2018高考天津理科数学带答案

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2018高考天津卷理科数学真题与答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔理工类〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150 分，考试用时 120 分钟。

第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参考公式：如果事件 A，B互斥，那么P( AB) P( A) P(B) .如果事件 A，B 相互独立，那么P( AB)P( A) P(B) .棱柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 .1棱锥的体积公式 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱3锥的高 .一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求word 版本整理分享的.(1) 设全集为 R，集合A { x 0x 2} ， B{ x x1} ，那么A I (e R B)(A){ x 0x1}(B){ x 0x1}(C){ x 1x2}(D) { x 0x2}x y5,(2) 设变量x，y满足约束条件2x y4,那么目标函数z3x 5y 的最大x y1,y0,值为(A)6(B)19(C) 21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，假设输入 N的值为20，那么输出 T 的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4word 版本整理分享(4) 设x R ，那么“| x1 | 1〞是“x31〞的2 2(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5) a log 2 e ， b ln 2 ， c log 11，那么 a，b，c 的大小关系为23(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) c a b(6) 将函数ysin(2x) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应510的函数word 版本整理分享(A) 在区间[3, 5] 上单调递增 (B) 在区间[3, ]上单调4 44递减(C) 在区间[5, 3] 上单调递增 (D) 在区间[3, 2]上单4 22调递减(7) 双曲线x 2y 21( a0, b0) 的离心率为2 ，过右焦点且垂直于a 2b 2x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1和 d 2，且 d 1 d 2 6 ，那么双曲线的方程为(A)x 2y 2 1 (B) x 2y 214 12124(C)x 2 y 2 1(D) x 2y 2 13 993(8) 如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC ，AD CD ， BAD120，AB AD 1 .uuur uur假设点 E 为边 CD 上的动点，那么AE BE 的最小值为(A)21 (B)3(C)25(D) 316216第二卷考前须知：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2018年高考理科数学试题(天津卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B = (A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x << (2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >>(B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >> (6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增 (D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A) 221412x y -= (B) 221124x y -= (C) 22139x y -= (D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为(A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2018天津高考数学试题(试卷版+详解版)

（A） 15 （C） 6 （9）i 是虚数单位，复数
（B） 9 （D）0
6 7i =__________． 1 2i
（10）已知函数 f(x)=exlnx，f ′(x)为 f(x)的导函数，则 f ′（1）的值为__________．（11）如图，已知正方体 ABCD–A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1–BB1D1D 的体积为___．
π )． 6
（Ⅰ）求教 B 的大小；（Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2A–B)的值．（17）（本小题满分 13 分）如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥ 平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2，AD= 2 3 ，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
成立，则 a 的取值范围是__________．（15）（本小题满分 13 分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240， 160， 160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B ，C，D，E ，F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率．（ 16 ）（本小题满分 13 分）在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a,b,c ．已知 bsinA=acos(B–
2018 高考数学试题
天津卷

2018年高考数学(理科)天津卷(精校版)

2018年高考数学（理科）天津卷（精校版）一、选择题：1.[2018天津理1]设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B = （）A.{01}x x <≤B.{01}x x <<C.{12}x x ≤<D.{02}x x <<【答案：B 】2.[2018天津理2]设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为（）A.6B.19C.21D.45【答案：C 】3.[2018天津理3]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案：B 】4.[2018天津理4]设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案：A 】5.[2018天津理5]已知2log e a =，ln 2b =，121log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >>D.c a b >>【答案：D 】6.[2018天津理6]将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减 C.在区间53[,]42ππ上单调递增D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案：A 】7.[2018天津理7]已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.22139x y -= D.22193x y -= 【答案：C 】8.[2018天津理8]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A.2116B.32C.2516D.3【答案：A 】二、填空题：9.[2018天津理9] i 是虚数单位，复数6712ii+=+ . 【答案：4i -】10.[2018天津理10]在5(x 的展开式中，2x 的系数为 .【答案：52】 11.[2018天津理11]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .【答案：112】 12.[2018天津理12]已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为 . 【答案：12】 13.[2018天津理13]已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为 . 【答案：14】 14.[2018天津理14] 已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 【答案：(48)，】三、解答题：15.[2018天津理15]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）设2,3a c ==，求b 和sin(2)A B -的值.【答案】：（1）3B π=；（2.16.[2018天津理16]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】：（1）甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人；（2）①12()7E X =；②67.17.[2018天津理17]如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面；（2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60 ，求线段DP 的长.【答案】：（1）略；（2；（318.[2018天津理18]设函数设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n N *∈.①求n T ；②证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑. 【答案】：（1）.n b n =；（2）①122n T n +=--；②略.19.[2018天津理19]设椭圆22221x x a b+= (0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的，点A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠( O 为原点) ，求k 的值.【答案】：（1）22194x y +=；（2）12k =或1128k =.20.[2018天津理20]已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中1a >.（1）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（2）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122lnln ()ln ax g x a+=-；（3）证明当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线. 【答案】：（1）函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞；（2）略；（3）略；。

