2020年中考数学 无理数的由来
无理数发展简史
无理数发展简史引言概述：无理数是指不能表示为两个整数的比例的数，它的浮现使数学的发展迈上了一个新的台阶。
本文将从古希腊时期开始，逐步介绍无理数的发展历程。
一、古希腊时期1.1 毕达哥拉斯学派的发现- 毕达哥拉斯学派发现了无理数的存在- 他们发现了无法用两个整数的比例来表示的边长1.2 伊壁鸠鲁的质数理论- 伊壁鸠鲁认为质数是无穷的- 他的理论为无理数的发展奠定了基础1.3 柏拉图的五个立体- 柏拉图的五个立体中有一个是无理数- 这个发现进一步证明了无理数的存在二、欧几里得时期2.1 欧几里得的《几何原本》- 欧几里得在《几何原本》中提出了无理数的概念- 他认为无理数是不能用两个整数的比例来表示的2.2 欧几里得的算术理论- 欧几里得的算术理论中包含了无理数的运算规则- 他的理论奠定了无理数的基本运算法则2.3 欧几里得的勾股定理- 欧几里得的勾股定理中涉及到无理数的运算- 这个定理为无理数的研究提供了新的途径三、近代数学的发展3.1 费马的最后定理- 费马的最后定理中涉及到无理数的运算- 这个定理引起了数学家们对无理数的研究兴趣3.2 康托尔的集合论- 康托尔的集合论为无理数的研究提供了新的视角- 他的理论推动了无理数的发展3.3 黎曼几何的诞生- 黎曼几何中无理数的概念对空间的研究起到了重要作用- 这个新的数学分支为无理数的研究提供了新的方向四、现代数学的发展4.1 庞加莱猜想- 庞加莱猜想中涉及到无理数的性质- 这个猜想引起了数学家们对无理数的深入研究4.2 勒贝格积分理论- 勒贝格积分理论为无理数的研究提供了新的工具- 这个理论推动了无理数的发展4.3 庞加莱的无理数理论- 庞加莱提出了无理数的新理论- 这个理论为无理数的研究开辟了新的领域五、无理数的应用5.1 物理学中的无理数- 无理数在物理学中的应用非常广泛- 物理学家们利用无理数来描述自然界的现象5.2 经济学中的无理数- 经济学家们利用无理数来进行经济模型的建立- 无理数在经济学中发挥了重要的作用5.3 计算机科学中的无理数- 计算机科学家们利用无理数来进行计算机模型的建立- 无理数在计算机科学中有着广泛的应用结论：无理数的发展经历了数学史上的多个阶段，从古希腊时期到现代数学的发展，无理数的研究不断深入。
趣味数学文化知识之“无理数”的由来
2019年趣味数学文化知识之“无理数”的由来数学是一门很抽象的科学，所以很多时候孩子们都不是很喜欢学，这就要激发孩子们的学习兴趣。
下面是查字典数学网为大家分享的趣味数学文化知识之“无理数”的由来，供大家参考！公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(pythagoras)学派的弟子希勃索斯(hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。
而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2019多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
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什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一种特殊类型的数，它无法用两个整数的比值来表示。
本文将介绍无理数的发展历史，从古希腊时期的毕达哥拉斯学派开始，到无理数的正式定义和应用的现代数学理论。
二、毕达哥拉斯学派与无理数公元前6世纪，毕达哥拉斯学派是古希腊最早研究数学的学派之一。
该学派的成员相信一切事物都可以用整数或整数的比值来表示。
然而，毕达哥拉斯学派的成员发现了一个难题，即无法用两个整数的比值来表示某些长度的平方根。
例如，对于边长为1的正方形的对角线长度，无法用整数来表示。
这一发现打破了他们对于数的完美性的观念，引发了对无理数的思考。
三、无理数的形式化定义在公元前5世纪，古希腊数学家欧多克索斯提出了无理数的形式化定义。
他认为，无理数是不能被有理数表示的数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则是不能这样表示的数。
欧多克索斯还证明了平方根为无理数的定理，即对于任何一个非完全平方数，它的平方根都是无理数。
四、无理数的发展随着时间的推移，无理数的研究逐渐深入。
在公元3世纪，希腊数学家阿基米德提出了一种近似计算无理数的方法，称为阿基米德割线法。
这种方法通过逐步逼近来计算无理数的值，为无理数的计算提供了一种有效的工具。
五、无理数的应用无理数在数学和其他科学领域中有广泛的应用。
在几何学中，无理数被用来描述不可测量的长度和角度。
在物理学中，无理数被用来描述自然界中的现象，如波长、频率等。
在金融学中，无理数被用来计算复利和利率。
