16991-运筹学-习题答案选01_线性规划和单纯形法
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题
第一章. 线形规划及单纯形法习题1. 某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨，煤油12万吨，重油12万吨.该厂从A ，B 两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。
又如从A 处采购原油每吨价格（包括运费,下同）为200元，B 处原油每吨为300元.试求：1)选择该炼油厂采购原油的最优决策；2）如A 处价格不变,B 处降为290元/吨，则最2万元。
2)改为每季度从A 处采购15万吨，从B 处采购30万吨，总费用11700万元。
2. 已知线性规划问题： 213m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=++=+40,,34210215.515242131x x x x x x x x x st下表中所列的解(a ）— （f ）均满足约束条件1—3，试指出表中哪些是可行解，哪些是3. 已知某线性规划问题的约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=---+=-+=-+)5,,1(0852********.54321421321 j x x x x x x x x x x x x st j判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点：（a ）），，，，（0200155=X（b ） ），，，，（80079=X (c ） ），，，，（0010515=X答:该线性规划问题中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7312p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1013p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2104p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1005p （a ） 因有0421=++-p p p ，故不是凸集顶点；（b ） （9,7，0，0，8）为非可行域的点（c ） 因321,,p p p 线性相关，故非凸集的顶点。
4. 在单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量在紧接着的下一次迭代中会不会立即再进入基变量，为什么？答：不可能，因刚从基中被替换出来的变量在下一个单纯形表中,其检验数一定为负.5. 求解线性规划问题当某一变量jx 的取值无约束时，通常用'''j j jx x x -=来替换，其中0'≥j x ，0''≥j x 。
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
运筹学第一章线性规划及单纯形法
10
2D0
30 X1
(3)、求最优解 Z=40x1+50x2 x2 =-4/5x1+Z/50
C点： x1+2x2 =30 3x1+2x2 =60
解：x1 = 15, x2 = 7.5
maxZ =975
x2
maxZ=40x1+ 50x2
x1+2x2 30
30
3x1+2x2 60
2x2 24
x1 , x2 0
线性规划的单纯形法一线性规划的基本概念二单纯形法的迭代原理三单纯形法的计算步骤四单纯形法的进一步讨论五单纯形法小结线性规划的相关概念?矩阵的秩矩阵a中不为零的子式的最高阶数称为矩阵a的秩
问题的提出
❖ 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。 已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台 时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可 用于这两种家电的能力、各售出一件时的获 利情况如表1-1所示。问该公司应制造A、B 两种家电各多少件，使获取的利润为最大。
图解法的步骤： 1、在平面上建立直角坐标系 2、图示约束条件，找出可行域 3、图示目标函数和寻找最优解
例1、maxZ=40x1+ 50x2
x1+2x2 30 3x1+2x2 60
2x2 24
x1 , x2 0
解：(1)、建立坐标系
(2)、确定可行域
X2
x1+2x2 30
30
x1+2x2 =30
(0,15) (30,0)
20
maxZ=40xX1+1+52X0x2 2 30
3xx11++222xxx3222XX11+,362X22004X2X220
运筹学：线性规划的数学模型与单纯形法习题与答案
一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。
A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。
A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。
A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。
A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。
A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。
A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。
A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。
A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。