2018年高考真题——理科数学(天津卷)+Word版

黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 P( A B) P( A) P( B) .
如果事件 A，B 相互独立，那么 P( AB) P( A)P( B) .
棱柱的体积公式 V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高 .
1 棱锥的体积公式 V Sh，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高 .
x y 5, 2x y 4,
则目标函数 z 3x 5y 的最大值为 x y 1, y 0,
(A) 6
(B) 19
(C) 21
(3) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(D) 45 N 的值为 20，则输出 T 的值为
(4)设 x
R ，则“ | x
3
一 . 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
(1)设全集为 R，集合 A { x 0 x 2} ， B { x x 1} ，则 A I (eR B)
(A) { x 0 x 1} (B) { x 0 x 1} (C) { x 1 x 2} (D) { x 0 x 2}
(2)设变量 x，y 满足约束条件

理科数学2018年高考天津理数试题

理科数学2018年高考天津理数试题理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）1.选择题(每小题5分，满分40分)：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.B.C.D.2.A. 6B. 19C. 21D. 453.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为A. 1B. 2C. 3D. 44.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.A.B.C.D.6.A. AB. BC. CD. D7.A. AB. BC. CD. D8.A. AB. BC. CD. D填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）9.. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为____.12.已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为____.13.已知，且，则的最小值为____.14.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是____.简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

）15..解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（本小题满分13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.16. (本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.17.(本小题满分13分)如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.18.(本小题满分13分)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.19.(本小题满分14分)设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点) ，求k的值.20.(本小题满分14分)已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.2018年高考天津理数试题答案单选题1. B2. C3. B4. A5. D6. A7. C8. A填空题9.4-i10.11.12.13.14.(4,8)简答题15.（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，16.（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．17.（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）解：依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.18.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）证明：因为，所以，.19.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为20.（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）证明：曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值. 因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.#。

