2017年北京市西城区高三文科上学期数学期末试卷
北京市西城区2017届高三一模考试数学文试题 含答案 精
西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x =的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n '''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分] π)6A =+． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分] 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP D F ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。
北京市西城区高三数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）2．下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx3．设M是△ABC所在平面内一点，且，则=（）A．B．C．D．4．设命题p：“若e x＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为真命题C．“￢p”为真命题D．以上都不对5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．6．mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．8．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ．10．若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣3=0上，则实数p= ；抛物线C的准线方程为．11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5，3.5）内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5，1.5），[1.5，2.5），[2.5，3.5）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有人．12．已知函数f（x）的部分图象如图所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），则实数t的值为．（写过程）13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC= ；△ABC的面积为．14．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．①该食品在8℃的保鲜时间是小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间．（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知数列{a n}是等比数列，并且a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a2n，记S n为数列{b n}的前n项和，证明：．16．已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈（0，π），求函数f（x）的单调增区间．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积．18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙7 9 x y（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x+y的值；（Ⅱ）如果x=6，y=10，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a≥b的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1，P2，记直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．20．已知函数，直线l：y=kx﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．2015-2016学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由A与B的交集为B，得到B为A的子集，由A与B，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A，∵A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=|x|是偶函数，值域为[0，+∞）．故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题．3．设M是△ABC所在平面内一点，且，则=（）A．B．C．D．【考点】相等向量与相反向量．【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出M为AB的中点，从而求出的值．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC所在平面内一点，且，∴M为AB的中点，∴=（+）．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题目．4．设命题p：“若e x＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为真命题C．“￢p”为真命题D．以上都不对【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：“若e x＞1，则x＞0”是真命题，命题q：“若a＞b，则”是假命题，如：a=1，b=﹣1，故“p∨q”为真命题，故选：B．【点评】本题考察了复合命题的判断，是一道基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．6．mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况加以讨论，可得mn＜0时，方程=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．反之当方程=1表示实轴在x轴上的双曲线时，必定有mn＜0．由此结合充要条件的定义，即可得到本题答案．【解答】解：当mn＜0时，分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况①当m＜0、n＞0时，方程=1表示焦点在y轴上的双曲线；②当m＞0、n＜0时，方程=1表示焦点在x轴上的双曲线因此，mn＜0时，方程=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．而方程=1表示实轴在x轴上的双曲线时，m＞0、n＜0，必定有mn＜0由此可得：mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件故选：B【点评】本题给出两个条件，判断方程表示焦点在x轴上双曲线的充要条件．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、充要条件的判断等知识，属于中档题．7．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m 的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．【考点】程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞4时，所收费用y的表达式，化简可得答案．【解答】解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，难度中档．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ﹣1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣3=0上，则实数p= 6 ；抛物线C的准线方程为x=﹣3 ．【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；规律型；函数思想；解题方法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求出p，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：直线x+y﹣3=0，当y=0时，x=3，抛物线的焦点坐标为（3，0），可得p=6，抛物线的标准方程为：y2=12x，它的准线方程为：x=﹣3．故答案为：6；x=﹣3．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力．11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5，3.5）内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5，1.5），[1.5，2.5），[2.5，3.5）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有9 人．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据频率之和为1，求出a的值，再根据分层抽样求出完成作业的时间小于2.5个小时的人数．【解答】解：由于（a+0.4+0.1）×1=1，解得a=0.5，完成作业的时间小于2.5个小时的有（0.4+0.5）×10=9人，故答案为：9．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题12．已知函数f（x）的部分图象如图所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），则实数t的值为﹣1 ．（写过程）【考点】函数的图象．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据图象的平移即可得到t的值．【解答】解：由图象可知，﹣2＜f（x）＜4的解集为（0，3），不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），∴y=f（x+t）的图象是由y=f（x）的图象向右平移1个单位得到的，∴t=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了图象的平移和图象的识别，属于基础题．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC= ；△ABC的面积为2．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；综合法；三角函数的求值；解三角形．【分析】由=sinB，a=3，c=2，得b=a=3，由此能求出cosC，从而得到sinC，进而能求出△ABC的面积．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．∵=sinB，a=3，c=2，∴b=a=3，∴cosC====，∴sinC==，∴△ABC的面积S===2．故答案为：，．【点评】本题考查三角形中角的余弦值和三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、三角函数诱导公式的合理运用．14．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．①该食品在8℃的保鲜时间是 4 小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间是．（填“是”或“否”）【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】①根据4℃的保鲜时间是16小时求出k，将x=8代入函数解析式求出．②计算温度为12℃的保鲜时间，可发现【解答】解：①∵食品在4℃的保鲜时间是16小时，∴24k+6=16，解得k=﹣．∴t（8）=2﹣4+6=4；②由图象可知在12时，温度为12℃，此时该食品的保鲜期为20=1小时．∴到13时，该食品已过保质期．故答案为4，是．【点评】本题考查了函数图象的意义与图象变化，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知数列{a n}是等比数列，并且a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a2n，记S n为数列{b n}的前n项和，证明：．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1，a2+1，a3是公差为﹣3的等差数列，∴，即，解得．∴．（Ⅱ）证明：∵，∴数列{b n}是以b1=a2=4为首项，为公比的等比数列．∴=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈（0，π），求函数f（x）的单调增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．【解答】（Ⅰ）解：===，所以函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）解：由，k∈Z，求得，所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．所以当x∈（0，π）时，f（x）的增区间为，．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．得到EF⊥AC．证明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，即可证明MF∥平面PAB，同理EF∥平面PAB．然后证明平面MEF∥平面PAB，得到ME∥平面PAB．（Ⅲ）证明MN⊥底面ABCD，然后求解四棱锥M﹣ECDF的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…（1分）因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…（2分）又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…（3分）又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（5分）（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…（7分）同理，得EF∥平面PAB．又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，所以平面MEF∥平面PAB．…（9分）又因为ME⊂平面MEF，所以ME∥平面PAB．…（10分）（Ⅲ）解：在△PAD中，过M作MN∥P A交AD于点N（图略），由，得，又因为PA=6，所以MN=4，…（12分）因为PA⊥底面ABCD，所以MN⊥底面ABCD，所以四棱锥M﹣ECDF的体积．…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙7 9 x y（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x+y的值；（Ⅱ）如果x=6，y=10，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求a≥b的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意，得x+y＞14，x，y中至少有一个小于6，x+y≤15，由此能求出x+y的值．（Ⅱ）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a≥b”为事件M，记甲的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10，利用列举法能求出a≥b的概率．（Ⅲ）由题设条件能求出x的可能取值为6，7，8．【解答】（Ⅰ）解：由题意，得，即x+y＞14．