3.1.1方程的根与函数零点
2019A新高中数学必修第一册：3.1.1 方程的根与函数的零点
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 复习与提高
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1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上 的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数 的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续 的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.
2014年新课标人教A版必修1数学3.1.1方程的根与函数的零点随堂优化训练课件
【问题探究】
函数 y＝f(x)的零点、方程 f(x)＝0 的实数根和函数 y＝f(x) 的图象与 x 轴的交点情况，三者有什么关系？
答案：函数 y＝f(x)有零点⇔方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y
＝f(x)的图象与 x 轴有交点．
题型 1 求函数的零点 【例 1】 求下列函数的零点： (1)y＝－x2－x＋20； (2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)； (3)y＝2x－1； (4)f(x)＝(x2－x)2－(x2－x)－2.
故选A.
图 D24
答案：A
判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，
常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看
方程是否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理
进行判断；③通过函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是
否有交点进行判断.
【变式与拓展】
3.(2011 年广东汕头测试)根据表格中的数据，可以判定函数
解：方法一：令f(x)＝0，则x2＋(a2－1)x＋a－2＝0.
∵Δ＝(a2－1)2－4(a－2)＝a4－2a2－4a＋9 ＝(a2－2)2＋2(a－1)2＋3>0， ∴此方程有两个不相等的实数根，设两实数根分别为 x1， x2(x1＜x2).
由函数的零点一个比1大，另一个比1小， 可得x1＜1＜x2， 故(x1－1)(x2－1)＜0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0. 由韦达定理， 得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0， 即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.
法求出方程的根，从而得到函数的零点.
【变式与拓展】 1.若 f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是 3，则函数 g(x)＝bx2 0，－1 ＋3ax 的零点是____________. 解析：由f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，得3a－b＝0，即
《红对勾》2015-2016学年人教版高中数学必修一课件第3章3.1.1方程的根与函数的零点
3．判断函数的零点，可利用的结论： 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并 且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)<0，则在区间 (a，b)内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x) ＝0 在区间(a，b)内至少有一个实数解.
课堂篇02
合作探究
∴必有 f(1)<0，即 12＋2p＋1<0. ∴p<－1. ∴p 的取值范围为(－∞，－1)．
解法 2：设 y＝x2＋2px＋1 的零点为 x1，x2， 则Δx＝1－4p12－x24－>01<0 ⇔xp12x>21－x1＋x2＋1<0 ⇔p12＋>12，p＋1<0， 得 p<－1.
答案：B
2．二次函数的零点问题 【典例 2】 已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1 ＝0 有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2) 内，求 m 的取值范围．
画出对应二次 利用函数零点 【解析】 函数的图象 → 的存在性定理 → 根据零点的位置列出关于m的不等式
【解】
提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有 f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1,0,1；如f(x) ＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2,0)内只有 一个零点－1.
5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在 (a，b)内没有零点？
【总结】 这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
新疆和硕县高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的
《方程的根和函数的零点》
知识梳理函数零点概念（归纳总结）
函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
的零点。
【思考】：
（1）零点是一个点吗？
（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？
(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？
（4）反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x
轴交点的横坐标,三者有什么关系?
方程f(x)=0有实数根Û(2)函数y=f(x)有零点
Û(3)函数y=f(x)的图象
与x轴有交点
零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一
条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内
有零点，即存在c，使得f（c）=0.这个c也就是方程f（x）=0的根。
【思考】
(1) 这个定理前提有几个条件?
(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?
(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?