2018学年高考理科数学年天津卷答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】{}|22A x x =-<<，{}2,0,1,2-，则{}0,1A B ⋂=．【考点】集合的交集运算． 2．【答案】D【解析】()()()211111111122i i i i i i i π++===+--+-，所以其共轭复数为1122i -，在复平面内对应点为1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，位于第四象限．【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念． 3．【答案】B【解析】1k =，1s =，()11111112s =+-⨯=+，2k =，不满足3k ≥，继续循环()211512126s =+-⨯=+，3k =，满足3k ≥，循环结束，输出56s =．【考点】算法的循环结构． 4．【答案】D【解析】根据题意可以知单音的频率形成一个等比的数列，其首项为f率为7f=．【考点】数学文化与等比数列． 5．【答案】C【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -，其中P 为AB 的中点，所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD ，1D AD ，1D AP ，共三个．【考点】三视图． 6．【答案】C【解析】2222223369962320a b a b a a b b a a b b a a b b -=+⇔-⋅+=+⋅+⇔+⋅-=，因为a ，b 均为单位向量，所以221a b ==，所以2223200a a b b a b a b +⋅-=⇔⋅=⇔⊥，所以“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．【考点】充分必要条件的判断与平面向量的数量积运算． 7．【答案】C【解析】根据点()cos ,sin P θθ可知，P 为坐标原点为圆心，半径为1的单位圆上的点，所以d 的最大值为圆心()0,0到直线的距离再加上一个半径1，所以13d =+≤．【考点】直线与圆的位置关系及圆的参数方程． 8．【答案】D【解析】当2a =时，(){},|1,24,22A x y x y x y x y =-≥+>-≤，将()2,1代入满足不等式组，所以排除B ；当12a =时，()11,|1,4,222A x y x y x y x y ⎧⎫=-≥+>-≤⎨⎬⎩⎭，将()2,1代入满足不等式142x y +>，所以排除A ，C ．【考点】不等式组表示的平面区域．二、填空题9．【答案】63n a n =-【解析】251636a a a a +=+=，因为13a =，所以633a =，所以615306d a a d =-=⇒=，所以()()1136163n a a n d n n =+-=+-=-．【考点】等差数列．10．【答案】【解析】直线方程为0x y a +-=，圆的方程为()22222011x y x x y +-=⇔-+=，根据直线与圆相切有111a a ⇔-=⇒=+0a >）．【考点】直线与圆的位置关系以及极坐标方程与普通方程的互化． 11．【答案】23【解析】根据题意有当4x π=时，函数取得最大值1，所以cos 124646k ππππωωπ⎛⎫-=⇒-= ⎪⎝⎭，283k Z k ω∈⇒=+，k Z ∈，因为0ω>，所以ω的最小值为23．【考点】三角函数图象与性质． 12．【答案】3【解析】不等式组1,2y x y x ≥+⎧⎨≤⎩表示的区域为如图所示的阴影部分，设2z y x =-，则122z y x =+，所以2z的几何意义为直线的众截距，1,1,22,y x x y x y ≥+=⎧⎧⇒⎨⎨≤=⎩⎩所以当直线过点()1,2A 时，取得最小值，所以min 2213z =⨯-=．【考点】线性规划问题．13．【答案】()sin f x x =（答案不唯一）【解析】本题为一个开放性题目，可以构造出许多函数，只需要()()0f x f >都成立即可，最常见的可以用分段函数，即一部分先为增函数，后一部分为减函数，确保()()0f x f >即可，如()sin f x x =．【考点】函数单调性的判断与应用．14．1 2【解析】如图所示，双曲线的渐近线与椭圆的交点分别为A ，B ，C ，D ，则根据题意有22AB CD BF OF c ====，1BF =，所在椭圆中，有)1212BF BF c a +=+=，所以椭圆的离心率11c e a ===-．根据双曲线渐近线n y x m =±，即有tan 60n m =︒=，所以223n m =，所以双曲线的离心率222222214m n n e m m+==+=，故22e =．【考点】直线与椭圆、双曲线的位置关系．15．【答案】（1）在ABC 中，因为1cos 7B =-，所以sin B =．由正弦定理得sin sin a B A b ==2B ππ<∠<，所以02A π<∠<．所以=3A π∠．（2）在ABC 中，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以AC 边上的高sin 7h a C === 【考点】解三角形问题．16．【答案】在三棱柱111-ABC A B C 中，因为1CC ⊥平面ABC ，所以四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点，所以AC EF ⊥．因为AB BC =，所以AC BE ⊥．所以AC ⊥平面BE F ．（2）由（1）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1EF CC ．又1CC ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ．因为BE ⊂平面ABC ，所以EF BE ⊥．如图建立空间直角坐标系-E xyz ．由题意得点()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，()0,0,2F ，()0,2,1G ．所以()()1,2,0,1,2,1BC BD =--=-．设平面BCD 的法向量为()000,,n x y z =，则0,0,n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000020,20.x y x y z +=⎧⎨-+=⎩ 令01y =-，则002, 4.x z ==- 于是()2,1,4n =--．