在计算机科学中，无理数被用来进行精确的数值计算。
六、无理数的发展与挑战随着数学的发展，对无理数的研究也在不断深入。
19世纪末，德国数学家Georg Cantor提出了集合论，为无理数的研究提供了新的视角。
20世纪，无理数的研究与其他数学领域的交叉融合日益密切，推动了数学的发展。
七、结论无理数的发展史充满了数学家们的智慧和探索精神。
从毕达哥拉斯学派的困惑到欧多克索斯的形式化定义，再到阿基米德的近似计算方法，无理数的研究不断推动着数学的进步。
无理数发展简史
无理数发展简史 无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数。它们的十进制表示无限不循环，且不能用有限的小数或者分数来表示。无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们发现了一些无法用有理数表示的数。
在公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了有理数的概念，并认为所有的数都可以用两个整数的比值来表示。然而，毕达哥拉斯的学派发现了一些无法用有理数表示的长度，例如边长为1的正方形的对角线长度。他们发现这个长度无法用两个整数的比值表示，因此被称为无理数。
然而，无理数的概念在当时并没有得到广泛的认可和研究。直到公元3世纪，希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》中对无理数进行了系统的研究和证明。欧几里得证明了开平方根为无理数的定理，并给出了一些无理数的性质。这些研究为后来无理数的发展奠定了基础。
在欧洲中世纪时期，无理数的研究发展缓慢。直到16世纪，意大利数学家斯特潘诺利发现了一个重要的无理数——黄金分割比例。黄金分割比例是一个无限不循环的小数，其十进制表示约为1.6180339887。这个比例在艺术和建造领域有着广泛的应用，被认为是美的象征。
随着数学的发展，无理数的研究逐渐深入。17世纪，法国数学家笛卡尔和德国数学家勒让德对无理数进行了更加深入的研究，提出了一些无理数的性质和运算规则。18世纪，数学家康德和拉格朗日对无理数的理论进行了进一步的发展，为后来的数学研究提供了重要的基础。
19世纪，无理数的研究进入了一个新的阶段。法国数学家戴德金提出了实数的概念，并证明了实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。这个概念为无理数的研究提供了更加广阔的视野。同时，德国数学家康托尔提出了集合论，并将无理数的研究与集合论相结合，为无理数的研究提供了新的方法和工具。 20世纪，随着计算机技术的发展，无理数的计算和研究变得更加便捷。数学家们通过计算机摹拟和数值方法，得到了许多无理数的近似值，并发现了一些无理数的新性质。例如，皮亚诺常数和欧拉常数等，它们在数论和分析学中具有重要的应用。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中一个重要的概念，它是指不能表示为两个整数的比值的实数。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历程，包括无理数的发现、定义以及对数学发展的重要影响。
二、古希腊时期的无理数在古希腊时期，人们发现了一些无法用有理数表示的长度，例如，两条边长为1的正方形的对角线长度。
这种长度无法用有理数的比值来表示，被称为无理数。
然而，古希腊数学家并没有给无理数一个明确的定义，而是将其视为一种特殊的数。
三、无理数的发现直到公元5世纪，印度数学家阿耶巴塔发现了一种无理数，即根号2的无限不循环小数表示。
他证明了根号2不是有理数，并用几何方法进行了解释。
这一发现对无理数的研究起到了重要的推动作用。
四、无理数的定义在17世纪，法国数学家笛卡尔和德国数学家勒让德分别给出了无理数的定义。
笛卡尔将无理数定义为不能表示为代数方程的根的实数，而勒让德将无理数定义为无限不循环小数。
这两种定义为无理数的研究提供了更为清晰的框架。
五、无理数的性质无理数具有一些特殊的性质，例如，无理数的平方是有理数。
这一性质可以通过反证法证明，即假设无理数的平方是有理数，然后推导出矛盾的结论。
这一性质为无理数的研究提供了一种重要的方法。
六、无理数的应用无理数在数学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，无理数可以用来表示无法精确计算的长度，如圆周率π和黄金分割比例。
在物理学中，无理数也被用来描述一些自然现象，如波动和振动。
七、无理数的发展对数学的影响无理数的发现和研究对数学的发展产生了深远的影响。
它打破了传统的数学观念，拓宽了数学的研究领域。
无理数的引入使得数学能够更好地描述现实世界中的问题，并推动了数学的发展和应用。
八、结论无理数作为数学中的一个重要概念，经历了漫长的发展历程。