对于
每一个知
识点都做
一个小的
思考，即
为深入理
解概念，
让学生抓
住定理概
念的重点。
必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重 点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与 方程的根的联系(重点)．
课前预习
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预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
课前预习
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续 的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标， 也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函 数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题， 这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
课前预习
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题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
课前预习
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题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝ －3116<0， 所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
高一数学人教A版必修1自我小测：3.1.1方程的根与函数的零点
自我小测1.已知函数f(x)=-21x 2-3x-25.（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标；（2）求函数的单调区间、最值和零点；（3）设图象与x 轴相交于(x 1,0)、(x 2,0)，不求出根，求|x 1-x 2|；（4）已知f(-27)=815，不计算函数值，求f(-25); （5）不计算函数值，试比较f(-41)与f(-415)的大小；（6）写出使函数值为负数的自变量x 的集合.思路解析：讨论二次函数的性质一般要明确其图象的开口方向、对称轴、顶点、与x 轴的交点，求顶点可以用配方法，也可以直接用顶点公式(-a b 2,a b ac 442-)，求与x 轴的交点可借助配方法或直接使用求根公式x=aac b b 242-±-(b 2-4ac ≥0).画函数图象时，一般要标注对称轴、顶点、与x 轴的交点.下面我们选用配方法解答本题. 解：y=-21x 2-3x-25 =-21 (x 2+6x+5) =-21(x 2+6x+9-9+5) =-21［(x+3)2-4］ =-21(x+3)2+2. 令y=0，得(x+3)2=4. ∴x 1=-5,x 2=-1.（1）开口向下，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3,2)，与x 轴的交点为(-5,0),(-1,0).（2）单调增区间为(-∞,-3)，单调减区间为(-3,+∞)，有最大值为2，无最小值，零点为-5，-1.（3）x 1、x 2是方程-21x 2-3x-25=0，即方程x 2+6x+5=0的两个根，由根与系数的关系得x 1+x 2=-6,x 1x 2=5.∴|x 1-x 2|=.454)6(4)(221221=⨯--=-+x x x x（4）∵对称轴x=-3，∴f(-3+x)=f(-3-x).∴f(-25)=f(-3+21)=f(-3-21)=f(-27)=815. （5）f(-415)=f(-3-43)=f(-3+43)=f(-49)， ∵-41、-49∈(-3,+∞)，而f(x)在(-3,+∞)上是减函数，且-41>-49，∴f(-41)<f(-49)，即f(-41)<f(-415).（6）{x|x<-5或x>-1}.2.利用函数的图象，指出函数f （x ）=2x ·ln （x-2）-3零点所在的大致区间. 思路解析：首先对x 取值来寻找y 值的符号，然后判断零点所在的大致区间.由上表和上图可知，该函数零点的大致区间为[3,4].5．m 的取值范围为________时，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1.6．函数f (x )＝－x 2－3x ＋5的正零点所在的大致区间为________． 7．判断函数f (x )＝e x －5零点的个数．8．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．9 若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．参考答案1答案：B解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，212x =， 所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1. 2答案：C解析：函数有二重零点，即方程x 2－bx ＋1＝0有两个相等实根， ∴0∆=，即240b ∆=-=， ∴b 2＝4，b ＝±2. 3答案：A 解析：设1()()10xf x x =-， 则f (0)＝1＞0，12111()()02102f =-=<， 1(1)1010f =-<，21(2)()2010f =-<， 显然只有1(0)()02f f ⋅<，选A.4答案：C 解析：若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数， 由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．5答案：m -<解析：用数形结合的方法解题．设f (x )＝x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ，则它的开口向上，由图象可得，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于221(1)1(13)120f m m m m ⇔=-+++=-<.解得m -<<6答案：(1,2)解析：222929329()35(3)()4424f x x x x x x =--+=-+++=-++. 所以函数在(－∞，32-]上是增函数，在[32-，＋∞)上是减函数．又因为f (1)＝－1－3＋5＝1＞0，f (2)＝－4－6＋5＝－5＜0，即f (1)·f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上有零点． 7解：方法一：f (0)＝－4＜0， f (3)＝e 3－5＞0， ∴f (0)·f (3)＜0.又∵f (x )＝e x －5在R 上是增函数，∴函数f (x )＝e x －5的零点仅有一个．方法二：令y 1＝e x ，y 2＝5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f (x )＝e x－5的零点仅有一个．8解：设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴(0)0,(1)0,(2)0,f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即210,12210,424210,k k k k k ->⎧⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩∴1223k <<. 9解：令f (x )＝x 2＋mx ＋m －1，其图象的对称轴为2mx =-. 因为方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，则函数f (x )有两个零点x 1，x 2.由题意不妨设x 1＞0，x 2＜0，且|x 2|＞|x 1|， 画出函数f (x )的图象如图所示， 由题意可得：(0)010002f m m m <⎧-<⎧⎪⇒⎨⎨>-<⎩⎪⎩ 01m ⇒<<.即所求m 的取值范围为(0,1)．。
高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。
二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。
b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。
②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。
探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。
②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。
你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。
（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。
人教A版数学必修一教案：§3.1.1方程的根与函数的零点
第三章 函数的应用一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业 1课时小结 1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
新疆和硕县高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1
观察，思考教师在处理问题的思维，并记忆格式。
在黑板上板演的过程，就是给学生讲解思维，渗透数学思想的过程，并训练学生的解题思路及写题过程。
随堂练习与学生展示
小组讨论解决问题，并在黑板上展示。
用所学的知识解决问题，增强学生的自信心。培养学生学习数学的兴趣。
点评与课堂小结
小组讨论，尝试自己小结
这一环节培养学生自学能力和归纳总结的能力。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3. 1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。
教师活动
学生活动
设计意图
目标解读
学生仔细聆听，分析教师解读的学习目标，从而确定本节课的目标。
为学生确立目标，带着目标学习会起到更好的效果。
预习反馈
观看ppt
展示预习优秀的同学为学生树立榜样。使得学生进步
知识梳理
跟随教师的思维，感受知识概念的产生过程。
通过对知识进行，简介有效的梳理，让学生学到的新知识在脑海中形成体系。
恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器。
作业布置
人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
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(
A
)
4.（解答题）若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有 一个零点，求实数a的取值范围．
4.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求 实数a的取值范围． 【解析】 （1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点为 -1∉（0，1），所以a≠0； （2）当a≠0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）内 恰有一解，即二次函数函数f（x）=ax2-x-1在（0， 1）内恰有一个零点，所以f（0）•f（1）＜0，
O 1234
y=－2x+6
y 6
y=lnx
x
问题6.