A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。
A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学习题答案运筹学答案
运筹学习题答案运筹学答案《运筹学》习题答案⼀、单选题1.⽤动态规划求解⼯程线路问题时，什么样的⽹络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意⽹络B.⽆回路有向⽹络C.混合⽹络D.容量⽹络2.通过什么⽅法或者技巧可以把⼯程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.⾮线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引⼊虚拟产地或者销地D.引⼊⼈⼯变量3.静态问题的动态处理最常⽤的⽅法是？BA.⾮线性问题的线性化技巧B.⼈为的引⼊时段C.引⼊虚拟产地或者销地D.⽹络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.⽬标函数取乘积形式5.在⽹络计划技术中，进⾏时间与成本优化时，⼀般地说，随着施⼯周期的缩短，直接费⽤是( )。
CA.降低的 B .不增不减的 C .增加的 D .难以估计的6.最⼩枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式⽹络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占⽤时间也不消耗资源B.结点表⽰前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动8.如图所⽰，在锅炉房与各车间之间铺设暖⽓管最⼩的管道总长度是( )。
CB.14009.在求最短路线问题中，已知起点到A ，B ，C 三相邻结点的距离分别为15km ，20km,25km ，则（）。
DA.最短路线—定通过A 点B.最短路线⼀定通过B 点C.最短路线⼀定通过C 点D.不能判断最短路线通过哪⼀点10.在⼀棵树中，如果在某两点间加上条边，则图⼀定( )AA.存在⼀个圈B.存在两个圈 C .存在三个圈 D .不含圈11.⽹络图关键线路的长度( )⼯程完⼯期。
CA.⼤于B.⼩于C.等于D.不⼀定等于 600 700300 500 400锅炉房12312.在计算最⼤流量时，我们选中的每⼀条路线( )。
CA.⼀定是⼀条最短的路线B.⼀定不是⼀条最短的路线C.是使某⼀条⽀线流量饱和的路线D.是任⼀条⽀路流量都不饱和的路线13.从甲市到⼄市之间有—公路⽹络，为了尽快从甲市驱车赶到⼄市，应借⽤（）CA.树的逐步⽣成法B.求最⼩技校树法C.求最短路线法D.求最⼤流量法14.为了在各住宅之间安装⼀个供⽔管道．若要求⽤材料最省，则应使⽤( )。
运筹学思考练习题答案
第一章 L.P 及单纯形法练习题答案一、判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
(✓)2. 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。
(✗)3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解一定对应可行域边界上的一个点。
(✓)4. 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个基可行解中至少有一个基变量的值为负。
(✓)5. 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
(✓)6. 若1X 、2X 分别是某一线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。
(✗)7. 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为ai iMinZ x =∑(x ai 为人工变量)，但也可写为i ai iMinZ k x =∑，只要所有k i 均为大于零的常数。
(✓)8. 对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为m n C 个。
(✗)9. 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
(✗)10. 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
(✗)二、求得L.P 问题121231425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。
要求：分别指出其中的基解、可行解、基可行解、非基可行解。
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运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第一章）1.1
（1）无穷多解：α (6/5, 1/5) + (1- α) (3/2, 0)，α∈ [0,1]。
（2）无可行解；
（3）x* = (10,6)，z* = 16；
（4）最优解无界。
1.2
（1）max z’ = 3x1 - 4x2 + 2x3 - 5x’4 + 5x’’4
s.t. –4x1 + x2 – 2x3 + x’4– x’’4 = 2
x1 + x2 – x3 + 2x’4– 2x’’4 + x5 = 14
–2x1 + 3x2 + x3 – x’4+ x’’4– x6 = 2
x1, x2, x3, x’4, x’’4, x5, x6 ≥ 0
（2）max z’ = 2x’1 + 2x2 – 3x’3 + 3x’’3
s.t. x’1 + x2 + x’3 – x’’3 = 4
2x’1 + x2 – x’3 + x’’3 + x4 = 6