从古希腊时期开始，人们发现了无法用有理数表示的长度，逐渐认识到无理数的存在。
随着时间的推移，无理数的定义和性质得到了进一步的研究和发展，对数学的发展产生了重要的影响。
无理数
无理数的ห้องสมุดไป่ตู้来
• 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras） 学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个 惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的 长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则 对角线的长不是一个有理数），这一不可公度 性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的 哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐， 认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是 极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他 乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门 徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
无理数
初一知识预习
无理数的介绍
• 无理数，即非有理数之实数，不能写作两 整数之比。若将它写成小数形式，小数点 之后的数字有无限多个，并且不会循环， 也就是说它是无限不循环小数。 常见的无 理数有大部分的平方根、π和e（其中后两 者同时为超越数）等。无理数的另一特征 是无限的连分数表达式。
有理数与无理数的区别
无理数发展简史
无理数发展简史无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能用有理数表示的数。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时代，经过数学家们的不懈努力和探索，无理数逐渐被人们所接受和理解。
本文将从古希腊时代开始，逐步介绍无理数的发展简史。
一、古希腊时代1.1 比较理性数和无理数的概念在古希腊时代，数学家们开始研究数的性质，发现有些数可以用整数表示，称为理性数，而有些数无法用整数表示，称为无理数。
1.2 毕达哥拉斯定理的启示毕达哥拉斯定理揭示了勾股定理的重要性，同时也暗示了无理数的存在，因为在直角三角形中存在不能用有理数表示的斜边长度。
1.3 毕达哥拉斯学派对无理数的拒绝毕达哥拉斯学派坚持一切可以用有理数表示，对无理数的存在持怀疑态度，甚至认为无理数是不可接受的。
二、欧几里德时代2.1 欧几里德的《几何原本》欧几里德在其著作中系统地阐述了几何学的基本概念，同时也涉及到了无理数的概念，为后人的研究提供了基础。
2.2 无理数的几何意义欧几里德通过几何方法探讨了无理数的性质，认为无理数是存在的，虽然无法用有理数表示，但在几何上有其独特的意义。
2.3 欧几里德的贡献欧几里德的《几何原本》对无理数的发展起到了重要的推动作用，为后人的研究奠定了基础。
三、十六世纪至十七世纪3.1 费马和无理数费马在研究数论时，发现了一些无法用有理数表示的数，这些数被称为费马数，成为无理数研究的重要对象。
3.2 无理数的符号表示十七世纪，数学家们开始使用符号表示无理数，如π表示圆周率，e表示自然对数的底数，这些符号为无理数的研究提供了便利。
3.3 无理数的性质研究数学家们逐渐深入研究无理数的性质，发现了无理数与有理数之间的关系，为数学的发展提供了新的思路。
四、十八世纪至十九世纪4.1 连分数与无理数十八世纪，连分数的研究为无理数的表示提供了新的方法，使人们更好地理解了无理数的性质。
4.2 代数学与无理数十九世纪，代数学的发展为无理数的研究提供了新的视角，通过代数方法研究无理数的性质，推动了数学的发展。
初中数学复习探索无理数的神秘世界
初中数学复习探索无理数的神秘世界数学中的无理数是我们一直在学习的一个重要概念。
无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，它们的小数部分是无限不循环的。
无理数的一大特点就是它们的数值无穷无尽，让我们无法准确地表示出它们的值。
本文将带你进一步探索无理数的神秘世界。
一、无理数的发现众所周知，数学是由人们不断探索与发现而形成的。
在古代，人们发现了一些无法用有理数表示的长度，比如直角三角形的斜边和正方形的对角线。
他们尝试用整数或有理数去表示这些长度，但发现无论怎样都无法得到一个准确的结果。