利用函数的图像，指出函数f x x3 3x 5 的零点所在的大致区间
解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
.
y
.5 4 .
3 2
1
－1
.
1 2 3
0
x
.
零点的求法（2）
图像法
问题7.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3 .
－1
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
y
2
.
－1 －2
.
1
0
1
2
.
.
x
3 2 1
－1
3
.
5 4
.
1
.
.
－3 －4
.
0
2
3
x
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
课堂练习
1.在二次函数
数为（ B ） Ａ. １ 2.若 Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ.不存在
中，ac<0,则其零点的个
不是常数函数且最小值为１，则
的零点个数（ D ） Ａ. ０ Ｂ. １ Ｃ.０或１ Ｄ.不确定
３.已知函数
是定义域为Ｒ的奇函数，且
在
Ａ.３
上有一个零点，则
Ｂ.２ Ｃ.１
的零点个数为
Ｄ.不确定
等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习
求下列函数的零点
1 f x x 2 5 x 14 2 f x x 2 2 x 1 3 f x l g x 1
零点的求法（1）
代数法
结论： 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 c a, b 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。
y
y
b x
0 a
0 a y
b
x
y
0a
b
x
0a
b
x
思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续 不断的曲线，若函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定 能得出f(a)· f(b)<0的结论吗？
x1=x2=1
(1,0)
无实数根 无交点
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的 一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的 关系，上述结论是否仍然成立？
判别式△ =b2－4ac 方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象 △＞0 两个不相等 的实数根x1 、x2
y y
x1 0 x2
△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
△＜0 没有实数根
yx0 x1 Nhomakorabeax
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函 数y=f(x)的零点. 零点指的是一个实数，不是一个点
2 y ax bx c(a 0) 我们知道，令一个一元二次函数
的函数值y＝0，则得到一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
问题1： 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二 次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
5 1 m 6 2
问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解:由题意得:f(2)<0 即6m+5<0 解得:
m 5 6
问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 解:由题意得:
.
∴
5 1 m 6 2
问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解:由题意得:f(0)f(2)<0 即(2m+1)(6m+5)<0 解得:
y
0
a
bb b
bb
bb
b b bb x
b
结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点
f(b)<0。 f(a)·
思考2：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连续的 单调函数, 并且在闭区间的两个端点上的函数值互 异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个函数在(a,b)内的零点 个数能确定吗？ 有且只有一个
f(x)在区间(2,3)内有零点． 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数，所 以它仅有一个零点．
10 8 6 4 2 O 123456 -2 -4
f(x)=lnx+2x－6
x
思考：还有没有其他方法？
方法二： 即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的 个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数. 如图可知，只有一个交点， 即方程只有一根，函数 f(x)只有一个零点. 函数 零点 方程 的根 图象 交点 转化
-2和7 1 2
问题探究
观察函数的图像 图像是连续还是间断的？
< 0( 或 ) 1 f a f b 有 （有或无）零点 在区间 a, b 内 < 0( 或 ) 2 f b f c 有 在区间 b, c 内 （有或无）零点 0( 或 ) 3 f c f d < 有 （有或无）零点 在区间 c, d 内
f ( 0 ) 0, f (1) 0, 0, 0 m 1
1 m , 2 m 1 , 2 m 1 2或m 1 2 , 1 m 0.
1 解得: m 1 2 2
即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．
故a的取值范围为（2，+∞）．
三个等价关系 方程有实根 函数的图象与x 轴有交点 函数有零点 零点 零点的存在性定理 零点的求法 代数法
图象法
布置作业：
习题3.1 Ａ组 第2题
补充作业： 1、求下列函数的零点：、
(1)y=-x2+6x+7；
谢 谢， 再 见！
问题5：.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.
解： 方法一 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；
x
f(x)
1 -4
2
3
4
5
6
7.79
7
8
9
-1.3 1.09 3.38 5.6
9.94 12.07 14.1
y
由表可知f(2)<0，f(3)>0，
从而f(2)·f(3)<0,∴函数
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得
1 m 2 f (0) 2m 1 0, f ( 1) 2 0, m R, 1 f ( 1 ) 4 m 2 0 , m , 2 f ( 2 ) 6 m 5 0 m 5 6
一种科学只有在成功地运用数学时 ,才算达到完善的地步 数缺形时少直观，形少数时难入微， , 才算达到完善的地步 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ 数形结合百般好，隔离分家万事休， 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞 ？ 数形结合百般好，隔离分家万事休， 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离