2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编三角函数
一、选择题.
1、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=
2
sin cos ++x x
x x
在[,]-ππ的图像大致为 A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数
又01
)(2>-=
πππf ，1244
1
2)2(2
2>+=+=ππππ
π
f ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数
②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④
C ．①④
D ．①③
答案：C
解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；
),2
(ππ
∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；
],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而]
,0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；
函数为偶函数，只需讨论0>x ，
N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。

故选C
3、（2019年高考全国I 卷文科7）tan255°= A ．-2
B ．-
C ．2
D ．
答案：D
解析：32)4530tan(75tan )75180tan(255tan +=︒+︒=︒=︒+︒=︒故选D
4、（2019年高考全国I 卷文科11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，
cos A =-14
，则
b c
=
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
答案：A
解析：由正弦定理C B b A a sin 4sin sin =-,角化边得2224c b a +=
又4
1
2)4(cos 2222-=+-+=bc c b c b A ，联立求得6=c b 故选A
5、（2019年高考全国II 卷理科4）019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
121
223
()()M M M R r R r r R +=++.
设r R
α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453
2
333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A
B
C
D
答案：D 解析：R
r
=
α则R r α=，代入121223()()M M M R r R r r R +=++得
1232
2
)1(1
)1(M M ααα+-+=即32
54322312)
1(33)1(1)1(αααααααα≈+++=+-+=M M
所以R M M r 3
1
2
3=.故答案选D 6、（2019年高考全国II 卷理科9）下列函数中，以2
π为周期且在区间(
4
π，
2
π)单调递增的是
A ．f (x )=│cos2x │
B ．f (x )=│sin 2x │
C ．f (x )=cos│x │
D ．f (x )= sin │x │
答案：A
解析：将|2cos |)(x x f =的图像变换，“下翻上”，如图可知在区间)2
,4(π
π上是增函数.故答案选A 7、（2019年高考全国II 卷理科10，文科11）已知α∈(0，
2
π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A ．
15
B 5
C 3
D 5
答案：B
解析：ααα2cos 212cos 2sin 2=+=，与αααcos sin 22sin =联立求得2
1tan =
α 又)2
,
0(π
α∈，所以5
5
sin =
α故答案选B 8、（2019年高考全国II 卷文科8）若x 1=4
π，x 2=43π
是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=
A ．2
B ．32
C ．1
D ．12
答案：A 解析：
πππ=-=T T ,4432,又ω
π
2=
T ,所以2=ω。

故答案选A
9、（2019年高考全国II 卷文科10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
答案：C
解析：由题意知道x x y sin cos 2-='，则在点)1,(-π的斜率2sin cos 2-=-=ππk 。

故切线方程为)(21π--=+x y ，即0122=+-+πy x 。

故答案选C 10、（2019年高考全国III 卷理科12）设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④ 答案：D
解析：由题设可画出图像因为)(x f 在]2,0[π有且仅有5个零点,所以π2所对应的位置应该在x 轴
的第5和第6个零点之间,在这段范围内,一定会有3个极大值点,但是可能有2个或者3个极
小值点,因此①对,②不对；由公式ω
π
2=T 求出函数的周期,并通过三角函数的零点坐标公式
求出函数第5和第6个零点的坐标分别为
ωπ524和ω
π
529。

根据题意可以得到不等式≤
≤πωπ 2524ωπ529解得≤≤ω51210
29
，故④正确；同理③正确。

故选D 11、（2019年高考全国III 卷文科5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案：B
解析：)cos 1(sin 2cos sin 2sin 22sin sin 2)(x x x x x x x x f -=-=-=，]2,0[π∈x 由0)(=x f 得0sin =x 或1cos =x
ππ2,,0=∴x ，所以函数)(x f 在]2,0[π上的零点由3个。

