一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点
1.「兀二次方程的定义及一般形式：2
y = ax bx c(a = 0)
(1) 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一兀），并且未知数的最咼次数式 2 （二次）
的方程，叫做一兀二次方程。
(2) 一兀二次方程的一般形式：2
ax bx c 二0(a = 0)。其中a为二次项系数，b为
一次项系数，c为常数项。
注意: :二个要点，①只含有一个未知数; ②所含未知数的最高次数是 2 :③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法
（1 ）配方法：将方程整理成（x+p）2=q,方程的根是x=-p 土 ... q
注：x2系数是1和不是1时配方注意事项；x2系数是负数时配方注意事项。
（2）公式法：x 二逹 b 4aC（b2-4ac_0）
2a
(3)因式分解：十字相乘法：x2 ( p q)x ? pq = 0 = (x ? p)(x ? q) = 0
2
3. 一元二次方程根的判别（b- 4ac ）
（1 ）△> 0，方程有两个不相等的实数根
（2）△= 0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根
（3）△< 0，方程没有实数根，方程无解
4. 韦达定理（根与系数关系）
一元二次方程ax +bx+c = 0，设它的两个根是x和x2，则x1和x2与方程的系数a, b, c之
间有如下关系:
b c
x-! +x2= ；X j . x2=
a a
5. 一元二次方程的应用
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式
④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程
二次函数重要知识点
1.二次函数的概念：2
一般地，形如y-ax bx c （a, b , c是常数，a-0 ）的函数，叫做
二次函数。注意
:和一兀二次方程类似，二次项系数a=0，而b, c可以为零.
2. 平移规律：
2
(1 )将抛物线解析式转化成顶点式 y =a(x —h )+k ，确定其顶点坐标(h , k )；
(2)左加右减(h ): x 值的变化，上加下减(k) ： y 值的变化
3. 二次函数y =ax 2 bx c 图象的画法
绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax 2?bx c 化为顶点式y =a(x —h)2，确定其开口方 向⑻、对称轴(h)及顶点坐标(k)，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.一般我们选 取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0, c 、与x 轴的交点 x 1, 0，x 2，0 .
4. 二次函数 y =ax 2 -bx c 的性质
2 y 有最小值込丄 4a
(1)当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为 b
x = 2a ，顶点坐标为-卫 V 2a
4ac 「b 2 '4a 当x b 时，y 随x 的增大而减小；当
2a —时，y 随x 的增大而增大; 2a
(2)当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为 b b x 」杰，顶点坐标为莎，
2、 4ac —b 4a 丿
?当
K k A
x ■■—时，y随x的增大而增大；当x…一时，y随x的增大而减小；当x 一时，y 2a 2a 2a
2
有最大值塑g
4a
5. 二次函数解析式求法
2
(1) 一般式：y=ax +bx+c ( a , b , c为常数，a^0)；需要三个坐标点
(2)顶点式：y=a(x—h)2+k ( a , h , k为常数，a式0 )；顶点坐标和其他任一坐标
6. 二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) a:抛物线开口的方向(a的正负)与大小(|a| )
⑵b:在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴(x 一)的位置(正负).对称轴在y轴右2a
侧，a、b符号相反；对称轴在y轴左侧，a,b符号相同。
⑶c:抛物线与y轴交点的纵坐标
7、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)
一元二次方程ax2? bx ? c =0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况
①当厶=b -4ac 0时，图象与x轴交于两点
②当& =0时，图象与x轴只有一个交点；
③当也＜0时，图象与x轴没有交点?
8二次函数与应用题(与二次函数性质联系)
(1)求最值问题(利润、面积等问题)
(2)实际问题建坐标系(车过隧道、桥下水位等问题)