这些无法用有理数表示的长度被称为无理数。
二、无理数的性质无理数与有理数相比，有一些独特的性质。
首先，无理数是无限不循环的小数，例如π和√2。
这意味着无理数的小数部分没有重复的模式，它们的数字是无穷无尽的。
其次，无理数之间的运算也非常复杂。
当我们将一个有理数与一个无理数相加、相乘或做其他运算时，得到的结果一定是无理数。
三、无理数的表示方法虽然无理数无法用有理数表示，但我们可以使用其他形式来表示它们。
其中一种常见的表示方法是用根号符号表示，例如√2、√3等。
另外，我们还可以用近似值来表示无理数，例如用小数表示的π近似值3.14159。
虽然这些近似值并不准确，但我们可以逐渐增加小数的位数，使得表示更加精确。
四、无理数的应用领域无理数在现实生活中有着广泛的应用领域，尤其在几何和物理学中。
在几何学中，无理数用于描述圆周率π的性质，以及在建筑、绘画等领域中的准确测量。
在物理学中，无理数被用于表示自然界中的各种现象，比如电磁波的频率、物体的质量等。
无理数的应用不仅帮助我们更好地理解自然世界，也推动了科学的发展。
五、无理数的挑战尽管我们已经了解了一些关于无理数的知识，但无理数仍然是一个充满挑战的概念。
无理数的无穷性使得我们永远无法准确地表示出它们的数值。
数学家们一直致力于研究无理数的性质，并寻找更好的表示方法和计算方法。
无论是现今的高速计算机还是未来的技术发展，都有可能为我们解决无理数的难题提供新的思路与方法。
无理数的概念
无理数的概念无理数是数学中的一个重要概念，是指不能表示为两个整数之比的实数。
与有理数不同，无理数的数字部分是无限不循环的，无法用分数来精确表示。
无理数的出现，打破了数字的完整性，丰富了数学的世界。
本文将从无理数的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、无理数的定义无理数最早的发现可以追溯到古代希腊。
当时的数学家发现，对于一些平方不是完全平方数的实数，无法用有理数表示。
这些数被称为无理数。
现代数学中，无理数可以通过一些数学运算的结果表示出来，比如开平方运算。
一个数如果无法表示为两个整数之比，且不是有限小数或循环小数的形式，那么就是无理数。
二、无理数的性质1. 无限不循环的小数表示：无理数的小数表示是无限不循环的。
以根号2为例，它的小数表示为1.41421356…，数字部分无限不循环，无法找到一个确定的模式。
2. 无理数的无穷性：无理数是无限不可数的，它的数量比有理数多得多。
虽然无理数在实数轴上无法精确表示，但可以通过无休止的无限不循环的小数表示无理数。
3. 无理数的无理性：无理数的无理性是指无理数不具备有理数的性质，无法表示为两个整数之比。
这使得无理数在实数中有着独特的位置。
三、无理数的分类无理数可以进一步细分为代数无理数和超越无理数两种。
1. 代数无理数：代数无理数是指可以由代数方程的根表示的无理数，比如平方根、立方根等。
代数无理数可以表示为一个代数方程的解，但不能被表示为有理数。
2. 超越无理数：超越无理数是指不能由任何代数方程的根表示的无理数，如圆周率π、自然对数的底e等。
超越无理数在数学中具有重要的地位，它们的存在性是通过间接证明得到的。
四、无理数的应用无理数的概念并不仅仅停留在数学理论中，它在现实生活和工程应用中具有广泛的应用价值。
1. 测量与精度：无理数的概念使得我们能够更精确地进行测量和计算。
例如，无理数的应用使得我们能够更精确地计算建筑物的面积、体积等。
2. 图像与声音：无理数在图像和声音处理中有着重要的应用。
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无理数的由来
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯
(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不
可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性
与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领
导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚
禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不
可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇
称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为
了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无
理数”——这便是“无理数”的由来．
同时它导致了第一次数学危机。