2007-2008度高三数学第一学期期末质量调查试卷(文)

天津市武清区2007-2008学年度高三第一学期期末质量调查试卷数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．10(1)x -的展开式中，中间一项的二项式系数是A ．510CB ．510C -C ．410CD ．410C -2．设A 、B 是两个非空集合，则A AB ⊆是A A B =的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在等差数列{}n a 中，1328,3a a a ⋅==，则公差d 等于A ．1B ．2C ．1±D ．2±4．若12x π=，则22sin cos x x -的值为A ．12B ．12-CD ．5．函数5sin(2),2y x x R π=+∈是 A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6．函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠在[2,3]上的最大值是1-，则a 的值是A ．13B ．12C ．13或12D ．以上都不是7．函数2(3)()y x x x R =-∈的极大值与极小值的差是A ．4B ．4-C ．2D ．2-8．若函数2()2f x x bx =-+在区间[1,2]-上有反函数，则实数b 的取值范围是A ．(,2]-∞B ．(,4][2,)-∞-+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2][4,)-∞-+∞9．在平面直角坐标系中，已知向量(3,1),(2,1)AB n =-=且6AB n ⋅=，则BC n ⋅的值是A ．0B ．1C ．1-D ．1-或110．在l×6的矩形长条格中，两格涂红色，两格涂黄色，两格涂蓝色，但要求相邻的两格不同色，则不同的涂色方法的种数为A ．90B ．45C ．36D ．30二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 11．函数2sin 2y x =的最小正周期是12．向量(1,2)a =-与向量(1,3)b =--的夹角是13．若数列{}n a 满足111,2n n a a a -==+且1,,n n n N S >∈是数列{}n a 的前n 项和，则n S =14．由于生产技术的不断改进，某商品的价格月平均降低的百分率为p ，那么这种商品的价格年降低的百分率为 15．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(1)()2x f x +>的解集是16．奇函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增，偶函数()y g x =在[0,)+∞上的图象与()y f x =的图象重合。

设0a b <<，给出下列不等式：①()()()()f b f a g a g b -->--； ②()()()()f b f a g a g b --<--； ③()()()()f a f b g b g a -->--；④()()()()f a f b g b g a --<--；其中正确的是 （把正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17．（本小题满分12分）已知函数2()22,1f x x x x =-+≥。

（1）求1()fx -；（2）求函数1()()g x xf x -=在区间[2,10]内的最值。

已知函数8212()log 22xf x x x -=-+ （1）求(2)f -的值； （2）求函数()f x 的定义域。

19．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，公比为q ，且3cos 4B =（1）求q 的值； （2）求cotA+cotC 的值。

20．（本小题满分12分）某人用一颗骰子（各面上分别标有1到6的均匀正方体玩具）做抛掷得分游戏。

规则如下：若抛出的点数为3的倍数，则得1分，否则得1-分。

（1）求抛掷4次至少得2分的概率；（2）试比较掷5次得1-分的概率与掷3次得1-分的概率的大小。

若实数0a ≠，函数322()2121,()23f x ax ax ax g x ax =--++=+ （1）令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的极值；（2）若在区间(0,)+∞上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围。

22．（本小题满分14分）正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的n N +∈，满足2210n n n a a S -+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记1n nb S =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：1)n T >高三数学（理科）参考答案选择题 1．A 2．C3．C4．D5．B6．B7．A8．D9．B10．C填空题 11．2π 12．135°13．2n14．121(1)p --15．{|1x x >或3}x <-16．②④ 解答题17．（1）由2222(1)1y x x x =-+=-+，得2(1)1x y -=-∵1x ≥，∴1x -=1()1f x -=3分 ∵函数2()22,1f x x x x =-+≥的值域为[1,)+∞ 5分∴1()1(1)f x x -=≥6分（2）∵函数1()f x -为[1,)+∞上的增函数；函数()f x x =为R 上的增函数，且区间[2,10]是这两个函数定义域的子集∴函数1()()g x xfx -=在[2,10]上是增函数10分∴当2x =时，函数()1)g x x =有最小值(2)4g = 11分当10x =时，函数()1)g x x =有最大值(10)40g =12分 18．（1）∵8212()log 22x f x x x -=-+，∴318211(2)log log 223f --===- 5分 （2）要使函数()f x 有意义，应有212022xx x ->-+7分 而2222(1)10x x x -+=-+>恒成立，∴应有120x ->，∴12x < 11分 ∴函数()f x 的定义域为1{|}2x x <12分 19．（1）∵a 、b 、c 成等比数列，∴2b ac =1分 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-2分 ∵3cos 4B =，∴22232b a c ac =+-，∴2232ac a c ac =+-，3分即222250a c ac +-=∵2,b aq c aq ==，∴422520q q -+=，∴22q =或124分考虑到q 非负，∴q6分（2）∵3cos 4B =且B 是ABC 内角，∴sin B = 7分由正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==，∴22sin sin sin ac b A C B= 8分∵2b ac =，∴2sin sin sin A C B = 10分∴cos cos sin cos cos sin sin()cot cot sin sin sin sin sin sin A C C A C A A C A C A C A C A C+++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====12分 20．（1）设“掷出的点数为3的倍数”为事件A ，则21()63P A ==，2()3P A = 1分抛掷4次至少得2分，有得2分和得4分两种情况：若得2分，需4次中事件A 恰好发生3次，其概率为3314128()3381P C =⋅=3分 若得4分，需4次中事件A 恰好发生4次，其概率为4211()381P == 5分所求概率为1219P P P =+= 6分 （2）掷5次得1-分，需5次中事件A 恰好发生2次，其概率为223351280()()33243P C ==掷3次得1-分，需3次中事件A 恰好发生1次，其概率为124312108()()33243P C ==∴34P P <∴掷5次得1-分的概率小于掷3次得1-分的概率12分21．（1）∵32()()()23122h x f x g x ax ax ax =-=--+-∴2'()66126(2)(1)h x ax ax a a x x =--+=-+- 2分令'()0h x =，∴2x =-或1x = 若0a >，在点2x =-附近，当2x >-时，'()0h x >；当2x <-时，'()0h x < ∴2x =-是函数()h x 的极小值点，极小值为(2)202h a -=--； 在点1x =附近，当1x >时，'()0h x <；当1x <时，'()0h x > ∴1x =是函数()h x 的极大值点，极大值为(1)72h a =-7分若0a <，易知，2x =-是函数()h x 的极大值点，极大值为(2)202h a -=--； 1x =是函数()h x 的极小值点，极小值为(1)72h a =-9分（2）若在(0,)+∞上至少存在一点0x 使得00()()f x g x >成立，则()()f x g x >在(0,)+∞上至少存在一解，即()0h x >在(0,)+∞上至少存在一解 由（1）知，当0a <时，函数()h x 在区间(0,)+∞上递增，且极小值为(1)720h a =-< ∴此时()0h x >在(0,)+∞上至少存在一解；12分当0a >时，函数()h x 在区间(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， ∴要满足条件应有函数()h x 的极大值(1)720h a =->，即27a > 综上，实数a 的取值范围为0a <或27a >14分22．（1）∵2210n n n a a S -+=，令1n =，∴2111210a a S -+=∵11,0n a S a =>，∴11a =2分∵1n n n a S S -=-，∴211()2()10n n n n n S S S S S -----+=∴2211(2n n S S n --=≥且n N +∈） ∴数列2{}n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2n S n =∵0n a >，∴n S = 6分∴n a =2n ≥且n N +∈） 7分当1n =时，11a ==8分∴n a =n N +∈） 9分（2）1n n b S ===>=12分123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+=+1)>14分。