…（2分）因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于（6分）的概率不为零，所以x，y中至少有一个小于6，…（4分）又因为x≤10，y≤10，且x，y∈N，所以x+y≤15，所以x+y=15．…（5分）（Ⅱ）解：设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a≥b”为事件M，…（6分）记甲的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10．则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）．…（7分）而事件M的结果有8种，它们是：（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），…（8分）因此a≥b的概率．…（10分）（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8．…（13分）【点评】本题考查代数式和的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1，P2，记直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…（2分）又因为点在椭圆C上，所以，…（3分）解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，易得直线OP1，OP2的斜率之积．…（6分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…（7分）由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…（8分）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1．…（9分）由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣5=0，…（10分）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…（11分）所以=，…（13分）将m2=4k2+1代入上式，得．综上，k1•k2为定值．…（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20．已知函数，直线l：y=kx﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；解题思想；转化思想；解题方法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）定义域，求导，令f′（x）=0，解得x=1．利用导函数的符号，判断函数的单调性，求出函数的极值，（Ⅱ）假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，设切点为，求出切线满足斜率，推出，此方程显然无解，假设不成立．推出直线l都不是曲线y=f（x）的切线．（Ⅲ）“曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．令，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．函数h（t）=t3+t+2，其中t∈R，求出导数，判断函数的单调性，然后推出曲线y=f（x）与直线l交点个数．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数f（x）定义域为{x|x≠0}，…（1分）求导，得，…（2分）令f′（x）=0，解得x=1．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表所示：x （﹣∞，0）（0，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ ﹣0 +f（x）↗↘↗所以函数y=f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1），…（3分）所以函数y=f（x）有极小值f（1）=3，无极大值．…（4分）（Ⅱ）证明：假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，…（5分）设切点为，又因为，所以切线满足斜率，且过点A，所以，…（7分）即，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线．…（8分）（Ⅲ）解：“曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．由方程，得．…（9分）令，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．考察函数h（t）=t3+t+2，其中t∈R，因为h′（t）=3t2+1＞0时，所以函数h（t）在R单调递增，且h（t）∈R．…（11分）而方程k=t3+t+2中，t∈R，且t≠0．所以当k=h（0）=2时，方程k=t3+t+2无根；当k≠2时，方程k=t3+t+2有且仅有一根，故当k=2时，曲线y=f（x）与直线l没有交点，而当k≠2时，曲线y=f（x）与直线l有且仅有一个交点．…（13分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的零点，考查转化思想以及计算能力．。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编：函数
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编函数一、选择题1、（昌平区2017届高三上学期期末）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A ）xy e = （B ）2log y x = （C ）sin y x = （D ）3y x =2、（朝阳区2017届高三上学期期中）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1y x =-B ．tan y x =C ．3y x =D ．2yx=- 3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．14、（丰台区2017届高三上学期期末）已知函数()ln()sin f x x a x =+-．给出下列命题： ①当0a =时，(0e),x ∀∈，都有()0f x <； ②当e a ≥时，(0+),x ∀∈∞，都有()0f x >； ③当1a =时，0(2+),x ∃∈∞，使得0()=0f x ． 其中真命题的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35、（海淀区2017届高三上学期期末）下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．1()2x y =B ．2y x =-C ．2log y x =D ．||1y x =+6、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则A.1b a >>B.1b a >>C.1a b >>D.1a b >>7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知定义在R 上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A.1122a -≤≤ B.102a ≤< C.01a ≤< D.102a -<≤8、（石景山区2017届高三上学期期末）下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=9、（通州区2017届高三上学期期末）下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是A ．2y x = B ．2xy =C ．cos y x =D ．ln y x =10、（通州区2017届高三上学期期末）已知函数()())20,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()()1g x f x k x =--有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是A ．(1)-∞，－B ．(0)∞，＋C ．(10)－，D ．(1)0-∞∞，－（，＋）11、（西城区2017届高三上学期期末）下列函数中，定义域为R 的奇函数是 （A ）21y x =+ （B ）tan y x = （C ）2xy = （D ）sin y x x =+ 12、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）设3log 2a =，21log 8b =，2c = A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>参考答案1、D2、C3、B4、B5、D6、A7、B8、D9、C 10、D 11、D 12、D二、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末）12,2,ln 2ee -三个数中最大的数是_________ .2、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .4、（东城区2017届高三上学期期末）已知函数1)(||)(+-=a x x x f .当0=a 时，函数)(x f 的单调递增区间为；若函数a x f x g -=)()(有3个不同的零点，则a 的取值范围为.5、（海淀区2017届高三上学期期中）计算1lg2lg 3lg54-+=___. 6、（石景山区2017届高三上学期期末）函数2()(3)1xf x x x =≥-的最大值为_______________． 7、（西城区2017届高三上学期期末）设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．8、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）设函数21()4()(2)1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①若1a =，则()f x 的最小值为______；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______ .9、（昌平区2017届高三上学期期末）若函数2,11,()ln ,1.x x f x x x a -⎧-≤<=⎨≤≤⎩①当2a =时，若()1f x =，则x =___________；②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是________ .10、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数()f x 在[1,1]-上是增函数；（Ⅱ）解不等式：1()(1)2f x f x +<-；（Ⅲ）若2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-恒成立，求：实数m 的取值范围．参考答案1、12e2、b c a >> 3、 4、(),-∞+∞,{}21aa << 5、3 6、37[4,9)8、 1-；11[2)2，，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 9、0；122,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10、解：（Ⅰ）证明：设任意12,[1,1]x x ∈-且12x x <，由于()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+- 因为12x x <，所以21()0x x +-≠，由已知有2121()()0()f x f x x x +->+-,∵2121()0x x x x +-=->，∴21()()0f x f x +->，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数. ………5分（Ⅱ）由不等式1()(1)2f x f x +<-得1112111112x x x x⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩，解得104x ≤< ………9分（Ⅲ）由以上知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-，只需2121m m ≤-+恒成立， 得实数m 的取值范围为0m ≤或2m ≥. ………14分。
2017届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i(2i)-在复平面内对应的点的坐标为A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(1,2)D ．(1,2)-2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．33．下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．1()2x y = B ．2y x =- C ．2log y x =D ．||1y x =+4．已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ，则=|b |A ．12B ．1CD ．25．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．在ABC ∆中，“30A <︒”是“1sin 2A <”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABC ．2D主视图俯视图8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==． 若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C :2214y x -=，则双曲线C 的一条渐近线的方程为________．10．已知数列{}n a 满足12,,n n a a n +-=∈*N 且33a =，则1a =____，其前n 项和n S =____． 11．已知圆C :2220x y x +-=，则圆心C 的坐标为_____，圆C 截直线y x =的弦长为____． 12．已知,x y 满足04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为________．13．如图所示，点D 在线段AB 上，30CAD ∠= ，50CDB ∠= ．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①,AD DB ； ②,AC DB ； ③,CD DB ．其中，能使ABC ∆唯一确定的条件的序号为____．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A 、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此， 甲同学说：“A 大学的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”； 乙同学说：“A 大学的男女生比例不一定高于B 大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”． 其中，说法正确的同学是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，346a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，比较4S 和5S 的大小，并说明理由．ABCABCD1D 1A 1B 1C E F16．（本小题满分13分）已知函数2sin 22cos ()cos x xf x x +=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及π()4f 的值；（Ⅱ）求()f x 在π(0,)2上的单调递增区间．17．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：表1（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数x ；（Ⅱ）从表1诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率； （Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB //DC , CD =2AB , AD ⊥CD ，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由．PABCD E19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>，直线l 过椭圆G 的右顶点(2,0)A ，且交椭圆G 于另一点C ．（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B ，求直线l 的方程．20．（本小题满分14分）已知函数ln 1()x f x x+=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的实根12,x x ，且12x x <，求证：2111x x a->-．高三年级第一学期期末练习数学（文科）答案及评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
