离散数学
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散的数学定义
离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。
以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。
集合论研究集合之间的关系、运算和性质。
2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。
3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。
4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。
离散数学研究这些结构的性质和应用。
5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。
6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。
7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。
总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。
离散数学命题符号
离散数学命题符号一、离散数学命题符号的定义在离散数学中，命题是一个陈述句，可以判断为真或为假。
为了准确地表示命题，在离散数学中引入了命题符号。
命题符号主要用于表示命题的逻辑关系，以及对命题的运算。
1. 命题变量和命题符号离散数学中，命题变量被表示为字母，常用的命题变量包括p、q、r等。
命题符号则用来表示对命题变量的操作和运算关系。
常用的命题符号包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、非（¬）等。
2. 逻辑连接词离散数学中，逻辑连接词用于将多个命题连接起来，形成复合命题。
常见的逻辑连接词有：- 逻辑与（∧）：表示两个命题都为真时，复合命题为真；否则为假。
- 逻辑或（∨）：表示两个命题至少一个为真时，复合命题为真；否则为假。
- 非（¬）：表示对命题的否定。
3. 命题符号的优先级为了保证命题的运算顺序和结果的准确性，在离散数学中，命题符号有一定的优先级。
常见的命题符号优先级从高到低依次为：- ¬（非）- ∧（逻辑与）- ∨（逻辑或）二、离散数学命题符号的应用1. 命题的合取和析取在离散数学中，逻辑与（∧）和逻辑或（∨）的运算被广泛应用于命题的合取和析取。
- 合取：当多个命题同时为真时，可以使用合取运算符（∧）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，合取命题p∧q表示“今天同时下雨并且天气阴沉”。
- 析取：当多个命题至少一个为真时，可以使用析取运算符（∨）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，析取命题p∨q表示“今天下雨或者天气阴沉”。
2. 命题的否定在离散数学中，非（¬）运算符常用于对命题的否定。
如果p为真，则¬p为假；如果p为假，则¬p为真。
例如，若p表示“今天下雨”，则¬p表示“今天不下雨”。
3. 命题的复合运算通过组合使用逻辑连接词和命题符号，可以对多个命题进行复合运算。
离散数学划分的定义
离散数学划分的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊离散数学里一个挺重要的概念——划分。
这玩意儿可有意思啦！
你可以把划分想象成是给一堆东西进行分组。
比如说，咱有一堆不同颜色的球，红的、蓝的、绿的等等，那我们就可以按照颜色把它们分成不同的组，这就是一种划分。
在离散数学里，划分是对一个集合进行的操作哦。
它是把一个集合分成若干个互不相交的子集，而且这些子集合起来又能完全覆盖原来的集合。
这不就跟我们刚才分球是一个道理嘛！
比如说有个集合 A 包含了数字 1、2、3、4、5，那我们可以把它划分成{1,2}、{3,4}、{5}这几个子集。
你看，这些子集之间没有重复的元素，而且它们加起来就是集合 A 所有的元素啦。
划分可是有很多用处的哦！它能帮助我们更好地理解和处理一些复杂的问题呢。
就好像我们把一个大难题拆分成一个个小问题来解决，多轻松呀！
再举个例子吧，想象一个班级里的同学，我们可以按照性别来划分，分成男生组和女生组；也可以按照兴趣爱好来划分，比如喜欢音乐的一组，喜欢运动的一组等等。
这样是不是一下子就让班级的情况变得更清晰啦？
总之，划分在离散数学里真的是很重要的一个概念呀！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门呢！离散数学的世界丰富多彩，划分就是其中一颗闪亮的星星呀！。
离散数学基础
离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。
它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。
本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。
在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。
例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。
集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。
二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。
它研究的是推理和推断的规则。
逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。
逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。
利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。
