综述
线性规划问题的算法综述本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。
现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。
线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。
毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。
提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。
单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。
把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。
显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。
几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。
1数学模型线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。
设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。
在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。
线性规划问题的单纯形法求解(第3讲)
基变量 x3, x4 , x5
非基变量 x1, x2
基变量 P3, P4 , P5 非基变量 P1, P2
100 | B2 | 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0
001
对应于基B2的基解X2
x1 2x2 x3
8
4x1
x4 16
引理：线性规划问题的可行解X为基可行解
的充要条件是X的正分量对应的系数列向量
是线性独立的。
• 定理2：线性规划问题的基可行解X对应于 可行域D的顶点。 证明：反证法。分两步。
• 定理3：若可行域有界，线性规划问题的目 标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最 优。
几点结论：
线性规划问题的可行域是凸集。 若线性规划问题有最优解，一定存在一个
4 x2
x5 12
X 2 (0,0,8,16,12) 基可行解
线性规划解的关系图
最优解？
线
非可行解
性
规
划
可行解
基解
问
题
解
的
概 念
基可行解
2.线性规划问题的几何意义
线 基本概念
性 规
凸集：设k是n维欧氏空间的一点集，
划 问
对X（1） K，X（2） K
题
连线上的一切点
的
α X（1） （1 α ）X（2） K，
X=(x1,x2,…,xm,0,…,0)T 这个解的非零分量的数目不大于方程的个数m,称
为基解。于是，由一个基可以求出一个基解。
基可行解：满足非负条件的基解，称为基可行 解。于是基可行解的非零分量的数目也不大于 m,并且都是非负的。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
第一章线性规划与单纯形法ppt课件
x2
解，也不存在最优解。
x11.5x2 8
目 标 函 数 m ax z 2 x1 3x2
4x1=16
x1 2 x2 8
约
束
条
件
:
4 x1
16 4x2 12
3
4x2=12
x1 , x2 0
原可行 域
0
无可行解
增加一个新的约束条件
x1+2x2=8
8
x1
x11.5x28
23
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Q3
x1 , x2 0
3
Q2
可行域
4x2=12
0
x1+2x2=8
x1
4
8
无穷多最优解（多重最优解）
20
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
x2
可行 域
max z 2 x1 3x2
8—
x1 + x2 5
7—
x2 = -2x1 6 —
5— 4— 3—
x1、 x2 0
6x1 +2x2 24
6x1+ 2x2=24 x1+ x2=5
5
x2
15
最优解
2—
(3.5,1.5)
1—
x1 + x2 5
0
|| | | || | | | 12 3 4 5 6 7 8 9
x1
求解线性规划的单纯形法(1)
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法 首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则） ：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学 变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0） 是正数！
x1 2
x1 2
－
x1 4
初等行变换
x3
0
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系 数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1