2017西城区高三(一模)文数试题及答案(1)
2017年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么 A∩∁U B=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（，0）C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）4．函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．则“曲线：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在△ABC中，点D满足=3，则（）A． =+B． =﹣C． =+D． =﹣7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 B．6 C．4 D．28．函数f（x）的图象上任意一点A（x，y）的坐标满足条件|x|≥|y|，称函数f（x）具有性质P，下列函数中，具有性质P的是（）A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=sinx D．f（x）=ln（x+1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数 y=的定义域为．10．执行如图所示的程序框图．当输入x=ln时，输出的y值为11．圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标是，直线l：x﹣y=0与圆C相交于A，B两点，则|AB|= ．12．函数f（x）=的最小正周期是．13．实数x，y满足，则x2+y2的最大值是；最小值是．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知{a n}是等比数列，数列满足a1=3，a4=24，数列{b n}满足b1=1，b4=﹣8，且{a n+b n} 是等差数列．（I ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．（I）求角C的大小；（II）求sinA+sinB的最大值．17．（13分）在测试中，客观题难度的计算公式为P i=，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度P i0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：1 2 3 4 5题号学生编号1 ×√√√√2 √√√√×3 √√√√×4 √√√××5 √√√√√6 √××√×7 ×√√√×8 √××××9 √√√××10 √√√√×（I）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5实测答对人数实测难度（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]，其中P′i为第i题的实测难度，P i为第i 题的预估难度（i=l，2，…，n），规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．（I）求证：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．19．（14分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为为，F为椭圆C的右焦点A（﹣a，0），|AF|=3．（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O作OE丄DF，交直线x=4于点E．求证：OE∥AP．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣x2，设l为曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直线l的方程（用x0表示）（2）求直线l在y轴上的截距的取值范围；（3）设直线y=a分别与曲线y=f（x）（x∈[0，+∞））和射线y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N两点，求|MN|的最小值及此时a的值．数学试题答案一、1．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴∁U B={2，3，5，6}；∴A∩∁U B={3，5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数分母实数化，再化简即可．【解答】解： =故选D．【点评】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．4．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象即可解答．【解答】解：函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数，是方程log2x﹣（）x=0的实数根的个数，即log2x=（）x，令f（x）=log2x，g（x）=（）x，画出函数的图象，如图所示：由图象得：f（x）与g（x）有1个交点，∴函数f（x）=（）x﹣log2x的零点个数为1个，故选：B．【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了转化思想，数形结合思想的应用问题，是基础题．5．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，反之不成立．【解答】解：∵函数f（x）定义在（﹣∞，+∞）上．若“f（x）为奇函数”，则f（0）=0，若曲线：y=f（x）过原点”，则f（x）不一定为奇函数．：y=f（x）过原点”是“f（x）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义计算即可．【解答】解：△ABC中，点D满足=3，则=+=+=+（﹣）=+，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义，属于基础题．7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4的四面体，计算各条棱的长度可得答案．【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，∴AB=4，AO=SB=SC=2，AOS是三角形直角，∴AS=6．∴棱的最长是AS=6，故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，根据已知的三视图，判断几何体的形状和尺寸关系是解答的关键．8．【考点】3T：函数的值．【分析】不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，由此能求出结果【解答】解：不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示：函数f（x）具有性质P，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，在A中，f（x）=x2图象分布在区域①②和③内，故A不具有性质P；在B中，图象分布在区域②和③内，故B不具有性质P；在C中，f（x）=sinx图象分布在区域①和②内，故C具有性质P；在D中，f（x）=ln（x+1）图象分布在区域②和④内，故D不具有性质P．故选：C．【点评】本题考查函数是否具有性质P的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、数形结合思想的合理运用．二、9．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．10．【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出分段函数y=的值，由于x=ln=﹣ln2＜0，可得：y=e=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，是容易题．11．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】本题可以将圆的普通方程化成为标准方程，得到圆心坐标和半径长，得到本题结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心坐标和半径分别为：（1，1），1．圆心在直线l：x﹣y=0，∴|AB|=2，故答案为：（1，1），2．【点评】本题考查了圆的普通方程和标准方程的互化，本题难度不大，属于基础题．12．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数公式化简只有一个函数名，即可求解周期．【解答】解：函数f（x）===tan2x．∴最小正周期T=．故答案为．【点评】本题主要考查三角函数的化简能力及图象和性质，比较基础．13．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域：而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离的平方，点在阴影区域里运动时，点P到点O，OP最大当在点P（1，2），z最大，最大值为02+22=4，Q在直线2x+y﹣2=0，OQ与直线垂直距离最小，可得z的最小值为： =，故答案为：4；．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．14．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】可得P的轨迹就是以A1为球心的球面与面ABCD的交线．即以A为圆心，半径为1的圆面【解答】解：通过作图，当A1P=时，分析得到P在以A1为球心，以为半径的球面上，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，由此可得P的轨迹就是球与面ABCD的交公共部分，即以A为圆心，半径为1的圆面，其面积为．故答案为：【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a4=a1q3，∴q 3=8，解得q=2，∴a n =3×2n ﹣1，设等差数列{a n +b n } 的公差为d ，由题意得：a 4+b 4=（a 1+b 1 ）+3d ，∴24﹣8=（1+3）+3d ，解得d=4，∴a n +b n =4+4（n ﹣1）=4n ，∴b n =4n ﹣3×2n ﹣1，（Ⅱ）数列{a n }的前n 项和为=﹣3+3×2n ，数列{a n +b n }的前n 项和为=n （2n ﹣4）=2n 2﹣4n ， 故{b n }的前n 项和为2n 2﹣4n+3﹣3×2n【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n 项和，是中档题．16．【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（I ）根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C 的值．（II ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinB=sin （A+），由范围＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．【解答】解：（I ）∵2csinA=atanC ，∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC ，则2sinC sinA=sinA•，由sinCsinA ≠0得，cosC=，∵0＜C ＜π，∴C=．（II ）则A+B=，∴B=﹣A ，0＜A ＜，∴sinA+sinB=sinA+sin （﹣A ）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A ＜，∴＜A+＜， ∴当A+=时，sinA+sinB 取得最大值，【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，求出C的大小是解决本题的关键，考查了转化思想和数形结合思想，属于基本知识的考查．17．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据P i=，得到难度系数；（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）由S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣P n）2]计算出S值，与0.05比较后，可得答案．【解答】解：（I）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：；题号 1 2 3 4 5实测答对人数8 8 8 7 2实测难度0.8 0.8 0.8 0.7 0.2（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，共有=10种不同的情况，其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况，故恰好有1人答对第5题的概率P==；（Ⅲ）由题意得：S= [（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.8﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]=0.014＜0.05，故该次测试的难度预估合理．【点评】本题考查的知识点是统计与概率，古典概型的概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，即F为PC中点，可得，（Ⅲ）假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，∴PA⊥BC，BC⊥AB，又因为PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，∵BC⊂面PBC，∴平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，∴F为PC中点，∴，（Ⅲ）直线AE是不可能与平面PCD平行．假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．假设不成立，∴直线AE是不可能与平面PCD平行．【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．19．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，依题意列式求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设出直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，进一步求出直线OM的斜率，得到直线OM的方程，再求得D的坐标，得到直线DF的斜率，由OE丄DF可得OE的斜率，则答案得证．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：，a+c=3，解得a=2，c=1．∴b2=a2﹣c2=3，则椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．