第9 10课时 解三角形复习课(1)(2)
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
高中数学解三角形复习提高课导学案
高一年级数学学科导学案 主备人： 审核人：授课时间： 班级： 姓名：课题：解三角形综合复习【教学目标】应用三角形的性质解决综合问题【重点难点】综合应用知识【教法教具】多媒体辅助教学【教学课时】2课时【教学流程】■自主学习〔课前完成，含独学和质疑〕1．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边长分别是,,a b c ，假设sin sin 3sin B A a c C a b-+=+，则角B 的大小为〔 〕 A.6π B. 3π C. 23π D. 56π备注：2．ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且4a =， 5b c +=， tan tan 3A B ++=3tan tan A B ⋅，则ABC ∆的面积为〔 〕A.32 B. 33 C. 332 D. 32■合作探究：〔对学、群学〕例1．在ABC ∆中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， ,,A B C 都不是直角，且22cos cos 8cos ac B bc A a b A +=-+〔Ⅰ〕假设sin 2sin B C =，求,b c 的值；〔Ⅱ〕假设6a =，求ABC ∆面积的最大值.[来源:学,科,网Z,X,X,K]ABC中cos cos 2cos a C c A b A +=.〔1〕求角A 的值；〔2〕假设102b c a +==，，求ABC 的面积S .【板书设计】[来源:Z 。
xx 。
]【学后反思】【练案】1．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2220a ab b --=.〔1〕假设6B π=，求C ； 〔2〕假设2,143C c π==，求ABC S ∆.[来源:学科网ZXXK]2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3cos214sin ?sin 63A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (Ⅰ)求角A 的值；(Ⅱ)假设2a =，且b a ≥，求2b c -的取值范围．[来源:]3．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△CAD ＝， AC ＝，cos△ADB ＝－．〔1〕求sin△C 的值；〔2〕假设BD ＝5，求△ABD 的面积．472210。
高中数学课件第一章 解三角形 1.2.2
在△ABC 中，由正弦定理，得 sin∠BAC＝BCsiAnB120°＝1251× 23＝5143. ∴∠BAC＝38°13′，或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′. 答：巡逻艇应该沿北偏东 83°13′方向去追，经过 1.5 h 才追赶上该走私船．
【解析】 两条对角线的长分别为 32＋ 62－2× 3× 6×cos 45°＝ 3和 32＋ 62－2× 3× 6×cos 135°＝ 15.
【答案】 3 15
3．已知 A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，经测量，∠ ABC＝120°，则 A，C 两地的距离为________ km.
cos B＝________.
【解析】 ∵a＝4bsin A，由正弦定理知 sin A＝4sin Bsin A，∴sin B＝14，cos B
＝ 1－sin2B＝
1－142＝
15 4.
【答案】
15 4
2．若平行四边形两邻边的长分别是 3和 6，它们的夹角是 45°，则这个平行 四边形的两条对角线的长分别是________．
由余弦定理，得 BC2＝202＋122－2×20×12·cos 120°＝784，∴BC＝28(n mile)． 即一小时后，两船相距 28 n mile.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin B＝sin C， 试确定△ABC 的形状.
[小组合作型] 利用正、余弦定理解决实际问题
某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45°相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正 沿南偏东 75°的方向以 10 n mile/h 的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 n mile/h 的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶 上该走私船？已知sin 38°13′＝5143
高考理科数学第二轮复习 三角函数 课时考点9 解斜三角形
课时考点9 解斜三角形高考要求三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重难点归纳(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘热点题型1 判断△ABC 的形状例1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31。
（1） 判断△ABC 的形状； （2） 求△ABC 的面积。
解：（1） b=acosC ，∴由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=)(C A +-π,∴ sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC ，∴cosAsinC=0,又A ，C ),0(π∈∴cosA=0，A=2π，∴△ABC 是直角三角形。
（2） △ABC 的最大边长为12，由（1）知斜边a =12，又 △ABC 最小角的正弦值为31，∴Rt △ABC 的最短直角边为1231⨯=4，另一条直角边为28∴S △ABC =28421⨯⨯=162启示：对于涉及三角形的三角函数变换非常重要,如:A+B+C=π,(2222CB A -=+π; π2222=++C B A ), A sin =sin(B+C), CosA=)cos(C B +- , 2cos 2sin C B A += , 2sin 2cos CB A += 等.另外灵活运用正弦定理、余弦定理，要注意边角互换.变式1：在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝22b a :，试判断△ABC 的形状．分析：三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a 2＋b 2＝c 2， a 2＋b 2>c 2（锐角三角形），a 2＋b 2＜c 2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A＝B 或A ＋B ＝．所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a 4－a 2c 2＋b 2c 2－b 4＝0，即（a 2－b 2）（a 2＋b 2－c 2）＝0， 于是a 2＝b 2或a 2＋b 2－c 2＝0，∴a＝b 或a 2＋b 2＝c 2． ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．热点题型2 与数列及平面向量的数量积的综合例2． ABC ∆中，内角A .B .C 的对边分别为a .b .c ，已知a .b .c 成等比数列，且B cos 4=（1）求C A cot cot +的值； （2）若23=⋅，求c a +的值解：（1）由B cos 43=得：47sin =B由ac b =2及正弦定理得：C A B sin sin sin 2= 于是：()BC A C A A C A C C C A A C A 2sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot +=+=+=+ 774sin 1sin sin 2===BB B（2）由23=⋅BC BA 得：23cos =⋅B ac ，因B cos 43=，所以：2=ac ，即：22=b由余弦定理B ac c a b cos 2222⋅-+=得：5cos 2222=⋅+=+B ac b c a于是：()9452222=+=++=+ac c a c a故：c a +=变式2：在ABC ∆中，A .B .C 的对边分别为a .b .c 。
初三解直角三角形复习公开课共46页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
பைடு நூலகம்
解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形第1课时课题: §1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又sin 1c C c==,A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高考数学二轮复习 考点九解三角形课件 理
有CAMM＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．
由题意知 BM＝CM，
所以3cos1∠BAC＝sin(∠BAC－∠BAM)．
化简，得 2 2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
2 所以
2tan∠BAC－1 tan2∠BAC＋1 ＝1，解得
tan∠BAC＝
2.
再结合 sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，
2 易错点 3 综合点
①余弦定理的变形及符号易混． ②利用正弦定理解三角形时，不注意解的个数的讨论． ③区分不开“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的判断条件．
常与三角函数恒等变换、性质、平面向量、立体几何等知识结合．
第二页，共33页。
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考题 ●解法类编
类型一 利用正、余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)求三角形的角度
思考：利用(lìyòng)余弦定理可以求cosC与a吗？
解析：可以，cos A＝35，∴sin A＝45，cos B＝153，
sin B＝1123，
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－(cos Acos B－sin Asin B)
＝－35×153－45×1123＝3635，
a sin
b A＝sin
B，∴a＝132×45＝153，
通性通法 名师推荐 创新发现 探究演练
例 2：设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
【解析】将△ABC 分解为两个直角三角形，求边长．
为 a，b，c，且 cos A＝53，cos B＝153，b＝3， 则 c＝________．
作 CD⊥AB 于 D 点，在 Rt△ADC 中，AC＝3， 由 cos A＝35，得 AD＝95，sin A＝45，得 CD＝152， 由 cos B＝153，得 sin B＝1123＝CCDB，∴CB＝153，
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
解直角三角形教案
解直角三角形复习教案一、教材分析《解直角三角形》是在苏教版九年级（下）第7章《解直角三角形》第5节内容。
教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。
通过学习，学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
二、目的分析在知识上，本节课的目标是使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形。
在培养能力上，通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”思想。
三、重难点分析1.教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形2.教学难点：选择适当的关系式解直角三角形四、中考考点分析1.边角关系的求解（知二便可求一）：（1）已知一边一角求其他的边角；（2）已知两边求其他的边角2.特殊角的三角函数求值3.解直角三角形与实际问题,如测山高、塔高、船的航行距离、堤坝的横截面、穿越公园问题、台风侵袭问题、航行触礁（进入危险区）问题等是反复考查的重点内容.（掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角）五、教法分析因为是复习课，所以我们应该针对学生的实际状况，找准学生的薄弱之处，梯度的，逐点的进行突破。
通过讲例题，做习题，讲练结合，系统归纳，方法总结，以达到查漏补缺的目的。
我在教学的过程中是采取启发和引导的方式进行。
比如，在讲解例题的时候，我习惯先让学生琢磨这道题目的思路和方法，要求学生说清楚每个步骤做法的理由，在这个过程中，我就能很清晰地了解学生的薄弱环节和擅长之处，从而有针对性的教学。
在学生练习的过程中要是算错或用错定理公式，我不会立即就指出，而是在学生做完之后再引导他发现自己的错误之处。
初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图4
（4）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。 过程与方法：（1）经历探索直角三角形中边角之间关系的过程；经历探索 30º，45º，60º角的三角函数值的过程。
（2）体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题。 情感态度与价值观：（1）发展学生观察、分析、发现问题的能力；（2）培养学生独立思考及互相合作的习惯。
（2 课时）
专题二：用计算器求锐角三角函数
（2 课时）
专题三： 解直角三角形及其应用
（8 课时）
„„„„
其中，专题三中测量物体的高度作为研究性学 2 课时
专题学习目标
（1）理解正切、正弦、余弦的意义并能举例进行说明； （2）能够运用 tanA ,sinA ,cosA 表示直角三角形中两边的比； （3）能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。
62
25
∴BC＝ .
6
25 ∴cosB＝ BC 6 25 5 ,
AB 65 65 13 6
sinA＝ BC 5 AB 13
可以得出同例 1 一样的结论. ∵∠A+∠B=90°，
∴sinA：cosB=cos(90-A)，即 sinA＝cos(90°-A)； cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即 cosA＝sin(90°-A).
12
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA＝ ，AC＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB、sinA 呢?你还能得出类似例 1 的
13
结论吗?请用一般式表达.
分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透 sin(90°-A)＝cosA，cos
(90°-A)=sinA.
12
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学习札记
复习课 学习要求 1． 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形； 2． 能利用计算器解决三角形的计算问题。 【课堂互动】 自学评价 1．正弦定理：txjy (1)形式一：CcBbAasinsinsin= 2R ； 形式二：R2aAsin＝；R2bBsin＝；R2cCsin＝；（角到边的转换） 形式三：AsinR2a，BsinR2b，CsinR2c；（边到角的转换） 形式四：Bsinac21Asinbc21Csinab21S；（求三角形的面积） (2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 2）、已知两边和其中一边的对角，
求另一边的对角（从而进一步求出其
他的边和角）。
(3)若给出A,ba，那么解的个数
为：(A为锐角)
若Asinba，则_________；
若baAba或者sin，则
_________；
若baAsinb，则__________；
2．余弦定理：txjy
(1)形式一：
Acosbc2cba222
，
Bcosac2cab222
，
Ccosab2bac222
形式二：bc2acbAcos222，
ac2bcaBcos222，ab2
cbaCcos222
，
（角到边的转换）
(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一
解）
2）、已知两边和它们的夹角，求
第三边和其他两个角；（唯一解）
学习札记
【精典范例】 一、判定三角形的形状 【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状： (1) a2tanB=b2tanA； (2) b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC; (3) (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 【解】 二、三角形中的求角或求边长问题 【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。 分析：要求最短边的长，需建立
边长关于角α的目标函数。
【解】
注：在三角形中，已知两角一边
求其它边，自然应联想到正弦定理。
【例3】在△ABC中，已知sinB=53,
cosA=135, 试求cosC的值。
【解】
【例4】在△ABC中，已知
ACBAB,66cos,364
边上
的中线BD=5，求sinA的值.
分析：本题主要考查正弦定
理、余弦定理等基础知识，同时
学习札记
考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力. 【解】 【例5】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA. （Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值； （Ⅱ）若3a，求bc的最大值. 【解】 三、解平面几何问题 【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。 【解】 注：在应用正弦定理解题时要注意方
程思想的运
追踪训练一
1. △ABC中a=6,b=63 A=30°
则边C=（ ）
A、6 B、、12 C、6或12 D、
63
2. △ABC中若
sin(A+B)CBA2sin)sin( ，则△ABC
是（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角
形
C 钝角三角形 D 等腰三
角形
3. △ABC中若面积
S=)(41222cba
则C=（ ）
A 2 B 3 C 4
D6
4.△ABC中已知∠A=60°，AB
=AC=8：5，面积为103，则其周长
为 ;