线性规划线性规划问题单纯形法
单纯形法与线性规划问题
单纯形法与线性规划问题线性规划是一种优化问题，其基本形式是在给定的约束条件下，使目标函数最大或最小。
这种问题在工业、商业、农业和社会等领域有着广泛的应用。
在解决线性规划问题时，单纯形法是一种经典和常用的算法。
本文将介绍单纯形法和其在线性规划问题中的应用。
一、单纯形法概述单纯形法是一种基于向量空间的方法，其基本思想是沿着可行解空间中的边缘逐步搜索找到最优解。
单纯形法的运算是建立在基向量的概念上，基向量是指满足线性不可约条件的可行解基组成的向量。
单纯形法的步骤如下：1. 构造首行，确定初始基向量。
2. 选择离目标函数最远并且为正的变量，称为入基变量。
3. 选择离约束最近的基变量，称为出基变量。
4. 通过 Gauss-Jordan 消元法计算新的基向量组，确定更新后的基向量。
5. 重复步骤 2-4 直至无法选择入基变量为止。
6. 找到目标函数的最优解。
二、线性规划问题线性规划问题的一般形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$其中，$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 为线性目标函数，$a_{ij}$ 和$b_i$ 均为常数。
三、单纯形法解决线性规划问题1. 转化为标准型单纯形法只能用于标准型的线性规划问题，因此需要将原始问题转化为标准型。
标准型的形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}\sum_{j=1}^nc_jx_j$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$2. 添加松弛变量将约束条件转化为等式形式时需要添加松弛变量，松弛变量是一种关于决策变量的人工变量，其值可以取负数。
线性规划问题的单纯形法求解步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤线性规划是一种优化问题，它的解决方法有很多种，在这里我们来介绍其中一种常用的方法——单纯形法。
我们将介绍单纯形法的求解步骤，以帮助读者更好地理解和掌握这种求解方法。
1. 建立数学模型任何一个线性规划问题的解决都需要先进行建模。
我们将问题转换成数学模型，然后使用数学方法进行求解。
线性规划问题的一般形式为：max cxs.t.Ax ≤ bx ≥ 0其中，c、x、b、A都是向量或矩阵，x≥0表示各变量都是非负数。
其中c表示目标函数，A和b表示约束条件。
2. 计算初始基可行解我们需要从初始点开始，逐步优化目标函数。
但是，在开始优化前我们需要先找到一个基可行解。
基可行解的定义是：如果所有非基变量的取值都是0，并且所有基变量的取值都是非负的，则该解被称为基可行解。
当基可行解找到后，我们就可以开始进行优化。
3. 确定进入变量在单纯形法中，每次迭代中我们都需要找到进入变量。
进入变量是指，通过操作非基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个使得目标函数增加最多的非基变量，将其称为进入变量。
4. 确定离开变量在确定进入变量后，我们需要确定一个离开变量。
离开变量是指，通过操作基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个离开变量，使得当进入变量增加到某个值时，该离开变量的值为0。
这样，我们就找到了一个最小的正根比率，使得通过基本变量出基到进入变量变为零而得到的新解是可行的。
5. 交换变量接下来，我们需要将已选定的进入变量和离开变量进行交换。
此时，我们将进入变量转变为基变量，离开变量转变为非基变量。
通过这种交换，我们还需要调整我们的基向量。
由于这个交换，我们将得到一个新的基可行解，并且它可以比之前的解更好。
6. 重复迭代我们需要重复上述步骤，直到我们找到最优解。
重复迭代意味着我们将不断查找新的进入变量和离开变量，并进行变量交换。
这种找到最优解的过程可能非常复杂，但是单纯形法的效率很高，通常可以在很短的时间内找到最优解。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学线性规划与单纯形法
整理课件
16
Max Z= x1-2x2+3x3' -3x3" + 0x4 +0x5 s.t. x1+x2+ x3' - x3" +x4 =7
x1-x2+ x3' - x3" -x5=2
-3x1+x2+2x3' -2x3" =5 x1, x2,x3',x3", x4,x5 0
第一节小结：建立模型；三个组成要素；四种形式； 化为标准形（4个条件5点）
.