∴，，．即M（），∴直线OM的斜率是，∴直线OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．由F（1，0），得直线DF的斜率是，∵OE丄DF，∴直线OE的斜率为k，∴OE∥AP．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．20．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）由直线l的方程，可令x=0，求出y，再求导数，判断导数符号小于等于0，可得函数y的单调性，即可得到所求最值，进而得到l在y轴上截距的范围；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，求得|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，二次求出导数，即可判断函数y的单调性，即可得到所求最小值及a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣x2的导数为f′（x）=e x﹣x，可得切线的斜率为k=e x0﹣x0，切点为（x0，e x0﹣x02），切线l的方程为y﹣e x0+x02=（e x0﹣x0）（x﹣x0），即为（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直线l：（e x0﹣x0）x﹣y+e x0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=e x0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．则y′=e x0（﹣x0）+x0=x0（1﹣e x0），当x0=0时，1﹣e x0=0，则x0（1﹣e x0）=0；当x0＞0时，1﹣e x0＜0，则x0（1﹣e x0）＜0；当x0＜0时，1﹣e x0＞0，则x0（1﹣e x0）＜0；综上可得x0（1﹣e x0）≤0恒成立．则y=e x0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上递减，可得y的最大值为+，最小值为．则直线l在y轴上的截距的取值范围是[， +]；（3）设a=e x﹣x2的解为x1，a=x﹣1的解为x2，可得x2=1+e x1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+e x1﹣x12﹣x1|，x1≥0，设y=1+e x﹣x2﹣x，则y′=e x﹣x﹣1，y′′=e x﹣1，可得e x﹣1≥0，则y′在[0，+∞）递增，即有1+e x﹣x2﹣x[0，+∞）递增，可得1+e x﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，则|MN|的最小值为2，此时a=1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查方程思想和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．。
【精品】2017-2018学年北京市通州区高三(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5.00分）已知集合A={x∈Z|x2﹣2x≤0}，集合B={﹣1，0，1}，那么A∪B 等于（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5.00分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣B．y= C．y=x3 D．y=log2x3．（5.00分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x 的值是（）A．﹣2或2 B．﹣2或C．﹣或D．﹣或24．（5.00分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）A．B．16 C．D．325．（5.00分）已知a∈R，那么“直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直”是“a=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5.00分）已知a，b∈R，a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．tana＞tanb C．|log2a|＞|log2b|D．a?2﹣b＞b?2﹣a7．（5.00分）已知点A（2，﹣1），点P（x，y）满足线性约束条件O为坐标原点，那么的最小值是（）A．11 B．0 C．﹣1 D．﹣58．（5.00分）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5.00分）已知复数的实部与虚部相等，那么实数a=．10．（5.00分）已知点P（2，）为抛物线y2=2px上一点，那么点P到抛物线准线的距离是．11．（5.00分）在△ABC中，已知AB=4，AC=6，A=60°，那么BC=．12．（5.00分）已知向量，，若||=3，||=，=6，则，夹角的度数为．13．（5.00分）已知圆C的圆心在x轴上，半径长是，且与直线x﹣2y=0相切，那么圆C的方程是．14．（5.00分）已知函数f（x）=（1）若a=﹣，则f（x）的零点是．（2）若f（x）无零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13.00分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（13.00分）某市准备引进优秀企业进行城市建设．城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业．若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．注：方差．17．（13.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，2a n+1=S n+1．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设b n=2a n﹣2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（14.00分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE⊥底面BCDE，AB=AE=BE，点M，N分别是AE，AD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）求证：BM⊥平面ADE；（Ⅲ）在棱DE上求作一点P，使得CP⊥AD，并说明理由．19．（13.00分）已知椭圆（a＞b＞0）过点（0，﹣1），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（m，0），过点（1，0）作斜率为k（k≠0）直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分∠MPN，求m的值．20．（14.00分）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若函数F（x）=f（x），当a=2时，F（x）的最大值为M，求证：M＜．2017-2018学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5.00分）已知集合A={x∈Z|x2﹣2x≤0}，集合B={﹣1，0，1}，那么A∪B 等于（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】分别求出集合A，集合B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|x2﹣2x≤0}={∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，集合B={﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5.00分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣B．y= C．y=x3 D．y=log2x【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A．y=﹣在定义域上是奇函数，但不是单调函数，不满足条件．B．y=是减函数且为非奇非偶函数，不满足条件．C．y=x3在其定义域上既是奇函数又是增函数，满足条件．D．y=log2x在（0，+∞）上是增函数，是非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5.00分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x 的值是（）A．﹣2或2 B．﹣2或C．﹣或D．﹣或2【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值，若输出的y的值为1，可根据分段函数的解析式，逆推出自变量x的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=|x|﹣1=1，解得：x=﹣2当x≥0时，y=x2﹣1=1，解得：x=，故选：B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4．（5.00分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是（）A．B．16 C．D．32【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，然后由棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA=PC，底面ABC为直角三角形，AB=AC=4，∴该四面体的体积是V=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5．（5.00分）已知a∈R，那么“直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直”是“a=”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直，可得：a?（﹣4a）=﹣1，解得a即可判断出结论．【解答】解：由直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直，可得：a?（﹣4a）=﹣1，解得a=．∴“直线y=ax﹣1与y=﹣4ax+2垂直”是“a=”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5.00分）已知a，b∈R，a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．tana＞tanb C．|log2a|＞|log2b|D．a?2﹣b＞b?2﹣a【分析】由a＞b＞0，利用不等式的基本性质与函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴，tana与tanb的大小关系不确定，log2a＞log2b，但是|log2a|＞|log2b|不一定成立，a?2a＞b?2b一定成立．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质与函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5.00分）已知点A（2，﹣1），点P（x，y）满足线性约束条件O 为坐标原点，那么的最小值是（）A．11 B．0 C．﹣1 D．﹣5【分析】根据向量数量积的定义化简目标函数，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：=2x﹣y，作出约束条件可行区域如图，作直线l0：y=﹣x，当l0移到过A（﹣2，﹣3）时，Z min=﹣2×2+3=﹣1，故的最小值为﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5.00分）如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【分析】任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．【解答】解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个．故选：D．【点评】不本题考查了空间线面位置关系，转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5.00分）已知复数的实部与虚部相等，那么实数a=2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于虚部求得a值．【解答】解：∵=的实部与虚部相等，∴a=2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．（5.00分）已知点P（2，）为抛物线y2=2px上一点，那么点P到抛物线准线的距离是3．【分析】根据点P（2，）为抛物线y2=2px上一点可求出p的值，由抛物线的性质可知焦点坐标，可知抛物线的焦点和准线方程，从而求出所求．【解答】解：∵点P（2，）为抛物线y2=2px上一点，∴（2）2=2p×2，解得p=2，∴抛物线焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，∴点P到抛物线的准线的距离为2+1=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质，解题的关键弄清抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，属于基础题．11．（5.00分）在△ABC中，已知AB=4，AC=6，A=60°，那么BC=2．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：BC2=42+62﹣2×4×6cos60°=28，解得BC=2．故答案为：2．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5.00分）已知向量，，若||=3，||=，=6，则，夹角的度数为．【分析】根据题意，设，夹角为θ，||=t，（t＞0），由数量积的计算公式可得若||=，则有（﹣）2=2﹣2?+2=9﹣2×6+t2=13，解可得t的值，又由cosθ＝，计算可得cosθ的值，由θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，夹角为θ，||=t，（t＞0），若||=，则有（﹣）2=2﹣2?+2=9﹣2×6+t2=13，解可得t=4，则cosθ＝=，则θ＝；故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的计算公式，注意求出||的值．13．（5.00分）已知圆C的圆心在x轴上，半径长是，且与直线x﹣2y=0相切，那么圆C的方程是（x﹣5）2+y2=5或（x+5）2+y2=5．【分析】由题意设出圆心坐标（a，0），利用点到直线的距离公式列式求得a值，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：由题意设圆心坐标为（a，0），由，得a=±5．又圆的半径r=．圆C的方程是（x﹣5）2+y2=5或（x+5）2+y2=5．故答案为：（x﹣5）2+y2=5或（x+5）2+y2=5．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题．14．（5.00分）已知函数f（x）=（1）若a=﹣，则f（x）的零点是．（2）若f（x）无零点，则实数a的取值范围是（∞，﹣4]∪[0，2）．【分析】（1）由零点的定义，解方程即可得到所求值；（2）讨论x＜2，x≥2时，f（x）=0无实数解，即可得到a的范围．【解答】解：（1）若a=﹣，则f（x）=，当x＜2时，由2x﹣=0，可得x=；由x≥2时，﹣﹣x=0，可得x=﹣＜2，不成立．则f（x）的零点为；（2）若f（x）无零点，即f（x）=0无实数解，当x＜2时，2x+a=0即﹣a=2x无实数解，可得﹣a≥4或﹣a≤0，即为a≤﹣4或a≥0；由x≥2可得a﹣x=0无实数解，即有a＜2．