江苏省淮安市楚州中学2021届高三数学第三次阶段测试试题 理.doc
江苏省淮安市楚州中学2021届高三数学第三次阶段测试试题 理
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置.）
1.设全集={15}U x x ≤≤，若集合2
{4}A x Z x =∈≤，则=U C A ▲ .
2.命题2
,210x R x x ?∈-+≥“” 的否定是 ▲ .
3.设幂函数()a
f x kx =的图象经过点(4,2)，则k a +＝ ▲ . 4.不等式2
3
1
22
x
x --<
的解集为 ▲ . 5.曲线y ＝e x
在x ＝0处的切线方程是 ▲ .
6.已知函数f (x )＝12x 3
＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的 ▲ 条件．(填
“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
7.若函数f (x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .
8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2
()=4f x x x -，则不等式()f x x >的解集为 ▲ .
9.若实数x ，y 满足约束条件????
?
x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，
则
y
x
的取值范围为 ▲ . 10.若函数(2)1,1
()log ,1a
a x x f x x x --≤?=?
>?在)∞+∞(-，上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ .
11.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则
(4)(2)
x y xy
++的最小值为 ▲ .
12.已知函数f (x )＝sin x －x ＋1－4x
2x ，则关于x 的不等式f (1－x 2
)＋f (5x －7)<0的解集为
▲ .
13.已知函数2,1()ln ,1x x e f x x x x
?+
14.若函数f (x )＝(x ＋1)2
|x －a |在区间[－1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.（本小题满分14分）
命题2
22:log (612)log (32)p x x x +≥++，命题2
3
q :24x x -<；
（1）若()p q ∧?为真命题，求x 的取值范围；
（2）若()p q ∧?为真命题是不等式2240x ax a -+->成立的充分条件，试求a 的取值范围.
16.（本小题满分14分）
已知函数41
()2x x
m f x ?+=是偶函数．
（1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的不等式2
2()31k f x k ?>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
已知函数3
2
()()f x ax bx x R =+∈的图象过点(1,2)P -，且在P 处的切线恰好与直线
30x y -=垂直．
（1） 求()f x 的解析式；
（2）若()()3g x mf x x =-在(1,0)-上是减函数，求m 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *
)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －
3x
500
)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
19.（本小题满分16分）
设函数()2x
f x =，函数()
g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；
（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．
20.（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ex(3x －2)，g(x)＝a(x －2)，其中a ，x ∈R. （1）求过点(2，0)和函数y ＝f(x)图象相切的直线方程；
（2） 若对任意x ∈R ，有f(x)≥g(x)恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜g (x 0)，求a 的取值范围.
楚州中学2021—2021度月考检测 高三数学（理）试卷参考答案：
一．
填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把正确答案填写在答题卡
相应的位置.）
1. =U C A {1,2}
2. 2
210x R x x ?∈-+<，
3.
3
2
4. (﹣1，2)
5. y 1x =+
6.充分不必要条件
7. --1]∞（，
8. (5,0)(5,)x ∈-+∞
9. 2
[
,2]11
10. 23a <≤ 11. 9 12. （2,3）
13. 2
1-e （,0） 14. 7
--,)2
∞+∞（，1][ 二．
解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明或演算步骤.
15. （本小题满分14分）
解：（1）若p为真则得
即,解得:.
若非q为真，则
所以为真命题，则x的取值范围为[3,5]. 7分
（2）因为为真命题是不等式成立的充分条件
所以时不等式恒成立.
14分
16. （本小题满分14分）
(1) 因为函数
41
()
2
x
x
m
f x
?+
=是定义域为R的偶函数，所以有()()
f x f x
-=，-2
分
即4141
22x x x x
m m --?+?+=，
即441
22x x x x
m m +?+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分
(2)241
()0,3102x x
f x k +=>+>，且22()31k f x k ?>+在(,0)-∞上恒成立，
故原不等式等价于
221
31()
k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分
又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10
分
所以
110,()2f x ??
∈ ???
，----------------------------11分 从而
221
312
k k ≥+，----------------------------12分
因
此
，
1,13k ??∈????
.
-------------------------------------------------------------------14分
17．（本小题满分14分）
(1) 由题意可得2
()32f x ax bx '=+，
(1)2'(1)323f a b f a b -=-+=??