又因为平面1CC D 的法向量()0,2,0EB =，所以cos ,n EB n EB n EB⋅==由题知二面角1B CD C --为钝角，所以其余弦值为（3）由（2）知平面BCD 的法向量为()2,1,4n =--，()0,2,1FG =-．因为()()()20124120n FG ⋅=⨯+-⨯+-⨯-=≠，所以直线FG 与平面BCD 相交．【考点】空间线面位置关系的判断与证明．17．【答案】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50⨯．故所求概率为50=0.0252000．（2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” ．故所求概率为()()()()()()()()()11P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=-+-．由题意知()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2．故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35⨯⨯．（3）由题意知k ξ服从0—1分布，()()11,2,,6k k k D P P k ξ=-= ，其中k P 为第k 类电影得到人们喜欢的概率也就是好评率，由计算得，142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>．【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解．18．【答案】（1）因为()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()2212x f x ax a x e '⎡⎤=-++⎣⎦．()()11f a e '=-．由题设知()1=0f '，即()1=0a e -，解得1a =．此时()130f e =≠．所以a 的值为1．（2）由（1）得()()()()2212=12x x f x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++--⎣⎦．若12a >，则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在2x =处取得极小值．若12a ≤，则当()0,2x ∈时，120,1102x ax x -<-≤-<，所以()0f x '>．所以2不是()f x 的极小值点．综上可知，a 的取值范围是1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭．【考点】导数在研究函数问题中的应用． 19．【答案】（1）因为抛物线22y px =过点()1,2，所以24p =，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =．由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为()10y kx k =+≠．由24,1y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()22=24410k k ∆--⨯⨯>，解得0k <或01k <<．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-．从而3k ≠-．所以直线l 斜率的取值范围是()()(),33,00,1-∞-⋃-⋃．（2）设点()()1122,,,A x y B x y ．由（1）知121222241,k x x x x k k -+=-=．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由QM QO λ= ，QN QO μ=得1,1M N y y λμ=-=-．所以()()()2212121212122224211111111+=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=⋅=⋅=------．所以11+λμ为定值．【考点】直线与抛物线的位置关系．20．【答案】（1）因为()=1,1,0α，()=0,1,1β，所以()()()()1,11111111000022M αα⎡⎤=+--++--++--=⎣⎦，()()()()1,10101111010112M αβ⎡⎤=+--++--++--=⎣⎦．（2）设()1234=,,,x x x x B α∈，则()1234,M x x x x αα=+++．由题意知{}1234,,,0,1x x x x ∈，且(),M αα为奇数，所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3．所以()()()()()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0B ⊆．将上述集合中的元素分成如下四组：()()1,0,0,0,1,1,1,0；()()0,1,0,0,1,1,0,1；()()0,0,1,0,1,0,1,1；()()0,0,0,1,0,1,1,1．经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(),=1M αβ．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过为4．又集合()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4．（3）设()(){}()1212121,,,|,,,,1,01,2,,k nnkk S x x x x x x A xx x x k n -=∈====== ，(){}11212,,,|0n nnS x x x x x x +===== ，则121n A S S S +=⋃⋃⋃ ．对于()1,2,,1k S k n =- 中的不同元素α，β，经验证，(),1M αβ≥．所以()1,2,,1k S k n =- 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取()12,,,k n k e x x x S =∈ 且()101,2,,1k n x x k n +====- ．令{}1211,,,n n n B e e e S S -+=⋃⋃ ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．【考点】新定义问题与集合中元素与集合、集合与集合的关系问题．。