综上可得a的范围是（∞，﹣4]∪[0，2）．故答案为：，（∞，﹣4]∪[0，2）．【点评】本题考查函数的零点的求法，注意运用定义和指数函数的值域和单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13.00分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）根据x在[0，]上，求解内层函数的范围，即可求解最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+cos2x=2sin2x+cos2x=sin（2x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；由，得≤x≤所以f（x）的单调递增区间是[，]，k∈Z．（Ⅱ）因为x∈[0，]上，所以2x+∈[，]所以当2x+=，即x=时，函数取得最大值是．当2x+=，即x=时，函数取得最小值﹣1．所以f（x）在[0，]区间上的最大值和最小值分别为和﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的综合运用．属于基础题．16．（13.00分）某市准备引进优秀企业进行城市建设．城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业．若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率．注：方差．【分析】（Ⅰ）根据定义计算乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）利用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值．【解答】解：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是×（97+94+88+83+78）=88，方差是×[（97﹣88）2+（94﹣88）2+（88﹣88）2+（83﹣88）2+（78﹣88）2]=48.4；…（4分）（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有（96，97），（96，94），（96，88），（93，97），（93，94），（93，88），（89，97），（89，94），（89，88），（86，97），（86，94），（86，88）共12组，…（8分）设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件A，则事件A包含有（96，97），（96，94），（93，97），（93，94），（93，88），（89，94），（89，88），（86，88）共8组；…（11分）所以P（A）==；所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是．…（13分）【点评】本题考查了计算平均数与方差的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．17．（13.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，，2a n+1=S n+1．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设b n=2a n﹣2n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用分组法求出数列的和．【解答】解：（Ⅰ）因为数列{a n}的前n项和为S n，，2a n+1=S n+1．所以：2a2=S1+1=，解得：．所以：2a3=S2+1=a1+a2+1=，解得：．（Ⅱ）因为2a n+1=S n+1，所以：2a n=S n﹣1+1，（n≥2）则：2a n+1﹣2a n=S n﹣S n﹣1=a n，所以：．由于：，则：数列{a n}是首项，公比是的等比数列．所以：．因为b n=2a n﹣2n﹣1，所以：．所以：T n=b1+b2+…+b n，=+…+，=﹣（3+5+…+2n+1），=，=．所以数列的前n项和为：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和．18．（14.00分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE⊥底面BCDE，AB=AE=BE，点M，N分别是AE，AD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）求证：BM⊥平面ADE；（Ⅲ）在棱DE上求作一点P，使得CP⊥AD，并说明理由．【分析】（Ⅰ）只需证明MN∥BC．即可证明MN∥平面ABC．（Ⅱ）可得DE⊥平面ABE，DE⊥BM，BM⊥AE，即可证明BM⊥平面ADE．（Ⅲ）取BE中点F，连接AF，DF，过C点作CP⊥DF，交DE于点P．则点P即为所求作的点．【解答】解：（Ⅰ）因为点M，N分别是AE，AD的中点，所以MN∥DE．因为底面BCDE四边形为正方形，所以BC∥DE所以MN∥BC．因为MN?平面ABC，BC?平面ABC，所以MN∥平面ABC…（4分）（Ⅱ）因为平面ABE⊥底面BCDE，DE⊥BE，所以DE⊥平面ABE因为MB?平面ABE，所以DE⊥BM因为AB=AE=BE，点M是AE的中点，所以BM⊥AE因为DE∩AE=E，DE?平面ADE，AE?平面ADE，所以BM⊥平面ADE…（9分）（Ⅲ）取BE中点F，连接AF，DF，过C点作CP⊥DF，交DE于点P．则点P即为所求作的点．…（11分）理由：因为AB=AE=BE，点F是BE的中点，所以AF⊥BE因为平面ABE⊥底面BCDE，所以AF⊥平面BCDE．所以AF⊥CP因为CP⊥DF，AF∩DF=F，所以CP⊥平面ADF因为AD?平面ADF，所以CP⊥AD…（14分）【点评】本题考查了线面陪平行、垂直的判定，空间动点问题，属于中档题，19．（13.00分）已知椭圆（a＞b＞0）过点（0，﹣1），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（m，0），过点（1，0）作斜率为k（k≠0）直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分∠MPN，求m的值．【分析】（Ⅰ）根据过点（0，﹣1），离心率e=，可得b=1，=，再根据a2=b2+c2，即可求出，（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣1），联立方程组消去y，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设点M（x1，y1），N（x1，y1），根据韦达定理以及k MP+k NP=0，即可求出m的值【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，过点（0，﹣1），离心率e=，所以b=1，=，所以由a2=b2+c2，得a2=2，所以椭圆C的标准方程是+y2=1，（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线l，所以直线l的方程是y=k（x﹣1）．联立方程组消去y，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，显然△＞0，设点M（x1，y1），N（x1，y1），所以x1+x2=，x1x2=，因为x轴平分∠MPN，所以∠MPO=∠NPO．所以k MP+k NP=0，所以+=0，所以y1（x2﹣m）+y2（x1﹣m）=0，所以k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，所以2kx1x2﹣（k+km）（x1+x2）+2km=0，所以2?+（1+m）+2m=0所以=0…（12分）所以﹣4+2m=0，所以m=2．【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．20．（14.00分）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若函数F（x）=f（x），当a=2时，F（x）的最大值为M，求证：M＜．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）求出函数的导数，令g（x）=2﹣x﹣4lnx，所以g（x）是单调递减函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x+alnx，且a=1，所以f（x）=x+lnx，x∈（0，+∞），所以f′（x）=1+，所以f（1）=1，f′（1）=2，所以曲线在x=1处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）因为函数f（x）=x+alnx（x＞0），所以f′（x）=1+=，（1）当a≥0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以函数f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，即x+a＞0，所以x＞﹣a，令f′（x）＜0，x+a＜0，所以x＜﹣a；（i）当0＜﹣a≤1，即a≥﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1；（ii）当1＜﹣a＜e，即﹣e≤a≤﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上单调递减，在（﹣a，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a），（iii）当﹣a≥e，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=e+a，综上所述，当a≥﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=1，当﹣e≤a≤﹣1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a），当a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=e+a；（Ⅲ）因为函数F（x）=f（x），所以F（x）=+，所以当a=2时，F′（x）=，令g（x）=2﹣x﹣4lnx，所以g（x）是单调递减函数．因为g（1）=1＞0，g（2）=﹣4ln2＜0，所以在（1，2）上存在x0，使得g（x0）=0，即2﹣x0﹣4lnx0=0，所以当x∈（1，x0）时，g（x）＞0；当x∈（x0，2）时，g（x）＜0，即当x∈（1，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，2）时，F′（x）＜0，所以F（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减．所以当x=x0时，F（x）取得最大值是M=F（x0）=，因为2﹣x﹣4lnx=0，所以M=﹣；因为x0∈（1，2），所以∈（，1），所以M＜．【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．。
【数学】2017年北京市房山区高三(上)期末数学试卷(文科)和解析
2016-2017学年北京市房山区高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，则∁U A=（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．R D．（1，+∞）2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）3．（5分）下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin2x B．y=xcosx C．y=D．y=|x|4．（5分）已知向量=（，），=（0，1），则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积是（）A．cm3B．12cm3C．14cm3D．28cm36．（5分）“a3＞b3”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知点A（0，2），动点P（x，y）满足条件则|PA|的最小值是（）A．1 B．2 C．D．8．（5分）对于100个黑球和99个白球的任意排列（从左到右排成一行），则一定（）A．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个D．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）复数z=（i是虚数单位）的实部是．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为4，则输出的y值为．11．（5分）某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动，则从第4组中抽取的人数为．12．（5分）在△ABC中，a=3，c=，cosC=，则sinA=，若b＜a，则b=．13．（5分）已知直线l：x=2和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为．14．（5分）设函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）设函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值，以及取得最大值时对应x的值．16．（13分）已知等比数列{a n}中，a3=4，a6=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n﹣3n，求数列{b n}的前n项和．17．（13分）“双十一”网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）；（Ⅱ）求甲送件数量的平均数；（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，E，M分别是AD，PD中点，PE⊥BE，PA=PD=AD=2，AB=．（Ⅰ）求证：PB∥平面MAC；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求证：平面MAC⊥平面PBE．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）如果f（x）≤0，在（0，4]上恒成立，求a的取值范围．20．（13分）已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=8，直线MF2与曲线C的另一个交点为P．（Ⅰ）求曲线C的标准方程；（Ⅱ）设点N（﹣4，0），若S：S=3：2，求直线MN的方程．2016-2017学年北京市房山区高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，则∁U A=（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．R D．（1，+∞）【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜1}，则∁U A={x|x≥1}=[1，+∞）．故选：B．2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），即有抛物线y2=4x的2p=4，即p=2，则焦点坐标为（1，0），故选：A．3．（5分）下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin2x B．y=xcosx C．y=D．y=|x|【解答】解：对于A，D，满足f（﹣x）=f（x），函数是偶函数；对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数；对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数．故选：B．4．（5分）已知向量=（，），=（0，1），则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：向量=（，），=（0，1），可得•=×0+×1=，cos＜，＞===，由0＜＜，＞＜π，即有向量与夹角的大小为．故选：C．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积是（）A．cm3B．12cm3C．14cm3D．