图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。
四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。
代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。
代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。
五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。
概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。
在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。
六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。
例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。
离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。
它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。
高三离散数学知识点归纳
高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。
在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。
本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。
一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。
3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。
二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。
命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。
2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。
3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。
三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。
排列和组合分别具有不同的计算公式。
2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。
四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。
顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。
2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。
五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。
2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。
本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。
命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。
1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。
与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。
1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。
常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。
1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。
2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。
一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。
2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。
全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。
2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。
谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。
2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。
离散数学概述
1.计算学科的概念
攻关小组的结论是： 攻关小组的结论是：计算学科所研究的根本问 题是能行问题 什么能被（有效地）自动进行）。 能行问题（ 题是能行问题（什么能被（有效地）自动进行）。 计算学科的基本原理已纳入理论、抽象和设计这3 计算学科的基本原理已纳入理论、抽象和设计这 个具有科学技术方法意义的过程中。 个具有科学技术方法意义的过程中。学科的各分支 领域正是通过这3个过程来实现它们各自的目标 个过程来实现它们各自的目标。 领域正是通过这 个过程来实现它们各自的目标。 而这3个过程要解决的都是计算过程中的 个过程要解决的都是计算过程中的“ 而这 个过程要解决的都是计算过程中的“能行性 有效性”问题。 ”和“有效性”问题。这两个问题渗透在包括硬件 和软件在内的理论、方法、 和软件在内的理论、方法、技术的研究和应用的研 究和开发之中， 究和开发之中，且学科的方法论的主要理论基础 ――以离散数学为代表的构造性数学与能行性问题 以离散数学为代表的构造性数学与能行性问题 形成了天然的一致。 形成了天然的一致。