真题天津市高考数学理科试题附答案

适用精选文件资料分享【真题】 2018 年天津市高考数学（理科）试题（附答案）绝密★启用前 2018 年一般高等学校招生全国一致考试( 天津卷 ) 数学( 理工类 ) 本试卷分为第 I 卷( 选择题 ) 和第 II 卷( 非选择题 ) 两部分，共150分，考试用时 120分钟。

第 I 卷 1至 2页，第 II 卷3至5页。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定地点粘贴考试条形码。

答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项： 1. 每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其余答案标号。

2. 本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参照公式：假如事件 A，B 互斥，那么 . 假如事件 A，B 互相独立，那么 . 棱柱的体积公式，此中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高 .棱锥的体积公式，此中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的. (1) 设全集为 R，会集，，则(A) (B) (C) (D) (2)设变量x，y满足拘束条件则目标函数的最大值为(A)6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，若输入N的值为 20，则输出 T 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4) 设，则“”是“ ”的 (A)充足而不用要条件 (B) 必需而不重复条件 (C) 充要条件 (D) 既不充足也不用要条件 (5) 已知，，，则 a，b，c 的大小关系为 (A) (B)(C)(D) (6) 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(A) 在区间上单调递加 (B) 在区间上单调递减 (C) 在区间上单调递加(D) 在区间上单调递减 (7) 已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点 . 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 (A) (B)(C)(D) (8) 如图，在平面四边形 ABCD中，，，， . 若点 E 为边CD上的动点，则的最小值为(A) (B) (C) (D) 2018年一般高等学校招生全国一致考试 ( 天津卷 )数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。

2018年天津市高考数学试卷(理科)学生版

2018 年天津市高考数学试卷（理科）一 .选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．（5 分）（2018?天津）设全集为R ，会合 A={ x| 0＜x ＜ 2} ，B={ x| x ≥1} ，则 A∩（? ）（）R B =A ．{ x| 0＜x ≤ 1}B ．{ x| 0＜ x ＜ 1}C ．{ x| 1≤x ＜2}D ．{ x| 0＜x ＜2}，知足拘束条件，则目标函数 z=3x+5y2．（5 分）（2018?天津）设变量 x y的最大值为（）A ．6B ．19C ．21D ．453．（ 5 分）（2018?天津）阅读如图的程序框图，运转相应的程序，若输入为 20，则输出 T 的值为（）N 的值A ．1B ．2C ．3D ．4．（分）（天津）设∈ ，则“﹣ |＜3）x”是 “x＜ 1”的（4 5 2018? R| xA．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件5．（5 分）（2018?天津）已知 a=log2e，b=ln2，c=log，则 a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5 分）（2018?天津）将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间 [，] 上单一递加B．在区间 [，π]上单一递减C．在区间 [，] 上单一递加D．在区间 [， 2π] 上单一递减7．（5 分）（2018?天津）已知双曲线=1（ a＞ 0， b＞ 0）的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5 分）（2018?天津）如图，在平面四边形ABCD 中， AB⊥BC， AD⊥ CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点 E 为边 CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3二 .填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分.9．（5 分）（2018?天津） i 是虚数单位，复数=．10．（ 5 分）（2018?天津）在（x﹣）5 的睁开式中，x2的系数为．11．（ 5 分）（2018?天津）已知正方体ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其他各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥 M ﹣EFGH的体积为．12．（ 5分）（天津）已知圆x2+y2﹣ 2x=0 的圆心为 C，直线，2018?（t为参数）与该圆订交于A， B 两点，则△ABC的面积为．13．（5 分）（2018?天津）已知a，b∈R，且 a﹣3b+6=0，则 2a+的最小值为．，18?天津）已知a＞0，函数 f （x）= ．若，＞对于 x 的方程 f（x）=ax恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是．三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（13 分）（2018?天津）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知 bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2A﹣B）的值．16．（13 分）（ 2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的职工人数分别为24，16， 16．现采纳分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的检查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的职工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充分，现从这7 人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（ i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的职工人数，求随机变量X 的散布列与数学希望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充分的职工，也有睡眠不足的职工”，求事件 A 发生的概率．17．（13 分）（ 2018?天津）如图，AD∥ BC且 AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD 且 EG=AD，CD∥FG且 CD=2FG， DG⊥平面 ABCD，DA=DC=DG=2．（Ⅰ）若 M 为 CF的中点， N 为 EG的中点，求证： MN∥平面 CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣ BC﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP与平面 ADGE所成的角为 60°，求线段DP 的长．18．（ 13 分）（2018?天津）设 { a n} 是等比数列，公比大于0，其前 n 项和为 S n（n ∈N* ）， { b n} 是等差数列．已知 a1=1， a3 =a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求 { a n} 和{ b n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { S n} 的前 n 项和为 T n（n∈N* ），（ i）求 T n；（ ii）证明=﹣2（n∈N* ）．19．（ 14 分）（2018?天津）设椭圆+（＞＞）的左焦点为F，上极点为=1 a b 0．已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（ b，0），且 | FB| ?| AB| =6 ．B（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线 l：y=kx（k＞ 0）与椭圆在第一象限的交点为P，且 l 与直线 AB 交于点 Q．若=∠（O为原点），求k的值．sin AOQ20．（ 14 分）（ 2018?天津）已知函数 f （x）=a x，g（x） =log a x，此中 a＞1．（Ⅰ）求函数 h（ x）=f（ x）﹣ xlna 的单一区间；（Ⅱ）若曲线 y=f（x）在点（ x1， f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（ x2，g （x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l 是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g （x）的切线．。