x’1, x2, x’3, x’’3, x4, ≥ 0
1.3
（1）基解：(0, 16/3, -7/6, 0, 0, 0)；
(0, 10, 0, -7, 0, 0)；
(0, 3, 0, 0, 7/2, 0)，是基可行解，z = 3，是最优解；
(7/4, -4, 0, 0, 0, 21/4)；
(0, 16/3, -7/6, 0, 0, 0)；
(0, 0, -5/2, 8, 0, 0)；
(1, 0, -1/2, 0, 0, 3)；
(0, 0, 0, 3, 5, 0)，是基可行解，z = 0；
(5/4, 0, 0, -2, 0, 15/4)；
(3/4, 0, 0, 0, 2, 9/4)，是基可行解，z = 9/4；
(0, 0, 3/2, 0, 8, 0)，是基可行解，z = 3，是最优解。
（2）基解：(-4, 11/2, 0, 0)；
(2/5, 0, 11/5, 0)，是基可行解，z = 43/5；
(-1/3, 0, 0, 11/6)；
(0, 1/2, 2, 0)，是基可行解，z = 5，是最优解；
(0, -1/2, 0, 2)；
(0, 0, 1, 1)，是基可行解，z = 5，是最优解；
最优解：α (0, 1/2, 2, 0) + (1- α) (0, 0, 1, 1)，α∈ [0,1]。
1.4
记可行集4个顶点分别为O:(0,0)，A:(1.6,0)，B:(1,1.5)，C:(0, 2.25)
当c=0，d=0时，四边形OABC中的点都是最优解
当c=0，d>0时，顶点C是最优解
当c=0，d<0时，线段OA上的点都是最优解
当c>0，d/c<2/5时，顶点A是最优解
当c>0，d/c=2/5时，线段AB上的点都是最优解
当c>0，2/5<d/c<4/3时，顶点B是最优解
当c>0，d/c=4/3时，线段BC上的点都是最优解
当c>0，d/c>4/3时，顶点C是最优解
当c<0，d<0时，顶点O是最优解
当c<0，d=0时，线段OC上的点都是最优解
当c<0，d>0时，顶点C是最优解
1.6
(1) 有无穷多个最优解，其中一个是x* = (0.8, 1.8, 0)，z* = 7
(2) 无可行解
1.7
a=3，b=2，c=4，d=-2，e=2，f=3，g=1，h=0，i=5，j=5，k=-3/2，l=0
1.9
(1) 当-1 ≤β≤ 1时，可以以x1, x2为基变量，列出初始基可行解的单纯形表
(2) 3 ≤α≤ 4
(3) -1 ≤β≤ 1
1.12
(1) 最优解为x*
(3) 最优解为λx*
1.13
设第j种饲料的用量为x j千克
min z = 0.2x1 + 0.7x2 + 0.4x3 + 0.3x4 + 0.8x5
s.t. 3x1 + 2x2 + x3 +6x4 + 18x5 ≥ 700
x1 + 0.5x2 + 0.2x3 + 2x4 + 0.5x5 ≥ 30
0.5x1 + x2 + 0.2x3 + 2x4 + 0.8x5 ≥ 100
x j ≥ 0, j = 1, 2, …, 5
1.15
设i=1,2,3分别表示前、中、后三舱，j=1,2,3分别表示A、B、C三种商品
设第i舱装载第j种商品的件数为x ij
max z = 100(x11+x21+x31) + 700(x12+x22+x32) + 600(x13+x23+x33)
s.t. 8x11+6x12+5x13 ≤ 2000 （前舱载重量）
8x21+6x22+5x23 ≤ 3000 （中舱载重量）
8x31+6x32+5x33 ≤ 1500 （后舱载重量）
10x11+5x12+7x13 ≤ 4000 （前舱容积）
10x21+5x22+7x23 ≤ 5400 （中舱容积）
10x31+5x32+7x33 ≤ 1500 （后舱容积）
x11+x21+x31≤ 600 （A商品数量）
x12+x22+x32 ≤ 1000 （B商品数量）
x13+x23+x33 ≤ 800 （C商品数量）
8x11+6x12+5x13 ≤ 1.15 (8x21+6x22+5x23) （前、中舱载重量比例偏差）
8x11+6x12+5x13 ≥ 0.85 (8x21+6x22+5x23) （前、中舱载重量比例偏差）
8x21+6x22+5x23 ≤ 1.15 (8x11+6x12+5x13) （前、中舱载重量比例偏差）
8x21+6x22+5x23 ≥ 0.85 (8x11+6x12+5x13) （前、中舱载重量比例偏差）
8x31+6x32+5x33 ≤ 1.15 (8x21+6x22+5x23) （后、中舱载重量比例偏差）
8x31+6x32+5x33 ≥ 0.85 (8x21+6x22+5x23) （后、中舱载重量比例偏差）
8x21+6x22+5x23 ≤ 1.15 (8x31+6x32+5x33) （后、中舱载重量比例偏差）
8x21+6x22+5x23 ≥ 0.85 (8x31+6x32+5x33) （后、中舱载重量比例偏差）
8x11+6x12+5x13 ≤ 1.1 (8x31+6x32+5x33) （前、后舱载重量比例偏差）
8x11+6x12+5x13 ≥ 0.9 (8x31+6x32+5x33) （前、后舱载重量比例偏差）
8x31+6x32+5x33 ≤ 1.1 (8x11+6x12+5x13) （前、后舱载重量比例偏差）
8x31+6x32+5x33 ≥ 0.9 (8x11+6x12+5x13) （前、后舱载重量比例偏差）
x ij ≥ 0, i=1,2,3, j=1,2,3
1.18
假设：每月的现金流发生在月初。
x：上一年末的借款数；
y i：第i个月初贷款, ( i =1,2,…,12)；
z i：第i个月初存款, ( i =1,2,…,13)；
c i：第i个月的现金需求量（如表，已知）；
max z = z13
s.t. z1– x – y1 = c1
z i– 1.004z i-1– y i + 0.01x + 1.015y i-1 = c i, ( i =2,3, (12)
z13– 1.004z12 + 0.01x + x + 1.015y i-1 = 0
x≥ 0
y i ≥ 0，i=1,2,…,12
z i ≥ 0，i=1,2,…,13。