Graph Theory离散数学、图论、双语
常用离散数学名词中英文对照
常用离散数学名词中英文对照集合：set元素：element严格定义:well defined成员:member外延原理:principle of extension 泛集(全集):universal set空集:empty set(null set)子集:subset文氏图:venn diagram并:union交:intersection相对补集:relative complement 绝对补集:absolute complement 补集:complement对偶性:duality幂等律:idempotent laws组合律:associative laws交换律:commutative laws分配律:distributive laws同一律:identity laws对合律:involution laws求补律:complement laws对偶原理:principle of duality 有限集:finite set计算原理:counting principle 类:class幂集:power set子类:subclass子集合:subcollection命题:proposition命题计算:proposition calculus 语句:statement复合:compound子语句:substatement合取:conjunction析取:disjuction否定:negation真值表:truth table重言式:tautology有界格:bounded lattice分配格:distributeve lattice补格:complemented lattice表示定理:representation theorem 象:image自变量:independent variable因变量:dependent variable函数图象:graph of a function合成函数:composition function可逆函数:invertible function一一对应:one to one correspondence 内射:injective满射:surjective双射:bijective基数度:cardinality基数:cardinal number图论:graph theory多重图:multigraphy顶点:vertix(point,node)无序对:unordered pair边:edge相邻的adjacent端点:endpoint多重边:multiple edge环:loop子图:subgraph生成子图:generated subgraph平凡图:trivial graph入射:incident孤立点:isolated vertex连通性:connectivity通路:walk长度:length简单通路:chain(trail)圈:path回路:cycle连通的:connected连通分支:connected component距离:distance欧拉图:eulerian graph欧拉链路:eulerian trail哈密顿图:hamilton graph。
graphtheory图论
算
(G) = min{d(v)| v∈V(G) }
机 称，分别为G的最大度和最小度。
科
在有向图D中，可类似定义 ⊿(D)、(G)。另外，令 ⊿ +(G) = max{d+(v)| v∈V(D) }
学
+(G) = min{d+(v)| v∈V(D) }
系
⊿ -(G) = max{d-(v)| v∈V(D) }
范 (1) d(b), ⊿ , . 学 (2) d+(v3), d-(v3), ⊿, , ⊿ +, + , ⊿ - , - .
院 解：(1) 6, 6 , 2 .
计
(2) 3, 2, 5, 3, 3, 1 , 3 , 1 .
算
机
a
科
(1)
d
学
(2)
系
c
b
12
第七章 图的基本概念
衡 零星定义1
机 为ek的端点，若vi=vj，则称ek为D中的环。
科
在图中无关联边的顶点称为孤立点。
学
系
6
第七章 图的基本概念
衡 与图有关的概念和规定
阳 定义7.4 设G=<V,E>为无向图，vi,vj∈V,
师 范 学 院 计 算 机
ek,el∈E,若 et∈E,使得et=(vi,vj)，则称vi与vj 是相邻的.若ek与el至少有一个公共端点，则称 ek与el 是相邻的。
。v2
阳 师
e1
计
算 设A，B为任意的两个集合，称
机
{{a,b}|a∈A∧b∈B}
科
为A与B的无序积，记作A&B.
学
系
元素可以重复出现的集合称为多 重集合，某个元素重复出现的次 数称为该元素的重复度。例如在
离散数学大一上知识点总结
离散数学大一上知识点总结离散数学是计算机科学和数学专业中一门重要的基础课程，它主要研究离散的数学结构和离散对象。
在大一上学期的学习中，我们学习了一些离散数学的基础知识和概念。
本文将对这些知识点进行总结和归纳。
1. 集合论(Set Theory)- 集合的定义和表示方法；- 子集、并集、交集和补集的运算；- 集合的基本运算规则；- 集合的基数和幂集；2. 命题逻辑(Propositional Logic)- 命题和命题变量；- 逻辑运算符（非、与、或、异或、蕴含、等价）；- 真值表和逻辑等价性；- 合取范式和析取范式；3. 谓词逻辑(Predicate Logic)- 谓词逻辑的基本概念；- 量词（全称量词和存在量词）；- 代入实例和量化顺序；- 合取与析取的关系；4. 图论(Graph Theory)- 图的基本概念（顶点、边、路径、环）；- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）；- 图的遍历算法（深度优先遍历、广度优先遍历）；- 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）；5. 关系(Relations)- 关系的定义和表示方法；- 关系的性质（自反性、对称性、传递性）；- 等价关系和偏序关系；- 关系的闭包和传递闭包；6. 函数(Function)- 函数的定义和表示方法； - 单射、满射和双射的概念； - 函数的复合和反函数；- 函数的性质和分类；7. 