9x1+4x2 ≤ 360
90 80 60 40 20
4x1+5x2 ≤200
B C
HI G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
整理课件
30
二、解的几种可能情况
1．唯一最优解。目标函数直线与凸多边形只有 一个切点； 2．无穷多最优解，目标函数图形与某个约束条 件平行。 3．无界解（无最优解）----可行域无界。一般是 漏了一些约束条件。 4．无可行解----可行域为空。
Ⅰ
Ⅱ 计划期可用能力
2
2
12
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？
整理课件
3
解：用数学的语言进行描述:
1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2 2.目标函数：问题要求获取利润最大，该公司获取
利润为2 x1 + 3 x2，令z = 2 x1 + 3 x2，则max z = 2 x1 + 3 x2， max z 是该公司获取利润的目标 值，它是变量x1、 x2的函数，称为目标函数。
第1章4线性规划单纯形法小结
(Linear Programming)
单纯形法小结
几种特殊情况
一、无穷多最优解
例1、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。
目标函数 约束条件 max z 50 x1 50 x2 x1 x2 300, 2 x1 x2 400, x2 250, x1 , x2 0.
例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。
目标函数 约束条件 max z 2 x1 x1 x2 2, 2 x1 x3 4, x1 x2 x3 3, x1 , x2 , x3 0. 3 x3 2
几种特殊情况
解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式，填入单纯形表计算：
1
σj x1 x2 s3 2 0 0
0 1 0 0 0
2 0 1 0 0
3/2 1/2 1/2 0 1/2
-2 0 -1 1 0
0 1/2 1/2 -1 -1
0 0 0 1 0 2 0 1 Z=4 2/(1/2) 0/(1/2) —
2
σj
迭 基 代 变 次 量 数 x1 x3 s3 σj
CB
x1 2
0 0 1
0
1 0 0
0
0 1 0
0
-1 -1 1 50 150 250 12500 50/1 150/2 —
1
σj x1 s2 x2 σj 50 0 50
50 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 -2 0 -50
0 0 1 0 0
0 -1 1 1 0 50 50 250 15000 — 50/1 250/1
3 max Z 2 x1 x2 2 x1 x2 s1 2 2 x1 x2 s2 4 x1 x2 x3 s3 3 x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 0
线性规划-单纯形法
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
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线性规划 Linear Programming（LP）
河流污染治理规划问题
数学模型（整理之后）
Min Z= 3X1 +5X2 +2X3 +4X24 +5X5 +6X6 +1X7 +2X8 +3X99
X2
8
X8
≧ 0.4 ≧ 1.6
X1 +0.8X2
7
+0.8X8
≧ 4.4
6X9 ≧ 0.1
线性规划 Linear Programming（LP）
背景资料:
表-1 污水产生量
单位：万m3
化工厂1 1.2 化工厂4
2
化工厂7
2
化工厂2
1
化工厂5
1工厂6
1
化工厂9 1.5
表-2 流经各化工厂的河流流量
单位：万m3
化工厂1 500 化工厂4 1200 化工厂7 1200
工厂1 工厂3
工厂4
工厂5
工厂9
工厂6
今日认识未为晚， 吾辈齐心治环境; 线性规划大有用， 定让江水绿如蓝。
线性规划 Linear Programming（LP）
案 例 河流污染治理规划问题
背景资料: 长江流域某区域内有9化工厂，各厂每月产生的工业污水量
如表-1，流经各化工厂的河流流量如表-2，各化工厂治理工 业污水的成本如表-3。上游厂排放的污水流到相邻下游厂以 前，有20%可自然净化。 根据环保标准河流中此种工业污 水的含量不应超过0.2%。从该区域整体考虑，各化工厂应 该分别处理多少工业污水才能既满足环保要求，又使9化工 厂治理工业污水的总费用最少。
化工厂2 300 化工厂5 600 化工厂8 200