故答案选B
12、（2019年高考北京卷文科6）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 答案：C
解析：若b=0，则()cos f x x =为偶函数，
若()cos sin f x x b x =+为偶函数，
则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,
综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.
13、（2019年高考北京卷文科8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ） A. 4β+4cos β B. 4β+4sin β C. 2β+2cos β D. 2β+2sin β 答案：B
解析：设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=
故扇形AOB 的面积为2
2242πββπ
⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时
PO 与AB 垂直，
故阴影部分面积最大值4,AOB
PAB
S S S
β=-+
而2sin 22cos 4sin cos 2
AOB
S
ββ
ββ⨯⨯=
=，
()
2sin 222cos 4sin 4sin cos 2
PAB
S
βββββ⨯⨯+=
=+，
故阴影部分面积最大值444sin ,AOB
PAB
S S S
βββ=-+=+
故答案为：B.
分析：根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.
14、（2019年高考天津卷文理科7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，所得图像对应的函数为()g x .若()
g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭38
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
A.2-
B. D.2 答案：C
解析：本题主要考察三角函数的图像变换,函数的奇偶性
由f(x)是奇函数,可知f(0)=0,即0sin =ϕ且πϕ<||,所以0=ϕ.
f(x)横坐标伸长到原来的2倍得到g(x),所以g(x)=Asin(
2
x
ω)
又g(x)最小正周期为2π,所以2=ω,x A x g sin )(= ,22
2
)4
(==
A g π
所以A=2,f(x)=2sin2x
所以24
3sin 2)83(
==ππf 由上可知,故答案选C 15、（2019年高考上海卷15）已知ω∈R ，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a ∈R ，使得()
f x a +
为偶函数，则ω的值可能为（ ） A.
2π B. 3π C. 4
π
D. 5π
答案：C
解析：当6=a 时，)]6(sin[)6(2
+=+x x x f ω如果为偶函数即可 只需要)]6(sin[+=x y ω为偶函数，故)(2
6Z k k ∈+=
ππ
ω，所以)(6
12
Z k k ∈+
=
π
π
ω 当1=k 时，4
π
ω=
故答案选C
16、（2019年高考上海卷16）已知tan tan tan()αβαβ⋅=+，有下列两个结论：① 存在α在第一象限，
β在第三象限；② 存在α在第二象限，β在第四象限；则（ ）
A. ①②均正确
B. ①②均错误
C. ①对②错
D. ①错②对 答案：D
解析：设y x ==βαtan ,tan ，则y x xy xy xy
y
x xy +=-⇒-+=
2)(1
可写成:0)1(2
2=-+y x y x ,其判别式△=3
2
4)1(x x --
设函数g(x)= 3
2
4)1(x x -- ,并设21x x <, 则
)(42)()(2
22121212
121x x x x x x x x x g x g ++--+=--
02
3)21()21()(22
22122212
21<------
-+-=x x x x x x 即g(x)单调递减
而g(0)=1g(1)=-4,故g(x)=0的零点在(0.1)上,设为a ; 则当a x <时,g(x)>0.当a x ≥时,g(x)≤0 故存在0>x 使得△=04)1(3
2
>--x x
而对方程0)1(2
2
=-+y x y x .根据书达定理x y y x
x y y 1
,1212
21=-=+ 存在0>x 时,而10<<x 使得对应的y 存在,
而此时0,02121><+y y y y ,故此时y 必为负数,即β在I 或IV 象限 同样存在0<x ,使得对应的y 存在， 而此时0,02121<<+y y y y
故此时必存在一个y 值为负数、另一个y 值为正,即β在II 、IV 象限或I 、III 象限均可，故选D
二、填空题.
1、（2019年高考全国I 卷文科15）函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4
解析：2
2
)4
3(cos 22cos 3cos 2cos 32cos )(+-=+--=--=x x x x x x f 4)(min -=x f
2、（2019年高考全国II 卷理科15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3
b a
c B ===
，则ABC △的面积为__________. 答案：36
解析：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，解得3,32==a c
所以36sin 2
1
==
B ac S 3、（2019年高考全国II 卷文科15）AB
C △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，
则B =___________. 答案：
4
3π 解析：因为0cos sin =+B a A b ，所以0cos sin sin sin =+B A A B 又),0(π∈A ，则0sin >A ，所以1tan -=B 又),0(π∈B ，所以4
3π=
B 4、（2019年高考北京理科卷9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是
________。