计数(Counting)- 排列和组合的概念；- 基本计数原理和乘法原理； - 集合的幂级数；- 分配原理和容斥原理；8. 递归(Recursion)- 递归的定义和特性；- 递归关系的建立和求解； - 递归算法的设计和分析；- 递归的应用领域；9. 张量(Tensor)- 张量的定义和表示方法；- 张量的运算规则；- 张量的秩和余秩；- 张量的应用领域；10. 图的着色(Graph Coloring)- 图的着色问题的基本概念；- 色数和固定点数的关系；- 图的可着色性定理；- 图的四色定理及其证明；总结：离散数学作为计算机科学和数学领域的重要基础课程，涵盖了集合论、逻辑、图论、关系、函数、计数、递归、张量和图的着色等多个知识点。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
计算机844考研科目
计算机844考研科目计算机科学与技术（Computer Science and Technology）是计算机科学与技术专业考研的一个重要科目，主要包括以下内容：1. 离散数学与图论（Discrete Mathematics and Graph Theory）：包括图论、逻辑、集合论、代数结构和离散概率等内容。
2. 数据结构与算法分析（Data Structures and Algorithm Analysis）：包括树、图、排序算法、查找算法、动态规划等内容。
3. 计算机组成原理（Computer Organization and Architecture）：包括数字系统、计算机组成、指令集、存储系统、输入输出等内容。
4. 操作系统（Operating System）：包括进程管理、内存管理、文件系统、设备管理等内容。
5. 数据库原理与应用（Database Principles and Applications）：包括数据库设计、关系数据库模型、SQL语言、数据库管理系统等内容。
6. 编程语言原理与编译技术（Principles of Programming Languages and Compiler Technology）：包括编程语言的语法、语义、编译器的构造原理与技术等内容。
7. 计算机网络（Computer Networks）：包括OSI模型、传输层协议、网络层协议、应用层协议等内容。
8. 软件工程（Software Engineering）：包括软件开发方法学、需求工程、软件测试、软件工程管理等内容。
除了以上科目外，还可能包括数值分析、人工智能、计算机视觉、计算机图形学等内容，具体考试科目会根据不同学校和专业的设置而有所差异。
大一离散数学知识点总结笔记
大一离散数学知识点总结笔记离散数学是计算机科学和信息技术等领域的基础学科，它主要研究离散对象以及离散结构及其关系。
以下是本文对大一离散数学的知识点总结。
1. 集合论（Set Theory）- 集合的定义和表示方法- 集合间的运算：并、交、差、对称差- 集合的基本性质：幂集、空集、全集- 集合的相等和包含关系- 集合的基数和无穷集合2. 命题逻辑（Propositional Logic）- 命题的定义和符号表示- 命题的逻辑运算：非、合取、析取、条件、双条件- 命题之间的等价和蕴含关系3. 谓词逻辑（Predicate Logic）- 一阶逻辑的基本概念：谓词、量词、项、公式 - 一阶逻辑的语义：解释、真值- 一阶逻辑的语法：公式的语法规则- 命题逻辑与谓词逻辑的比较4. 证明方法与技巧（Proof Methods and Techniques） - 直接证明与间接证明- 分情况讨论和归纳法- 反证法和递归法- 等价变换和代入法5. 计数原理（Counting Principles）- 乘法原理和加法原理- 排列和组合：全排列、循环排列、组合数- 二项式系数和三角形数- 鸽笼原理和抽屉原理6. 图论（Graph Theory）- 图的基本概念：顶点、边、路径、环- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接链表- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法7. 关系代数与关系数据库（Relational Algebra and Relational Databases）- 关系代数的基本运算：选择、投影、并、差、笛卡尔积- 关系数据库的基本概念：关系模型、关系实例、关系模式 - 关系数据库查询语言：结构化查询语言（SQL）- 范式理论和函数依赖8. 有限状态自动机（Finite State Automata）- 自动机的定义和表示：状态、转移函数、初始状态、接受状态- 有限状态自动机的类型：确定性有限状态自动机（DFA）、非确定性有限状态自动机（NFA）- 正则表达式与有限状态自动机的等价性- 有限状态自动机的应用：词法分析、编译原理以上是大一离散数学的主要知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
GRAPH THEORY 图论
一筆畫問題 (Euler Tour)
哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題
一筆畫問題 (Euler Tour)
中國郵路問題
可以一筆畫
不能一筆畫
更複雜的一筆畫問題
哈密頓（Hamilton）環遊世界問題
如何一次歷遍二十個城市 而不重覆？
這是一個NP Complete的問題
References
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
一些基本的圖形
Graph (無向圖) Digraph (有向圖)
loop
Multigraph (多圖)
Pseudograph
loop
Path and Cycle
路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列， 其中的點兩兩不相同 迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑
E.g.