2018天津理数高考真题纯文本版

2018天津理1.【2018天津理】设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则()=R I A B ð（） A.{|01}x x <≤B.{|01}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|02}x x <<【答案】B【解析】由题意可得：{|1}R B x x =<ð，结合交集的定义可得：{|01}R A B x x =<< ð，本题选择B 选项.【考点】集合 ◇2.【2018天津理】设变量,x y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为（）A.6B.19C.21D.45 【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：{51x y x y +=-+=，可得点A 的坐标为(2,3)，据此可知目标函数的最大值为：max 325321z =⨯+⨯=. 本题选择C 选项.【考点】线性规划◇3.【2018天津理】阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（） A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】开始输入20,2,0N i T ===，20102N i ==，为整数，执行； 11,1235T T i =+==+=<，执行循环；203N i =，不为整数，执行145i i =+=<，执行循环； 2054N i ==，为整数，执行12T T =+=，415i =+=，退出循环。

输出2T =，故选B. 【考点】程序框图 ◇4.【2018天津理】设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式11||0122x x -<⇒<<，由31x <知1x <据此可知11||22x -<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项. 【考点】常用逻辑用语 ◇5.【2018天津理】已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >>D.c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，ln 2(0,1)b =∈，12221log log 3log 3c e ==> 据此可得：c a b >>，本题选择D 选项. 【考点】对数与对数函数 ◇6.【2018天津理】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（） A.在区间35[,]44ππ上单调递增B.在区间3[,]4ππ上单调递减 C.在区间53[,]42ππ上单调递增D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A【解析】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，得到sin[2()]sin 2105y x x ππ=-+=，令22222k x k ππππ-≤≤+，所以()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈时，函数单调递增令1k =，所以函数在区间[,]443π5π上单调递增，故选A. 【考点】三角函数的图象变换 ◇7.【2018天津理】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点. 设,A B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（）A.221412x y -=B.221124x y -=C.22139x y -=D.22193x y -= 【答案】C【解析】根据题意可设,A B 的横坐标为c ，不妨令A 在x 轴下方，B 在x 轴上方则22(,),(,)b b A c B c a a-，取其中一条渐近线方程b y x a =，即0bx ay -=则2212262bc b bc b d d b c+-+=+==，所以3b =，即29b =又因为2ce a==，即2c a =，所以2222249a c a b a ==+=+，所以23a =，故选C. 【考点】双曲线 ◇8.【2018天津理】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（）A.2116B.32C.2516D.3【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则1(0,)2A -，3(,0)2B ，3(0,)2C ，3(,0)2D -，点E 在CD 上，则1(0)DE DC λλ= ≤≤，设(,)E x y ，则333(,)(,)222x y λ+=，即332232x y λλ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，据此可得：333(,)222E λλ-，且3331(,)2222AE λλ=-+ ，33(3,)22BE λλ=- ，由数量积的坐标运算法则可得：333133(,)(3,)222222AE BE λλλλ⋅=-+- ，整理可得23(422)(01)4AE BE λλλ⋅=-+ ≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅ 取得最小值2116.本题选择A 选项.【考点】平面向量的数量积 ◇9.【2018天津理】i 是虚数单位，复数67i12i+=+ . 【答案】4i - 【解析】67(67)(12)205412(12)(12)5i i i ii i i i ++--===-++-，故本题答案填4i -. 【考点】复数 ◇10.【2018天津理】在51()2x x-的展开式中，2x 的系数为 .【答案】52【解析】结合二项式定理的通项公式有：355215511()()22r r rrr r r T C x C x x--+=-=-，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115()10242C -=⨯=. 【考点】二项式定理 ◇11.【2018天津理】已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .【答案】112【解析】由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为22的正方形，其面积221()22EFGH S ==，顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGH V -=⨯⨯=. 【考点】空间几何体的结构特征 ◇12.【2018天津理】已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,2232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x t y t （t为参数）与该圆相交于,A B 两点，则ABC △的面积为 . 【答案】12【解析】由题意可得圆的标准方程为：22(1)1x y -+=，直线的直角坐标方程为：3(1)y x -=-+，即20x y +-=，则圆心到直线的距离：|102|222d +-==，由弦长公式可得：22||21()22AB =-=，则12222ABC S =⨯⨯△. 【考点】坐标系与参数方程 ◇13.【2018天津理】已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 . 【答案】14【解析】因为360a b -+=，所以33611222222284aa b a b b ---+=+≥== 当且仅当322ab-=，即3a b =-，即3,1a b =-=时取等号.【考点】基本不等式 ◇14.【2018天津理】已知0a >，函数222,0()22,0x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩≤，若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 【答案】(4,8)【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得2(1)x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：2(2)x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令22,01(),02x x x g x x x x ⎧-⎪+=⎨⎪>-⎩≤，其中21(12)11x x x x -=-++-++，242422x x x x =-++--，原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是(4,8).【考点】函数与方程 ◇15.【2018天津理】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值. 【答案】（1）π3B =；（2）7b =，33sin(2)14A B -=. 【解析】（1）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =.又因为(0,π)B ∈，可得π3B =.（2）解：在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故7b =. 由πsin cos()6b A a B =-，可得3sin 7A =.因为a c <，故2cos 7A =.因此43sin 22sin cos 7A A A ==，21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin AB A B A B -=-=4311333727214⨯-⨯=．【考点】解三角形 ◇16.