1.计算学科的概念
计算学科作为现代技术的标志， 计算学科作为现代技术的标志，已成为世界 各国经济增长的主要动力。 各国经济增长的主要动力。但如何认识这门 学科，它究竟属于理科还是工科， 学科，它究竟属于理科还是工科，属于科学 还是属于工程的范畴， 还是属于工程的范畴，这是困扰国内外计算 机科学界很长时间且争论不休的问题。 机科学界很长时间且争论不休的问题。 计算学科诞生于20世纪 年代初， 世纪40年代初 计算学科诞生于 世纪 年代初，它的理论 基础可以说在这之前就已经建立起来了。 基础可以说在这之前就已经建立起来了。正 是电子数字计算机的问世才促进这一门学科 的发展。 的发展。
1.计算学科的概念
世人一般公认1946年2月14日研制成功 年 月 日研制成功 世人一般公认 的ENIAC（电子数字积分器和计算器， （电子数字积分器和计算器， Electronic Numerical Integrator and Calculator）是世界上第一台通用电子数字 ） 计算机（事实上，早在1943年，英国数学家 计算机（事实上，早在 年 图灵领导制造出了一台名叫“巨人” 图灵领导制造出了一台名叫“巨人”（ Colossus）的电子计算机，它专门用于译 ）的电子计算机， 由于英国政府的保密制度， 码。由于英国政府的保密制度，故人们对它 的成就了解甚少）。美国的普渡大学于1962 ）。美国的普渡大学于 的成就了解甚少）。美国的普渡大学于 年开设了最早的计算机科学学位课程。 年开设了最早的计算机科学学位课程。
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第二章
關係式 (Relations)
2-0 簡介
• 若有元素a與b，兩者間存在某種關係R，即可以 式 “aRb” 表示之，此為關係式(Relations)。我們 曾熟悉的如 “等於(=)”、“大於(>)”、“因此(→)” 等均屬之。 • 關係式中也談集合(Sets)，於第一章 {a, b} = {b, a}，元素的先後次序並不影響集合的含義；但於 關係式中的集合 {a, b}≠{b, a}，除非 a = b，因其 先後次序代表著不同的含義。
• 設有一集合A = {O, P, Q, R}，其元素是由 集合O, P, Q, R組成。此時A是謂 “群集合 (Class of Sets)”；B = {O, P}是謂 “子群集 合 (SubClass或Subcollection)”。
1-9 含意 (Arguments) 與 范氐圖 (Venn Digrams)
1-1 集合與元素 (Sets and Elements)
• 所謂集合(Set)是謂 “有一定義完善的範圍 (well-defined List/Collection)，在範圍內包 涵適當數量之元素(Elements)”。 習慣上、 集合(Set) 以大寫字母表示(如A、B、 C、…)；元素(Elements) 以小寫字母表示 (如a、b、c、…) 。
3-2函數圖形(Graph of Function)
• 函數(Function) “f：A → B” 在函數圖形 (Graph of Function) 定義為：每一A的元素 a A、必配屬一組 序對(Ordered Pair) 關 係元(Relation) 如 (a, b)，且該關係元是唯 一的(Unique)。
2-1 積集合 (Product Sets)
• 於關係式、我們定義 “序對(Ordered Pairs)”，如 (a, b)，因內容之先後次序代表 著不同的含義。(a, b)≠(b, a)，除非 a = b。 • 積集合(Porduct Sets) 是定義兩組集合的關 係。
2-2 關係式 (Relations)
1-4 范氐圖 (Venn Diagrams)
• 范氐圖的功能、是將集合(Sets) 的意義借由 圖案(Pictorial Representation) 來表示。圖 案以矩形為邊緣範圍，矩形內所有之各點 均是孙集U的元素，在其範圍內的集合以圓 形(Disks)表示。
1-5 集合運算 (Set Operations)
• 2-1 積集合 (Product Sets) • 2-2 關係式 (Relations) • 2-3 關係式圖示 (Pictorial Representations of Relations) • 2-4 反逆關係式 (Inverse Relations) • 2-5 合成關係式 (Composition of Relations) • 2-6 關係式特性 (Properties of Relations) • 2-7 分割關係 (Partitions) • 2-8 等價關係 (Equivalence Relations) • 2-9 分割與等價關係 (Equivalence Relations and Partitions) • 2-10 n元關係元 (n-Ary Relations) • 2-11 習題
• • • • • • • • • • • • • • • • • • 1、等冪律(Idempotent Laws) (a) A∪A = A (b) A∩A = A 2、結合律(Associative Laws) (a) (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (b) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 3、交換律(Commutative Laws) (a) A∪B = B∪A (b) A∩B = B∩A 4、分配律(Distributive Laws) (a) A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C) (b) A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C) 5、統一律(Identity Laws) (a) A∪Ø = A (b) A∩U = A (c) A∪U = U (d) A∩Ø = Ø 6、對合律(Involution Law) (a) (Ac )c = A 7、餘補律(Complement Laws) (a) A∪Ac = U (b) A∩Ac = Ø (c) Uc = Ø (d) Øc = U 8、迪摩根律(DeMorgan’s Laws) (a) (A∪B)c = Ac∩Bc (b) (A∩B)c = Ac∪Bc