化工厂3 1800 化工厂6 400 化工厂9 700
表-3
化工厂1 化工厂2 化工厂3
治理工业污水的成本
3
化工厂4
4
5
化工厂5
5
2
化工厂6
6
单位：百万元/万m3
化工厂7
1
化工厂8
2
化工厂9
3
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划 Linear Programming（LP）
本讲中我们将讨论什么是线性规划问题，线性规划问题的 数学表示，基本概念和图解方法。
线性规划问题是什么样的一类问题呢？
请看案例------
线性规划 Linear Programming（LP）
案 例 河流污染治理规划问题
曾几何时长江水， 哺育华夏代代人; 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
问题分析： 区域污染治理的决策——各个化工厂应处理的工业污水量
（或应排放的工业污水量）。
9
区域污染治理的约束—2 —即满足环保要求排放工业污水 （区域内河流中任何点检测8 都应符合环保标准）。
区域污染治理的目标——总治理7成本最少。
6
4
1
5
3
线性规划 Linear Programming（LP）
3
线性规划 Linear Programming（LP）
对化工厂9应有——
（1.5-X9）/ 700 ≦ 0.2%
对化工厂7应有——
9
（2-X7）+ 0.8（1.25-X9） / 1200 ≦ 0.2%
……
8
此外显然还应有
7
Xi ≧0 （i=1，2，3 … 8，9）
6
综上所述决策者所需考虑4 的区域内各个化工厂应处理的工 业污水量 Xi应1 满足上述所有不等5式方程。我们将这些不等 式方程构成的方程组称为污水治理的约束条件。
s.t.
X7 +0.8 X9 ≧ 0.8
1
X4 4
+0.8X7 X6 5
+0.64X9 ≧ 2.16 ≧ 0.2
X5 +0.8X6
≧ 0.6
X3 +0.83X4 +0.8X5 +0.64X6 +0.64X7 +5.12X9 ≧ 9.4
Xi ≧ 0 （i=1，2，3，4，5，6，7，8，9）
线性规划 Linear Programming（LP）
第二章
线性规划及图解法
第一讲
第二章 线性规划及图解法
线性规划 Linear Programming（LP）
问题的提出
解决有限资源在有竞争的使用方向中如何进行最佳分配。 线性规划是运筹学的一个重要分支，也是运筹学中应用最
广泛的方法之一。自1947年旦茨基（G. B. Dantzig）提出 了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法（simplex method）之后，线性规划已被广泛应用于解决经济管理和 工业生产中遇到的实际问题。调查表明，在世界500家最大 的企业中，有85%的企业都曾使用线性规划解决经营管理 中遇到的复杂问题。线性规划的使用为应用者节约了数以 亿万计的资金。
线性规划 Linear Programming（LP）
案 例 河流污染治理规划问题
曾几何时长江水， 哺育华夏代代人; 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
工厂2 工厂8
工厂7
工厂1 工厂3
工厂4
工厂5
工厂9 工厂6
线性规划 Linear Programming（LP）
案 例 河流污染治理规划问题
曾几何时长江水， 哺育华夏代代人; 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
工厂2 工厂8
工厂7
工厂1 工厂3
工厂4
工厂5
工厂9
工厂6
今日认识未为晚， 吾辈齐心治环境; 线性规划大有用， 定让江水绿如蓝。
线性规划 Linear Programming（LP）
案 例 河流污染治理规划问题
曾几何时长江水， 哺育华夏代代人; 谁知后代疏珍惜， 清清江水黑如泥。
工厂2 工厂8
工厂7
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线性规划 Linear Programming（LP）
另一方面污水治理的总成本可表示为Z（单位：百万元）
Z = 3X1+ 5X2+ 2X3+ 4X4+ 5X5+ 6X6+ 1X7+ 2X8+ 3X9
而决策者的目标是：
9
2
确定满足约束条件的Xi使得8 Z取得最小值。
7
将上述分析归纳后即可得如下数学符合6模型：
模型描述：
设第i个化工厂应处理的工业污水量为Xi万m3，则根据问题
描述的情况以化工厂1、2、…
、9
加以分析则可得如下近
9
似关系式
2
对化工厂2应有---
8
（1-X2）/ 300 ≦ 0.2%
7
对化工厂8应有---
6
（0.8-X8）/200 ≦ 0.2%4
对化工厂1应1有---
5
｛（1.2-X1）+ 0.8（1-X2）+（0.8-X8） ｝/500 ≦ 0.2%