【2018天津理】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（ⅰ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ⅱ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（1）3人，2人，2人；（2）（ⅰ）12()7E X =；（ⅱ）67. 【解析】（1）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人. （2）（ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.34337C C ()(0,1,2,3)C k k P X k k -⋅===.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P13512351835435随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （ⅱ）解：设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A B C = ，且B 与C 互斥，由（ⅰ）知，()(2)P B P X ==，()(1)P C P X ==，故6()()(2)(1)7P A P B C P X P X ===+== . 所以，事件A 发生的概率为67. 【考点】离散性随机变量及其分布列 ◇17.【2018天津理】如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60 ，求线段DP 的长.【答案】（1）见解析；（2）1010；（3）33. 【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(0,0,2)G ，3(0,,1)2M ，(1,0,2)N.（1）证明：依题意(0,2,0)DC = ，(2,0,2)DE = .设0(,,)x y z =n 为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，n n即20220y x z =⎧⎨+=⎩，，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)=-n .又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN ⋅= n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以//MN 平面CDE .（2）解：依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =-.设(,,)x y z =n 为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令1z =，可得(0,1,1)=n .设(,,)x y z =m 为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令1z =，可得(0,2,1)=m .因此有310cos ,||||10⋅<>==m n m n m n ，于是10sin ,10<>=m n .所以，二面角E BC F --的正弦值为1010. （3）解：设线段DP 的长为([0,2])h h ∈，则点P 的坐标为(0,0,)h ，可得(1,2,)BP h =--.易知，(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量，故2||2|cos |||||5BP DC BP DC BP DC h ⋅<⋅>==+，由题意，可得223sin 6025h ==+ ，解得3[0,2]3h =∈. 所以线段DP 的长为33. 【考点】利用空间向量计算空间角 ◇18.【2018天津理】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（ⅰ）求n T ；（ⅱ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N .【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）（ⅰ）122n n T n +=--；（ⅱ）见解析.【解析】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q .由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d += 由5462a b b =+，可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n = 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（2）（ⅰ）由（1），有122112nn n S -==--，故1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ⅱ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑ .【考点】数列的求和 ◇19.【2018天津理】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(,0)b ，且||||62FB AB ⋅=.（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若||52sin ||4AQ AOQ PQ =∠（O 为原点），求k 的值. 【答案】（1）22194x y +=；（2）k 的值为12或1128. 【解析】（1）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =.由已知可得，||FB a =，||2AB b =，由||||62FB AB ⋅=，可得6ab =，从而3a =，2b =.所以，椭圆的方程为22194x y +=. （2）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点Q 的坐标为22(,)x y .由已知有120y y >>，故12||sin PQ AOQ y y ∠=-.又因为2||sin y AQ OAB =∠，而π4OAB ∠=，故2||2AQ y =.由||52sin ||4AQ AOQ PQ =∠，可得1259y y =. 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，可得12694k y k =+.易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+.由1259y y =，可得25(1)394k k +=+，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =. 所以，k 的值为12或1128. 【考点】椭圆◇20.【2018天津理】已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中1a >.（1）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（2）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-；（3）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线. 【答案】（1）函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）解：由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x '=，解得0x =.由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：x(,0)-∞0 (0,)+∞()h x ' -0 +()h x极小值所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明：由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln xa a .由1()ln g x x a '=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a. 因为这两条切线平行，故有121ln ln xa a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （3）证明：曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线1111:ln ()xxl y a a a x x -=⋅-. 曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线22221:log ()ln a l y x x x x a-=⋅-. 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得1l 和2l 重合.即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于1x 的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的0x ，且00x >，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a-=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x . 因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-，所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln xxa a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（1）可得1ln xa x a ≥+，当1ln x a>时，有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.【考点】利用导数研究恒成立问题 ◇。

