考点46 几何概型-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

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典型高考数学试题解读与变式2018版

考点

46 几何概型

一、 知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总:

(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． ②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．

(3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度角度

试验全部结果所构成的区域长度角度

2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题.

二、题型与相关高考题解读 1.与长度

角度

有关的几何概型

1.1考题展示与解读

例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） （A ）

710 （B ）58 （C ）38 （D ）3

10

【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题. 【解题能力要求】应用意识，运算求解能力

【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)． 1.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】若正方形ABCD 边长为4,E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于（ ） A.

132 B. 78 C. 38 D. 18

【变式2：改编结论】在区间[]

1,5内随机取一个数m ，则方程222

41m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）

A. 3

5

B.

1

5

C.

1

4

D.

3

4

【变式3：改编问法】已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

2.与面积有关的几何概型

2.1考题展示与解读

例2【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．1

4

B．

π

8

C．

1

2

D．

π

4

【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题.

【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力

【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）学科+网

2

3

A.

64

π

B.

32

π

C.

16π D. 8

π 【变式2：改编结论】如图，在菱形ABCD 中， 3AB =， 60BAD ∠=，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为0p ，则圆周率π的近似值为（ ）

A. 07.74p

B. 07.76p

C. 07.79p

D. 07.81p

【变式3：改编问法】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）学！科网

A.

27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320

mm π

3.与体积有关的几何概型 3.1考题展示与解读

例3 在棱长为a 的正方体中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3

a

的概率为 ( ) A.

127 B. 116 C. 19 D. 13

【命题意图探究】本题主要考查正方体的体积与球体体积的计算及几何概型，是基础题.

【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力

【方法技巧归纳】求解与体积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何体的体积，必要时可根据题意构造三个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的空间几何体，以便求解． 3.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】一个球形容器的半径为3cm ，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从

4

中任取1mL 水含有感冒病毒的概率为（ ） A.

13 B. 13π C. 136π D. 49π

【变式2：改编结论】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（ ） A.

B.

C.

D.

【变式3：改编问法】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则四棱锥M -ABCD 的体积小于

1

6

的概率为______． 4.几何概型与其他知识的交汇 4.1考题展示与解读

例4【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y 相交”

发生的概率为 . 学&科网

【命题意图探究】本题主要考查直线与圆的位置关系、几何概型，是中档题. 【解题能力要求】化归与转换思想、运算求解能力

【方法技巧归纳】与其他知识交汇的几何概型问题，先用相关知识计算出满足条件的长度或面积或体积，再利用几何概型公式计算其概率. 4.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】已知x ， y 是[]

01，上的两个随机数，则()P x y ，到点()10，的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（ ） A.

112 B. 1112 C. 14 D. 3

4

【变式2：改编结论】已知P 是ABC ∆所在平面内一点， 40PB PC PA ++=，现在ABC ∆内任取一点，则该点落在PBC ∆内的概率是__________．学科+网 【变式3：改编问法】设是由轴，直线

和曲线

围成的曲边三角形区域，集合

，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为

，则实数的值是

( ) A.

B. C. D.

三、课本试题探源

必修3 P142页习题3.3 B 第1题：甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.