路徑P=fdabce 迴圈C=abca
The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念
生活中的一些例子
台大網路架構圖
一些特殊的圖
完整的圖 Complete graphs
任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以 Kn 來表示，n為點數，邊數為 n C 2
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第三十二页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
的入度， 记d为 ( v ) ;以v为始点的边数称为结点v 的出 度， 记为 d ( v ) 。结点v的入度与出度之和称为结点v
的度数，记为 d(v)或deg(v)。
第二十四页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
定义: 在无向图中，图中结点(jié diǎn)v所关联 的边数(有环时计算两次)称为结点(jié diǎn)v 的度 数，记为d(v)或deg(v) 。
图 10 .1. 4
第十五页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点(jié diǎn)都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点(jiédiǎn)的无向完全图记为Kn。
图10.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。 容易证明Kn有
1.图的定义(dìngyì) 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些 点和一些连接两点间的连线所组成。 【例10.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛(bǐsài)。 为了表示４个队之间比赛(bǐsài)的情况， 我们作出图10.1.1 的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之 为结点。如果两队进行过比赛(bǐsài)，则在表示该队的两个 结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图 形使各队之间的比赛(bǐsài)情况一目了然。
第三页，共237页。
第10章 图论(Graph Theory )
10.1 图的基本概念
如果图 10.1.1中的４个结 点a， b， c， d分别 (fēnbié)表示４个人，当 某两个人互相认识时， 则将其对应点之间用边连 接起来。 这时的图又反 映了这４个人之间的认识 关系。
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Ch1-9 Copyright 黃鈴玲
order and size
The number of vertices in a graph G is called its order (denoted by |V(G)| ). The number of edges is its size (denoted by |E(G)| ). Proposition 1: p If |V(G)| = p and |E(G)| = q, then q 2 A graph of order p and size q is called a (p, q) graph.
(連線表示認識)
Tom
Dick
Q: 圖中是否有一個通過 所有點的cycle? (Ch8 Hamiltonian graph)
Harry
Sue
Linda
Ch1-11 Copyright 黃鈴玲
Application of graphs
動物園要用圍牆劃分區域，避免同區的動物互相捕食， 至少需分多少區？
V(G) : vertex set of G (只有一個 G 時常簡寫為 V) E(G) : edge set of G (只有一個 G 時常簡寫為 E) 常見的 edge 表示法: {u, v} = {v, u} = uv (or vu) 當邊有方向性時稱 G 為 directed graph (digraph)
(Ch6 Matching)
A
B
C
D
Ans: No
Ch1-5 Copyright 黃鈴玲
Definition of a graph
A graph G is a finite nonempty set V(G) of vertices (also called nodes, 點) and a (possibly empty) set E(G) of 2-element subsets of V(G) called edges (or lines, 邊).
Ch1-10 Copyright 黃鈴玲
Application of graphs
一群人間兩兩互相認識或不認識(i.e., 沒有A認識B但 B不認識A的情形)，在安排一張圓桌的晚餐座位時， 是否存在一種排法能讓坐在一起的人都相互認識？ eg. Tom, Dick know Sue, Linda. Harry knows Dick and Linda. acquaintance graph:
Ch1-6 Copyright 黃鈴玲
Example
A graph G=(V,E), where V={u, v, w, x, y, z} E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}} E={uv, uw, wx, xy, xz} v u G 的 diagram 表示法: w
A D E B
eg. Animals: A, B, C, D, E AC 不能與 BD 同區， E不能與其他動物同區
Q: 將圖形的點著色 (一色表示一區)， 若相鄰兩點需塗不同色， 最少需多少顏色才夠？ Ans: 3 色 3 區 (Ch 10 Graph Coloring)
An elementary example of graphs
4 students: A, B, C, D 4 positions: FF, SC, W, BS
四人各有喜好的工作：(如下圖，連線表示有興趣)
FF SC W BS
Q: Can all four students find jobs they like?
Ch1-8 Copyright 黃鈴玲
Graphs types
loop multiedges, parallel edges
undirected graph:
• (simple) graph: loop (), multiedge () • multigraph: loop (), multiedge () • Pseudograph: loop (), multiedge ()
Graph Theory
Chapter 1 An Introduction to Graphs
大葉大學 資訊工程系 黃鈴玲
Outline
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 What is a graph? The Degree of a Vertex Isomorphic Graphs Subgraphs Degree Sequences Connected Graphs Cut-Vertices and Bridges Special graphs Digraphs
z
x
y
Ch1-7 Copyright 黃鈴玲
Adjacent and Incident
u, v : vertices of a graph G
e u v
u and v are adjacent in G if uv E(G) ( u is adjacent to v, v is adjacent to u) e=uv (e joins u and v) (e is incident with u, e is incident with v)
Kö nigsberg Bridge Problem
C
A
D
B Q: 是否存在一種走法，可以走過每條邊一次，並回 到起點？
Ans:
因為每次經過一個點，都需要從一條邊進入該點，再用另 一條邊離開，所以經過每個點一次要使用掉一對邊。 每個點上連接的邊數必須是偶數才行 此種走法不存在
Ch1-4 Copyright 黃鈴玲
Ch1-2 Copyright 黃鈴玲
Graplved the Königsberg Bridge Problem (七橋問題) Q: 是否存在一 種走法，可以走 過每座橋一次， 並回到起點？
(Ch7 Euler graph)
Ch1-3 Copyright 黃鈴玲