-=-=-?，解得：13a b =??=?.
所以32
()3f x x x =+． 6分 (2) 因为3
2
()()333g x mf x x mx mx x =-=+-，所以2
()363g x mx mx '=+-.
因为()g x 在(1,0)-上是减函数，所以2
()3630g x mx mx '=+-≤在(1,0)-上恒成立， 即212m x x ≥
+.而()22
11
211
y x x x ==++-在(1,0)-上单调递减， 所以1y <-，1m ≥-，即[)1,m ∈-+∞. 14分
18．（本小题满分16分）
(1)由题意得，10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， ··········· 2分 即x 2
－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500． ················ 4分 即最多调整500名员工从事第三产业． ·················· 7分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x
500)x 万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )(1＋
1
500
x )万元， 则10(a －3x 500)x ≤10 (1000－x )(1＋1
500x )， ··············· 9分
故ax －3x 2
500≤1000＋2x －x －1500x 2
，
故ax ≤2x
2500
＋1000＋x ，
即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立． ····················· 12分
因2x 500＋1000x
≥22x 500·1000
x
＝4， 当且仅当2x 500＝1000
x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5， ········· 14分
又a ＞0，故0＜a ≤5．
故a 的取值范围为(0，5]． ····················· 16分
19. （本小题满分16分）
（1）由()4()3f x g x =+得2423x x -=?+ ……………………3分
223240x x ?-?-=
所以21x =-（舍）或24x
=， ……………………5分 所以2x = ……………………7分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得22
23a x
x +-≥ ……………………9分
2223a x x +≥+2232a x x -?≥+? ……………………12分
而232
x
x
-+?≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=?=∈即时取等号…14分
所以2a ≥21
1log 32
a ≥+
．………………………………16分
20. （本小题满分16分）
解：(1) 设切点为(x 0，y 0)，f′(x)＝e x
(3x ＋1)，则切线斜率为ex 0(3x 0＋1)，所以切线方程为y －y 0＝ex 0(3x 0＋1)(x －x 0)．
因为切线过(2，0)，
所以－ex 0(3x 0－2)＝ex 0(3x 0＋1)(2－x 0)， 化简得3x 2
0－8x 0＝0，解得x 0＝0或83. (3分)
当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2； (4分) 当x 0＝8
3时，切线方程为y ＝9e 83x －18e 8
3. (5分)
(2) 由题意，对任意x ∈R 有e x
(3x －2)≥a(x －2)恒成立， ① 当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x （3x －2）
x －2
?
a ≥????
??e x
（3x －2）x －2max
， 令F(x)＝e x
（3x －2）x －2，则F′(x)＝e x
（3x 2
－8x ）
（x －2）2
，令F′(x)＝0得x ＝0，
x (－∞，0)
0 (0，2) F′(x) ＋ 0 － F(x)
?
极大
?
F max (x)＝F(0)＝1，故此时a ≥1. (7分) ② 当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R. (8分) ③ 当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x
（3x －2）
x －2
?
a ≤????
??e x
（3x －2）x －2min
， 令F′(x)＝0x ＝83
，
x ? ??
??2，83 8
3 ? ??
??83，＋∞ F′(x) － 0 ＋ F(x)
?
极小
?
F min (x)＝F(8
3)＝9e 83，故此时a ≤9e 83.
综上，a 的取值范围是[1，9e 8
3]．(10分) (3) 因为f(x) (3x －2) 3，＋∞)， 令F(x)＝e x （3x －2） x －2，则 (12分) 当x ∈(－∞，2)，存在唯一的整数x 0使得f(x 0) （3x －2） x －2存在唯一 的整数x 0成立． 因为F(0)＝1最大，F(－1)＝53e ，F(1)＝－e ，所以当a<5 3e 时，有两个整数成立，所以a ∈[5 3e ，1)．(14分) 当x ∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x 0使得f(x 0) x －2存在唯一 的整数x 0成立． 因为F(83)＝9e 83最小，且F(3)＝7e 3，F(4)＝5e 4，所以当a>5e 4 时，有两个整数成立， 所以当a ≤7e 3 时，没有整数成立，所以a ∈(7e 3 ，5e 4 ]． 综上，a ∈[53e ，1)∪(7e 3，5e 4 ]． (16分) 16分