28cm3【解答】解：几何体为四棱锥与正方体的组合体，V正方体=2×2×2=8cm3；V四棱锥=×2×2×1=cm3，∴V=8+=cm3．故选：A．6．（5分）“a3＞b3”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a3＞b3”推出“a＞b”，是充分条件，由”a＞b“推出“a3＞b3”，是必要条件，7．（5分）已知点A（0，2），动点P（x，y）满足条件则|PA|的最小值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由图象可知点A到直线y=2x的距离最小，此时d==，即|PA|的最小值为，故选：D．8．（5分）对于100个黑球和99个白球的任意排列（从左到右排成一行），则一定（）A．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个D．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：99为奇数，100为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）复数z=（i是虚数单位）的实部是1．【解答】解：∵z==，∴复数z=（i是虚数单位）的实部是：1．故答案为：1．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为4，则输出的y值为2．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由于x=4＞1，可得：y=log24=2，则输出的y值为2．故答案为：2．11．（5分）某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动，则从第4组中抽取的人数为4．【解答】解：由题意可知第4组的频率为0.04×5=0.2，利用分层抽样的方法在100名志愿者中抽取20名，第4组中抽取的人数为20×0.2=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，c=，cosC=，则，若b＜a，则b=3．【解答】解：∵a=3，c=，cosC=，∴sinC==，∴由正弦定理可得：sinA===，可得：cosA==±，∴当cosA=时，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣×=﹣＜0，由于b＜a，B为锐角，矛盾，舍去，∴cosA=﹣，cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣（﹣）×=，可得：sinB==，∴由正弦定理可得：b===3．故答案为：，3．13．（5分）已知直线l：x=2和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为1．【解答】解：圆方程变形得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，即圆心（1，1），半径r=，∴圆心到直线x=2的距离d=1＜，r﹣d＜1∴圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为2，故答案为2．14．（5分）设函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，2] ．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得k≤﹣1或1≤k≤2，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）设函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值，以及取得最大值时对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]；∴当x=时，f（x）=2sin（2×﹣）+1=3取得最大值．16．（13分）已知等比数列{a n}中，a3=4，a6=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n﹣3n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=4，a6=32，∴=4，=32，解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（II）b n=a n﹣3n=2n﹣1﹣3n，∴数列{b n}的前n项和=﹣3×=2n﹣1﹣．17．（13分）“双十一”网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）；（Ⅱ）求甲送件数量的平均数；（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多，∴乙快递员的平均送件数量较多．（Ⅱ）甲送件数量的平均数：=（244+246+251+253+254+262+268）=254．（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，基本事件总数n==21，至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的2个送件量都不大于254，∴至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率：p=1﹣=．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，E，M分别是AD，PD中点，PE⊥BE，PA=PD=AD=2，AB=．（Ⅰ）求证：PB∥平面MAC；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求证：平面MAC⊥平面PBE．【解答】（Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OE，则OM∥PB，∵PB⊄平面MAC，OM⊂平面MAC，∴PB∥平面MAC；（Ⅱ）∵PA=PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵PE⊥BE，BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）∵PE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PE，∵AD=2，AB=，四边形ABCD是矩形，E是AD中点，∴△ABE∽△DAC，∴∠ABE=∠DAC，∴AC⊥BE，∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE，∵AC⊂平面MAC，∴平面MAC⊥平面PBE．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）如果f（x）≤0，在（0，4]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1=，故f（1）=﹣1，f′（1）=0，故切线方程是：y+1=0，即y=﹣1；（II）f′（x）=﹣a=，（x＞0）①当a≤0时，由于x＞0，得：1﹣ax＞0，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），②当a＞0时，f′（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f′（x）＞0，在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（III）如果f（x）≤0在（0，4]上恒成立，即a≥在（0，4]恒成立，令h（x）=，x∈（0，4]，h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令h′（x）＜0，解得：e＜x≤4，故h（x）在（0，e）递增，在（e，4]递减，故h（x）max=h（e）=，故a≥．20．（13分）已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=8，直线MF2与曲线C的另一个交点为P．（Ⅰ）求曲线C的标准方程；（Ⅱ）设点N（﹣4，0），若S：S=3：2，求直线MN的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣2，0），F2（2，0），∴|F1F2|=4，∵|MF1|+|MF2|=8＞4，∴曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．曲线C的方程为+=1．（4分）（Ⅱ）由题意知直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）设M（x M，y M），P（x P，y P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0．解得y=0或y=．依题意，x M=y M﹣4=．（7分）因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，所以=，则=．于是，所以，（9分）因为点P在椭圆上，所以3（）2+4（）=48．整理得48k4+8k2﹣21=0，解得或k2=﹣（舍去），从而k=．（（11分））所以直线MN的方程为y=（x+4）．（12分）。
【最新经典文档】2017- 北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
7．（5 分）在△ ABC中，AB=AC=1，D 是 AC的中点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（ 5 分）已知正方体的 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2，点 M，N 分别是棱 BC，C1D1
的中点，点 P 在平面 A1B1C1D1 内，点 Q 在线段 A1N 上，若
，则 PQ 长度的
品牌 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 A
品牌 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 B
设 ai，bi 分别表示第次测试中品牌 A 和品牌 B 的测试结果，记 Xi=| ai﹣ bi| （i=1， 2，…，12） （Ⅰ）求数据 X1，X2，X3， …，X12 的众数； （Ⅱ）从满足 Xi=4 的测试中随机抽取两次，求品牌 A 的测试结果恰好有一次大 于品牌 B 的测试结果的概率； （Ⅲ）经过了解， 前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件， 后 6 次测试是打开 含有文字和图片的文件． 请你依据表中数据， 运用所学的统计知识， 对这两种国 产品牌处理器打开文件的速度进行评价． 18．（13 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，AC⊥AB， AC=AB=AA1=2，∠ AA1B1=60°，E，F 分别为棱 A1B1BC的中点． （Ⅰ）求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积； （Ⅱ）在直线 AA1 上是否存在一点 P，使得 CP∥平面 AEF？若存在，求出 AP 的 长，若不存在，说明理由．
（Ⅰ）数列 { an} 的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列 { an+bn} 前 n 项和．
16．（ 13 分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f （x）的定义域； （Ⅱ）求函数 f （x）的值域． 17．（ 14 分）据中国日报网报道： 2017 年 11 月 13 日， TOP500发布的最新一期
2017-2018学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞13．（5分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（5分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β5．（5分）“方程表示的曲线为椭圆”是“m＞n＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．l与m垂直7．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．以上三个答案均有可能8．（5分）设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面所在的平面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为（）A．{2，4}B．{2，6}C．{4，6}D．{2，4，6}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为．10．（5分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为．11．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为．12．（5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为．13．（5分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．16．（13分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）求证：BC⊥C1E；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点M（与点C不重合），使得C，D，E，M四点共面？（结论不要求证明）18．（13分）设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）若直线l：x﹣y+4=0，求点A到直线l的距离的最小值．19．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面BDEF；（Ⅱ）若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H（点G与点A，E均不重合），求证：EF∥GH；（Ⅲ）判断线段CE上是否存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，证明：直线PB与椭圆C相切．2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），可得tanθ=1，解得θ．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∴tanθ=1，解得θ=45°．故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞1【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是：存在x＞3，使得lnx≤1．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标．4．（5分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β【分析】根据空间线面位置关系判断．【解答】解：对于A，若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交，或a与c异面；故A错误；对于B，若若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交，或a与b异面，故B错误；对于C，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面线面位置关系的判断，属于基础题．5．（5分）“方程表示的曲线为椭圆”是“m＞n＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式分析可得若方程表示的曲线为椭圆，则有，即m＞n＞0或n＞m＞0，进而结合充分、必要条件的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，方程表示的曲线为椭圆，则有，即m ＞n＞0或n＞m＞0，若方程表示的曲线为椭圆”，“m＞n＞0”不一定成立，反之，若有“m＞n＞0”，则“方程表示的曲线为椭圆”；即“方程表示的曲线为椭圆”是“m＞n＞0”的必要不充分条件；故选：B．