答案：
2
π 解析：2
42,24cos 12sin 2
π
π==-=
T x x 5、（2019年高考天津卷文科11）曲线2
cos x
x y -=在点)1,0(处的切线方程为__________. 答案：022=-+y x 解析：曲线2cos x x y -
=，则21sin '--=x y ，所以曲线在点)1,0(处的切线斜率为2
1|0-='==x y k 所以曲线在点)1,0(处的切线方程为022=-+y x
6、（2019年高考浙江卷14）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若
45BDC ∠=︒，则BD = ，cos ABD ∠= .
答案：，4.5
解答：如图所示，设CD x =，则5AD x =-，再设DBC α∠=，2
ABD π
α∠=-，在BDC ∆中，正弦
定理有：
3sin sin sin
4
x απ
α=
=⇒=
ABD ∆
中，正弦定理有：5
4cos 3sin s ()in 24
αππα===
-，2222
(5)sin cos 11832x x αα-+=+=，解得135x =（舍去），299
22
x BD =
⇒=，在ABD ∆中，正弦定理有：0.84
sin sin 4
ABD π=⇒
∠sin cos ABD ABD ∠=
⇒∠=. 三、解答题.
1、（2019年高考全国I 卷理科17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（2
2b c +=，求sin C ．
解：（1）由已知得2
2
2
sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得2
2
2
b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=． 因为0180A ︒
︒
<<，所以60A ︒
=．
（2）由（1）知120B C ︒
=-
()
sin 1202sin A C C ︒+-=，
1sin 2sin 2C C C +=，可得(
)cos 60C ︒+=． 由于0120C ︒
︒
<<，所以(
)
sin 602
C ︒
+=
，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-
()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+
=
． 2、（2019年高考全国I 卷文科20）已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．
（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 解：
（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.
当π(0,)2
x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫
=>=-
⎪⎝⎭
，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.
（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =，可得a ≤0.
由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，
()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.
又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x . 又当0,[0,π]a x ∈时，ax ≤0，故()f x ax . 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.
3、（2019年高考全国III 卷文理科18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin
sin 2
A C
a b A +=．
（1）求B ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 解：（1）由题设及正弦定理得sin sin
sin sin 2
A C
A B A +=． 因为sin A ≠0，所以sin
sin 2
A C
B +=． 由180A B
C ︒
++=，可得sin
cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222
B B B
=．
因为cos
02B ≠，故1
sin 22
B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△AB
C 的面积3
4
ABC S a =
△． 由正弦定理得()sin 120sin 31
sin sin 2tan 2
C c A a C C C ︒
-===+．
由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故
1
22
a <<，从而
3382
ABC S <<△． 因此，△ABC 面积的取值范围是33,82⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
． 4、（2019年高考北京卷理科15）在中，a =3，b -c =2 ，1
cos 2
B =-
． （Ⅰ）求b,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值。

解析：（I ）2
1
2cos 222-=-+=ac b c a B ，
则2
1
6)2(922-=+-+c c c 解得5,7==c b
(II)因为21cos -
=B ，所以2
3
sin =
B 又14112cos 222=-+=ab c b a
C ，解得14
3
5sin =
C 所以7
3
4sin cos cos sin )sin(=
-=-C B C B C B 5、（2019年高考北京卷文科15）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12
. （I ）求b ，c 的值：
（II ）求sin （B+C ）的值. 解析:
（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；
（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的
正弦公式，求出sin （B+C ）.
解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭
， 解得c=5，B=7；
（II ）根据1cos 2B =-
，得sin 2B =， 根据正弦定理，sin sin b c B C
=，
5sin C
=
，解得sin C =，所以11cos 14C =， 所以(
)111sin sin cos cos sin 142B c B C B C ⎛⎫+=+=+-= ⎪⎝⎭6、（2019年高考天津卷理科15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.
（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值. （Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理
sin sin b c B C
=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23
c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a c b B a a +-+-===-⋅⋅. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可
得sin 4B ==，从
而sin 22sin cos 8
B B B ==-，227cos 2cos sin 8
B B B =-=-，故
717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=- ⎪⎝
⎭ 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力
7、（2019年高考浙江卷18）设函数()sin f x x =，x R ∈.
（1）已知[0,2]θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；
（2）求函数22()[()][()]124g x f x f x ππ=+
++的值域. 解答：
（1）()sin()f x x θθ+=+，又[0,2]θπ∈，结合函数图像不难求得：当2πθ=或32
πθ=时，函数()f x θ+是偶函数.
（2）2222[()][()]sin ()sin ()124124
f x f x x x ππππ
+++=+++1cos(2)1cos(2)1162sin cos(2)122226
x x x x πππ-+-+=+=-+
+1113sin 2sin 2)1sin 12224x x x x x =--+=
+)[1]x ϕ=+∈+ 8、（2019年高考上海卷19）如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，39.2BD =km ，22BDC ︒∠=，68CBD ︒∠=，58BDA ︒∠=.
（1）求BC 的长度；
（2）若40AB =km ，求D 到海岸线A B C --的最短距离.
（精确到0.001km ）
解：
(1)根据正弦定理km BC BC BCD BD BDC BC 685.1490sin 2.3922sin sin sin ≈⇒︒
=︒⇒∠=∠ 而BC 为四分之一圆弧,故O 到BC 的距离为||2
1BC ,故圆的半径为||22BC ; 而圆心角为90°故km BC BC 310.1636090||222≈︒
︒⨯⨯
=π (2)设D 到AB 的距离为h 由题意222cos 2AB BDA BD AD BD AD =∠⋅-+
代入条件解得 AD=43.019km 或-1.473km(舍)
根据面积公式:BDA BD AD h AB S ABD ∠⋅=⋅=∆sin 2
121 km AB
BDA BD AD h 752.35sin ≈∠⋅= 而BCD ∆中,∠BDC+∠CBD=90°，则∠BCD=90°
故h km BD BD CD >≈-=345.3622;即BC 弧是不存在点到D 的距离小于h 故D 到海岸线的最短距离约为35.752km。