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：

如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPBU . 如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB . 棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.

棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R，集合{02}Axx，{1}Bxx，则()RIABð

(A) {01}xx (B) {01}xx (C) {12}xx (D) {02}xx

(2)设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy 则目标函数35zxy的最大值为 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(4)设Rx，则“11||22x”是“31x”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不重复条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)已知2logea，ln2b，121log3c，则a，b，c的大小关系为 (A) abc (B) bac (C) cba (D) cab (6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数

(A)在区间35[,]44上单调递增 (B)在区间3[,]4上单调递减 (C)在区间53[,]42上单调递增 (D)在区间3[,2]2上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为 (A) 221412xy (B) 221124xy (C) 22139xy (D) 22193xy (8)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD. 若点E为边CD上的动点，则uuuruurAEBE的最小值为

(A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D) 3

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 第Ⅱ卷注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共12小题，共110分。二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) i是虚数单位，复数67i12i .

(10) 在51()2xx的展开式中，2x的系数为 . (11) 已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 .

(12)已知圆2220xyx的圆心为C，直线21,2232xtyt(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为 . (13)已知,Rab，且360ab，则128ab的最小值为 .

(14)已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxfxxaxax若关于x的方程()fxax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 .

三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos()6bAaB. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值.

(16)(本小题满分13分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

(17)(本小题满分13分) 如图，//ADBC且AD=2BC，ADCD,//EGAD且EG=AD，//CDFG且CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.

（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MNCDE平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

(18)(本小题满分13分) 设{}na是等比数列，公比大于0，其前n项和为()nSnN，{}nb是等差数列. 已知11a，

322aa，435abb，5462abb.

（I）求{}na和{}nb的通项公式；（II）设数列{}nS的前n项和为()nTnN，（i）求nT；

（ii）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnNkkn. (19)(本小题满分14分) 设椭圆22221xxab(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(,0)b，且62FBAB.

（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykxk与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若52sin4AQAOQPQ(O为原点) ，求k的值.

(20)(本小题满分14分) 已知函数()xfxa，()logagxx，其中a>1. （I）求函数()()lnhxfxxa的单调区间；（II）若曲线()yfx在点11(,())xfx处的切线与曲线()ygx在点22(,())xgx 处的切线平行，证

明122lnln()lnaxgxa；（III）证明当1eae时，存在直线l，使l是曲线()yfx的切线，也是曲线()ygx的切线. 参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）4–i （10）52 （11）112

（12）12 （13）14 （14）(48)，

三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．又因为

(0π)B，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos7bacacB，故b=7．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为a43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．

所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．KS5U （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为

0 1 2 3

随机变量X的数学期望11218412()0123353535357EX．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．