2-5合成關係式
(Composition of Relations)
• 合成關係式(Composition of Relations) 是 由數個關係元R、S、T 連串組合而成者， 以 “R。S。T” 表示之。
2-6關係式特性
(Properties of Relations)
• 本節介紹關係元(Relation) 常有的4種特性： (1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性 (Symmetric)、(3) 反對稱性(AntiSymmetric)、(4) 遞移性(Transitive)。
函數 (Function)
• 3-0 簡介 • 在數學應用上、函數(Function) 扮演了很重 要的觀念，猶如是一個工作機制 (Assingnment)，輸入不同的參數，產生並 輸出對應的結果。因而、輸入的參數與輸 出的結果就圍繞著函數(Fuction) 產生了許 多有用的數學觀念與應用方法。於本章、 我們將研討函數的基本特性。
1-2 孙集 (Universal Set) 與 空集合 (Empty Set)
• 在合乎集合(Sets)之定義下，若所有的集合 元素、均是某一大集合的元素，則該某大 集合是謂 孙集(Universal Set)。如People 可稱為全世界人類的孙集。通常習慣以U為 孙集之代表名稱。 • 如果有一集合，其中無任何元素，則該集 合是謂 空集合(Empty Set / Null Set)。通常 習慣以Ø為 空集合之代表名稱。
• 有些語言詞藻複雜，往往無法清晰地陳述 含意，本節介紹如何將一串複雜難懂的陳 述，以集合架構的范氐圖清礎點出要點含 意。
1-10 數學歸納推演 (Mathematical Induction)
• 無論是在邏輯問題上、或是在數學驗證上， 我們常遭逢一些繁雜的陳述及數據，讀者 都有經驗，當碰到這些問題時，直感頭痛 又不知如何是好。本節介紹歸納推演法 (Induction)，可協助解決部份問題。
1-3 子集合 (Subsets)
• 設有集合A、與集合B，如果集合A的所有 元素、亦是集合B的元素，則集合A是集合 B之子集合。其關係式 (Relationship) 為： A B。 • 如果集合A的元素中、有任何一個不是集合 B的元素，則集合A將不是集合B之子集合。 其關係式 (Relationship) 為： A B。
1-7 有限集合 (Finite Sets)
• 如果集合A有m個元素，其中m為正整數， 則集合A謂 “有限集合(Finite Set)”。例如A = {x: x is a letter of English alphabet}、或 空集合Ø = { } 均是有限集合(Finite Sets)。
1-8 群集合(Classes of Sets)
• • • • • • • •
1-1 集合與元素 (Sets and Elements) 1-2 孙集 (Universal Set) 與 空集合 (Empty Set) 1-3 子集合 (Subsets) 1-4 范氐圖 (Venn Diagrams) 1-5 集合運算 (Set Operations) 1-6 集合代數定律 (Laws of the Algebra of Sets) 1-7 有限集合 (Finite Sets) 1-8 群集合(Classes of Sets) 與 冪次集合 (Power Sets) • 1-9 含意 (Arguments) 與 范氐圖 (Venn Digrams) • 1-10 數學歸納推演 (Mathematical Induction) • 1-11 習題
• 設有集合A與B，另有 二元關係(Binary Relation) R，R之元素均是A × B 的子集合 (Subset)，如果 (x, y) R，則謂 “x以R關 係於y”，即 xRy。2-3 Nhomakorabea係式圖示
(Pictorial Representations of Relations)
• 一般來言，我們可以4種圖示方式來表達關 係式：(1) 關係式座標圖示(Coordinate Diagram of Relation)、(2) 關係式矩陣圖示 (Matrix of Relation)、(3) 關係式配對圖示 (Arrow Diagram of Relation)、(4) 關係式有 向圖示(Direct Graph of Relation)。
• • • •
3-1 函數定義 (Functions) 3-2 函數圖形(Graph of Function) 3-3 函數圖形特性(Properties of Functions) 3-4 習題
3-1 函數定義 (Functions)
• 設有集合A、與B、及工作機制(Work Assignment) W。將A的某一元素a輸入W， 若W因此而產生一個對應結果b、其中b B， 如此過程是謂 “A映至B之函數(Function from A into B)”，可表示如： • f： A → B
(Equivalence Relations) • 設有集合A，如果其關係元R可同時滿足 (1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性(Symmetric)、 (3) 遞移性(Transitive)，則R為等價關係元 (Equivalence Relation)。
2-9 分割與等價關係
(Equivalence Relations and Partitions) • 定理(Theorem) 2-9： 設有集合A，令R為 其等價關係元(Equivalence Relation)，則 “等價關係族(Equivalence Classes)” 有下 列特性： • (Ⅰ) a [a]、其中a為A的元素，即 a A。 • (Ⅱ) [a] = [b]、若且唯若(if and only if) (a, b) R。 • Ⅲ) 如果 [a]≠[b]、則 [a] 與 [b] 無交集。