【点评】本题考查椭圆的标准方程，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示椭圆的条件．6．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．l与m垂直【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．【解答】解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l∥α，l∥β，且α∩β=m时，l∥m．故选：A．【点评】本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．7．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．以上三个答案均有可能【分析】由题意画出图形，可得以AB为直径的圆与抛物线准线相切，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为相离．【解答】解：如图，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1．设AB中点为G，过G作抛物线准线的垂线，垂足为H，则GH=AB，即以AB为直径的圆与抛物线准线相切，∴以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为相离，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．8．（5分）设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面所在的平面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为（）A．{2，4}B．{2，6}C．{4，6}D．{2，4，6}【分析】体对角线所在的直线与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个面都相交，面对角线所在的直线与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的4个面相交，棱所在的直线与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的2个面相交．【解答】解：设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面所在的平面相交的平面个数为m，体对角线所在的直线与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个面都相交，此时m=6；面对角线所在的直线与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的4个面相交，此时m=4；棱所在的直线与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的2个面相交，此时m=2．∴m的所有可能取值构成的集合为{2，4，6}．故选：D．【点评】本题考查满足条件的平面个数的集合的求法，考查线面关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为若a≠b，则a2﹣b2≠0．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：交换条件和结论，同时进行否定得逆否命题为：若a≠b，则a2﹣b2≠0，故答案为：若a≠b，则a2﹣b2≠0【点评】本题主要考查四种命题的关系，利用逆否命题的定义是解决本题的关键．10．（5分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为x+3y﹣5=0．【分析】根据已知中的定点及直线方程，由垂直系方程可得答案．【解答】解：经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为：（x﹣2）+3（y﹣1）=0，即：x+3y﹣5=0，故答案为：x+3y﹣5=0【点评】本题考查的知识点是直线系方程，熟练掌握垂直系方程，是解答的关键．11．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为1．【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，侧棱PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，且PA=2，AD=DC=1，AB=2，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，侧棱PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，且PA=2，AD=DC=1，AB=2，∴这个四棱锥的体积为V=．故答案为：1．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．12．（5分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为15π．【分析】以BC所在的直线为轴将△ABC旋转一周，形成的旋转体是底面半径为r=AB=3，高为BC=4的圆锥，由此能求出旋转所得圆锥的侧面积．【解答】解∵在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．∴AC===5，以BC所在的直线为轴将△ABC旋转一周，形成的旋转体是底面半径为r=AB=3，高为BC=4的圆锥，∴旋转所得圆锥的侧面积：S=πrl=π×AB×AC=π×3×5=15π故答案为：15π．【点评】本题考查过圆锥的侧面积的求法，考查圆锥、旋转体等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，数形结合思想，是中档题．13．（5分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．【分析】根据题意，求出直线与x轴交点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，又由双曲线的渐近线与直线l平行，可得双曲线的渐近线方程，进而可以设双曲线的方程为：﹣=1，（t＞0）由双曲线中c的值即可得9t+16t=25，解可得t的值，即可得双曲线的标准方程，由此计算可得双曲线的离心率，即可得答案．【解答】解：根据题意，若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，且其焦点在x轴上，直线与x轴交点坐标为（﹣5，0），则双曲线的焦点为（﹣5，0）与（5，0），c=5，又由双曲线的渐近线与直线l：4x﹣3y+20=0平行，则双曲线的一条渐近线为4x ﹣3y=0，设双曲线的方程为：﹣=1，（t＞0）又由c=5，则有9t+16t=25，解可得：t=1，则双曲线的方程为：，其中a=3，则双曲线的离心率e==；故答案为，【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线的求法，注意双曲线的焦点位置．14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数2，利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=4，对于①，方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故关于y轴对称和x轴对称，故曲线C是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C是中心对称图形，故②正确；对于③y=0可得，（x+1）2•（x﹣1）2=4，即x2﹣1=2，解得x=±，∴曲线C上点的横坐标的范围为[﹣，]，故③错误，对于④令x=0可得，y=±1，∴曲线C上点的纵坐标的范围为[﹣1，1]，故④错误；故答案为：①②【点评】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．【分析】（Ⅰ）推导出CD⊥AB，AA1⊥底面ABC，从而AA1⊥CD，由此能证明CD ⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）连接AC1，设A1C∩AC1=O，连接OD，推导出OD∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D为AB的中点，所以CD⊥AB，AA1⊥底面ABC．…（1分）又因为CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD．…（3分）又因为AA1∩AB=A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）连接AC1，设A1C∩AC1=O，连接OD，…（7分）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，得AO=OC1，又因为在△ABC1中，AD=DB，所以OD∥BC1，…（10分）又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属中档题．16．（13分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．【分析】（Ⅰ）化简求得圆心及半径，由圆C与圆x2+y2=1相外切，则两圆的圆心距等于其半径和，即可求得m的值；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得C到直线x+y﹣3=0的距离，根据垂径定理即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）将圆C的方程配方，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，…（1分）∴圆C的圆心为（3，4），半径．…（3分）因为圆C与圆x2+y2=1相外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，…（5分）解得m=9．…（7分）（Ⅱ）圆C的圆心到直线x+y﹣3=0的距离．…（9分）因为直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，所以由垂径定理，可得，…（11分）解得m=10．…（13分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，垂径定理，考查转化思想，属于中档题．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）求证：BC⊥C1E；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点M（与点C不重合），使得C，D，E，M四点共面？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由已知可得AA1⊥AD．结合AB⊥AD，利用线面垂直的判定可得AD⊥平面ABB1A1．得到AD为四棱锥C﹣AEB1B的高，然后直接利用棱锥体积公式求解；（Ⅱ）在底面ABCD中，求解三角形可得BC⊥AC．再由已知得CC1⊥BC，利用线面垂直的判定可得BC⊥平面CAEC1，从而得到BC⊥C1E；（Ⅲ）由CD为平面CEB1的一条斜线可知，线段B1C上不存在点M（与点C不重合），使得C，D，E，M四点共面．【解答】（Ⅰ）解：∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD．又∵AB⊥AD，AA1∩AB=A，∴AD⊥平面ABB1A1．∵AB∥CD，∴四棱锥C﹣AEB1B的体积=；（Ⅱ）证明：在底面ABCD中，∵AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AB=2，∴，，∴AB2=AC2+BC2，即BC⊥AC．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BC，又∵CC1∩AC=C，∴BC⊥平面CAEC1，又∵C1E⊂平面CAEC1，∴BC⊥C1E；（Ⅲ）解：对于线段B1C上任意一点M（与点C不重合），C，D，E，M四点都不共面．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．18．（13分）设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）若直线l：x﹣y+4=0，求点A到直线l的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，进而可得直线AB的方程，联立直线与抛物线的方程可得4x2﹣6x+1=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由弦长公式计算可得答案；（Ⅱ）设A（x0，y0），结合抛物线的方程与点到直线的距离公式可得，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抛物线C的方程为y2=2x，则其焦点坐标为，则直线AB的方程为．由消去y，得4x2﹣6x+1=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，且，，所以．（Ⅱ）设A（x0，y0），则点A到直线l距离．由A是抛物线C上的动点，得，所以，所以当y0=1时，．即点A到直线l的距离的最小值．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦公式的运用．19．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面BDEF；（Ⅱ）若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H（点G与点A，E均不重合），求证：EF∥GH；（Ⅲ）判断线段CE上是否存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）根据面面垂直的性质即可得出AC⊥平面BDEF，故而结论成立；（II）根据线面平行的性质可得出结论；（III）当M为CE的中点时，可证明平面BDM∥平面AEF．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF．又AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDEF．（Ⅱ）证明：∵EF∥BD，EF⊂平面AEF，BD⊄平面AEF，∴BD∥平面AEF，又BD⊂平面BDGH，平面AEF∩平面BDGH=GH，∴BD∥GH，又BD∥EF，∴GH∥EF．（Ⅲ）解：线段CE上存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF，此时．以下给出证明过程．证明：设CE的中点为M，连接DM，BM，因为BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BD∥平面AEF．设AC∩BD=O，连接OM，在△ACE中，因为OA=OC，EM=MC，所以OM∥AE，又因为OM⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以OM∥平面AEF．又因为OM∩BD=O，OM，BD⊂平面BDM，所以平面BDM∥平面AEF．【点评】本题考查了线面垂直、面面平行、面面垂直的判定，属于中档题．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，证明：直线PB与椭圆C相切．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得椭圆中c的值，又由椭圆的离心率公式可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得PA⊥PB，进而分3种情况讨论直线PA的位置，依次证明直线PB与椭圆C相切，综合三种情况即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，椭圆的一个焦点为，则，又由椭圆离心率为，则有，所以a=3，，所以椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，所以PA⊥PB．分3种情况讨论：①，当直线PA⊥x轴时，易得直线PA的方程为x=±3，由题意，得直线PB的方程为y=±2，显然直线PB与椭圆C相切．②，同理当直线PA∥x轴时，直线PB也与椭圆C相切．③，当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，设点P（x0，y0），直线PA的斜率为k，则k≠0，直线PB的斜率，所以直线PA：y﹣y0=k（x﹣x0），直线PB：，由消去y，得．因为直线PA与椭圆C相切，所以，整理，得（1）同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，得．（2）因为点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，所以，即．代入（1）式，得，代入（2）式，得===0．所以此时直线PB与椭圆C相切．综上，直线PB与椭圆C相切．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意利用椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程．第21页（共21页）。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编：导数及其应用
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知函数()ln (0)f x x mx m =->. (I) 若1=m ，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；(II)求函数)(x f 的最大值()g m ，并求使()g m >2-m 成立的m 取值范围.2、（朝阳区2017届高三上学期期末） 设函数2()(1)e ,x f x x ax a =-+∈R . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有两个零点，试求a 的取值范围;(III)设函数()ln e 1,xg x x x =+-+当0a =时，证明()()0f x g x -≥.3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数1()exax f x +=，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y f x =（)在点()0,0f （）处切线斜率为2-，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）若函数f x （)在区间()0,1上无极值，求a 的取值范围.4、（东城区2017届高三上学期期末）设函数ax x x x f +⋅=ln )(，a ∈R . （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f y =在],1[e e上的最小值； （Ⅲ）若x a ax x f x g )12(21)()(2+-+=，求证：0≥a 是函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增的充分不必要条件.5、（丰台区2017届高三上学期期末） 已知函数3()3f x x ax =-()a ∈R ． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0(0)),f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数()f x 在区间(12)-，上仅有一个极值点，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若1a >，且方程()f x a x =-在区间[0],a -上有两个不相等的实数根，求实数a 的最小值．6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知函数ln 1()x f x x+=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的实根12,x x ，且12x x <，求证：2111x x a->-．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数3()9f x x x =-，2()3g x x a =+. （Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处具有公共切线，求a 的值； （Ⅱ）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若方程()()f x g x =有三个不同的解123,,x x x ，且它们可以构成等差数列，写出实数a 的值. (只需写出结果)8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知函数()321(21)()3f x x ax a x a R =++-∈．（Ⅰ）若()f x 在点(0,0)处的切线方程为y x =，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =-时，设()f x 在1212,()x x x x <处取到极值，记11(,())M x f x ．(0,(0))A f ，(1,(1))B f ，(2,(2))C f ，判断直线AM 、BM 、CM 与函数()f x 的图象各有几个交点（只需写出结论）．9、（通州区2017届高三上学期期末）已知函数233)(x x x f -=，4)(2-=ax x g ．（Ⅰ）求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若对任意的[0)x ∈+∞，，都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）函数)(x f 的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心； 如果不是，请说明理由．10、（西城区2017届高三上学期期末）对于函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，（ⅰ）求()f x 的极值点；（ⅱ）若存在0x 既是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，求b 的值； （Ⅱ）若()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点？证明你的结论．11、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知：函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-，求()f x 的极大值．12、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . （I ）若2a =-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a ≥，且()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围； （III ）若1ea >，判断函数()[()1]g x x f x a =++的零点的个数. 参考答案1、解：(I)若1=m ，则x x x f -=ln )(.所以1'()1(0)f x x x=->. 所以'(1)0f =,1)1(-=f .所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=y . ……………5分 (II) 因为1'()(0)f x m x x=->， 当)1,0(m x ∈时, '()0f x >;),1(+∞∈mx 时，'()0f x <. 所以)(x f 在)1,0(m 上单调递增；在),1(+∞m上单调递减.所以)(x f 的最大值1()()ln 1g m f m m ==--.()g m >2-m ，即()(2)0g m m -->..设()()(2)ln 1h m g m m m m =--=--+. 因为1'()10h x m=--<， 所以()h m 在(0,)+∞上单调递减. 又因为(1)0h =所以当01m <<时，()(1)0h m h >=.所以m 取值范围为()0,1. ……………13分2、解：（Ⅰ）当1a =时，函数2()e xf x x x =+，因为()e 2xf x x x '=+，所以(1)e+2f '=.又(1)1,f = 则所求的切线方程为1(e 2)(1)y x -=+-.化简得：(e 2)e 1y x =+--.……………………………………………………………3分 （Ⅱ）因为()(e 2)x f x x a '=+①当0a =时，函数()(1)e xf x x =-只有一个零点； ②当0a >，函数当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<； 函数当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.又(0)1f =-，(1)f a =，因为0x <，所以10,1xx e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取0x =，显然00x <且0()0g x >所以(0)(1)0f f <，0()(0)0f x f <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()(e 2)0xf x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-. 若12a ≥-，则ln(2)0a -≤. 故当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞在单调递增，所以函数()f x 在(0,)+∞至多有一个零点.又当(,0)x ∈-∞时，()0f x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上没有零点. 所以函数()f x 不存在两个零点. 若12a <-，则ln(2)0a ->. 当(ln(2),)a -+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(ln(2),)a -+∞上单调递增，所以函数()f x 在(ln(2),)a -+∞至多有一个零点.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,ln(2))x a ∈-时，()0f x '<；所以函数()f x 在(,0)-∞上单增，(0,ln(2))a -上单调递减，所以函数()f x 在(,ln(2))a -∞-上的最大值为(0)1<0f =-，所以函数()f x 在(,ln(2))a -∞-上没有零点.所以()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围是(0,).+∞ ……………………………………………………9分 （III ）证明:当0a =时，()()(1)e e ln 1xxf xg x x x x -=-+---. 设()e ln 1xh x x x x =---，其定义域为(0,)+∞，则证明()0h x >即可. 因为1()(1)e x x h x x x+'=+-，所以(0.1)0h '<，(1)0h '>.又因为21()(2)e 0xh x x x ''=++>，所以函数()h x '在(0,)+∞上单调递增. 所以()0h x '=有唯一的实根0(0,1)x ∈，且01ex x =. 当00x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>. 所以函数()h x 的最小值为0()h x . 所以00000()()e ln 1xh x h x x x x ≥=---00110x x =+--=.所以()()0f x g x -≥. …………………………………………………………14分 3、解：（Ⅰ）因为1()e x ax f x +=，所以1()exax a f x -+-'=. 依题意，(0)2f '=-,解得1a =-. 所以1()e x x f x -+=，2()e xx f x -'=. 当2x >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数； 当2x <时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；所以函数()f x 的最小值是21(2)e f =-. …………………………6分 （Ⅱ）因为1()e x ax f x +=，所以1()e xax a f x -+-'=. （1） 若0a =，则1()0ex f x '=-<.此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.（2） 若0a ≠，令()0f x '=得111a x a a-==-.(ⅰ)若110a-≤，即01a <≤，则()0f x '<在()0,1上恒成立.此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.(ⅱ)若1011a <-<，即1a >时，由()0f x '>得101x a<<-； 由()0f x '<得111x a -<<.此时()f x 在1(0,1)a -上为增函数，在111a-（，）上为减，不满足条件.(ⅲ)若111a-≥即0a <.则()0f x '<在()0,1上恒成立. 此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.综上，1a ≤. …………………………………………………13分4、解：（Ⅰ）由ax x x x f +⋅=ln )(得1ln )('++=a x x f .当1=a 时，2ln )('+=x x f ，1)1(=f ，2)1('=f ，求得切线方程为12-=x y……………………4分 （Ⅱ）令0)('=x f 得)1(+-=a e x .∴ 当e e a 1)1(≤+-，即0≥a 时，],1[e ex ∈时0)('≥x f 恒成立，)(x f 单调递增，此时ea ef x f 1)1()(min -==. 当e ea ≥+-)1(，即2-≤a 时，],1[e ex ∈时0)('≤x f 恒成立，)(x f 单调递减，此时e ae e f x f +==)()(min . 当e e e a <<+-)1(1，即02<<-a 时，),1[)1(+-∈a e ex 时0)('<x f ，)(x f 单减； ),()1(e e x a +-∈时0)('>x f ，)(x f 单增，此时)1()1(min )()(+-+--==a a e e f x f .……………………9分（Ⅲ）)1(ln ln )12()(')('-+=-+=+-+=x a x a ax x a ax x f x g .∴ 当0≥a 时，)2,1(∈x 时0ln >x ，0)1(≥-x a ，0)('>x g 恒成立，函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增，充分条件成立；又当21-=a 时，代入2121ln )1(ln )('+-=-+=x x x a x x g .设2121ln )(')(+-==x x x g x h ，)2,1(∈x ，则022211)('>-=-=xxx x h 恒成立∴ 当)2,1(∈x 时，)(x h 单调递增.又0)1(=h ，∴当)2,1(∈x 时，0)(>x h 恒成立. 而)(')(x g x h =，∴当)2,1(∈x 时，0)('>x g 恒成立，函数)(x g y =单调递增.∴ 必要条件不成立综上，0≥a 是函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增的充分不必要条件. ……………………14分5、解：（Ⅰ）因为2()3()f x x a '=-,所以(0)3f a '=-，因为(0)0f =， 所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为3y ax =-. ……4分（Ⅱ）因为2()3()f x x a '=-，所以，当0a ≤时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，()f x 没有极值点，不符合题意；…………………5分 当0a >时，令()0f x '=得xa =±，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：……………………7分因为函数()f x 在区间(1-，2)仅有一个极值点， 所以2,1.a a <-≤-⎪⎩所以14a ