2013北京海淀区高三一模数学(理)试题(含答案)

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2013.4一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 2.在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为（ ） Ａ. B. Ｃ. Ｄ.3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的值为5，则输出的值为Ａ. B. C. D.4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为Ａ. B. C. D. 5. 若向量满足，则 的值为 A. B. C. D. 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A.B.D. 8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①，使得是直角三角形；2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|A B =I {3,4,5}{4,5,6}{|36}x x <≤{|36}x x ≤<4cos ρθ=π44π16x y 2-1-1221,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩k 2-1-01,a b ||||||1==+=a b a b ⋅a b 12-121-124y x =F (,)P x y (1,0)A -||||PF PA 1223123,,l l l i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆②，使得是等边三角形；③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______. 10.等差数列中,, 则 11.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______.12.在中，若，则 13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.14.已知函数，任取，定义集合： ，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则 （1）函数的最大值是_____；（2）函数的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.（13分）已知函数. （Ⅰ）求的值和的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆(1,2,3,4)i A i =1234A A A A + i a b ,a b ∈R b {}n a 34259,18a a a a +==16_____.a a =AP O e A DB P B O AP C 90ACB ∠=︒3,4BC CP ==DB ABC ∆4,2,a b ==1cos 4A =-_____,sin ____.c C ==22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩a π()sin2f x x =t ∈R {|t A y =()y f x =(,())P t f t (,())Q x fx ||PQ ≤, t t M m t A ()t t h t M m =-()h t ()ht 2()2cos )f x x x =--π()4f ()f x ()f x [,]63ππ-D CBPAO16.（13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.（14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且P ABCD -PA ⊥ABCD ABC ∆AC BD M AC 4PA AB ==120CDA ∠=oN PB PN =（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面; （Ⅲ）求二面角的余弦值．18.（13分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值.19.（14分）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆. （I ）求椭圆的方程；BD PC ⊥//MN PDC A PC B --2()ln f x x ax bx =++,a b 0a ≠1x =1a =()f x ()f x (]0,e 1a M 222(x y r -+=0r >C 22221x y a b +=0a b >>M C（II ）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.20.（13分）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若与重合，一定为偶数；（Ⅲ）若，且，记，求的最大值.l y kx =l C A B M G H G AB AG BH =M r (,),(,)A A B B A x y B x y ,,,A A B B x y x y ∈Z B A x x x ∆=-B A y y y ∆=-x ∆+=3y ∆||||0x y ∆⋅∆≠B A ()B A τ=0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z {}i P 1()i i P P τ-=i P (,)i i x y 1,2,3,...,i n =0P 0P n P n 0(1,0)P 100n y =0ni i T x ==∑T海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 （理）参考答案及评分标准 2013．4一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--9．0 10．14 11.12． 13．14．2453, 16491a <≤2,(21,2), Z k k k -∈…2分……4分……6分所以………7分 所以 的周期为 ………9分 （II ）当时，， 所以当时，函数取得最小值 ……11分 当时，函数取得最大值 ……13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有人 ……1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ……8分，， 22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+-2= 12sin 2x x -+cos22x x =+π= 2sin(2)6x +πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==()f x 2π2π= π||2T ω==ππ[,]63x ∈-π2π2[,]33x ∈-ππ5π(2)[,]666x +∈-π6x =-π()16f -=-π6x =π()26f =100.2540÷=40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ξξ2621015(16)45C P C ξ===116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=11222104(19)45C C P C ξ===所以的分布列为………………11分 所以 所以的数学期望为……13分17.证明：(I) 因为是正三角形，是中点， 所以,即………………1分 又因为，平面， …2分又，所以平面………………3分又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，5分在中，因为为中点，，所以，所以 ………6分 在等腰直角三角形中，，所以，，所以 ……8分又平面，平面，所以平面 ……9分（Ⅲ）因为， 所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以222101(20)45C P C ξ===ξ1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ865ABC ∆M AC BM AC ⊥BD AC ⊥PA ABCD ⊥平面BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA AC A =I BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥ABC BM =ACD ∆M AC DM AC ⊥AD CD =120CDA ∠=o 3DM =:3:1BM MD =PAB 4PA AB ==PB =:3:1BN NP =::BN NP BM MD =//MN PD MN ⊄PDC PD ⊂PDC //MN PDC 90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=o AB AD ⊥,AB AD AP , x y z (4,0,0),(0,0,4)B C D P yx由（Ⅱ）可知，为平面的法向量 ……10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为 ……12分设二面角的大小为， 则 所以二面角余弦值为…14分 18. 解：（I ）因为所以 ……2分 因为函数在处取得极值， ……3分当时，，，随的变化情况如下表：………………5分所以的单调递增区间为,；单调递减区间为 ………6分 (II)因为 令, ……7分 (4,3DB =-u u u r PAC 4)PC =-u u u r (4,0,4)PB =-u u u rPBC (,,)n x y z =r 00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩3,z =PBC n =rA PCB --θcos n DB n DBθ⋅==⋅u u u r r u u u r rA PCB --72()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x ()f x 1(0,)21+∞（，）1(,1)2222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==()0f x '=1211,2x x a==因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 ……9分 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得 ………11分 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾 ………12分 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. ………13分 1９.（14分）解：（I ）设椭圆的焦距为，因为，所以， ()f x1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a<=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-2c a =2c a =1c =A BGH所以.所以椭圆： ……4分 （II ）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，，则 所以 ，则， ……6分 所以……7分 点，0）到直线的距离………9分 显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要 所以 ……11分 当时，……12分 当时， 又显然,14分 20.解：（Ⅰ）因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个 ……2分又因为，即 所以这些可能值对应的点在以为半径的圆上 ……4分1b =C 2212x y +=A 1x 1y B 2x 2y l C A B 22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩22(12)20k x +-=120x x +=122212x x k =-+AB ==M l d =GH =H AB y kx =y AG BH =AB GH =222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++0k =r =0k ≠242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++24212(1)2132r k k =+>++<r ≤<x ∆+=3(,y x y ∆∆∆1,2x y ∆=∆=2,1x x ∆=∆=0P 22()()5x y ∆+∆=221010()()5x x y y -+-=0P（Ⅱ）依题意与重合则，即，两式相加得（*） 因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数 ……8分（Ⅲ）令，依题意，因为………………10分因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大 而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大. 当时，令所有的都为1，都取2，则. 当时，若， (,)n n n P x y 000(,)P x y 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----n n 11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=0n i i T x===∑012n x x x x ++++L 112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆L L 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆L 3i i x y ∆∆=+i i x y ∆∆，2i x ∆=T 123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆2T i y ∆1-i x ∆T 100n =i y ∆i x ∆1012(12100)10201T =++++=L 100n >*2(50,)n k k k =>∈N此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大 此时=.若,令,其余的中有个，个1. 相应的，对于，有,其余的都为2，则当时，令 则相应的取则=+综上， ………13分i y ∆50k +50k -1-i x ∆()S n T 212((1)1)21n n n n n +++-++=++L *21(50,)n k k k =+≥∈N 2n y ∆=i y ∆49k -1-49k +i x ∆1n x ∆=212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+L 50100n ≤<1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤T 1n +2((1)(101))n n n +-+-L ((100)(99)1)n n +-+-+L 2205100982n n +-=22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.。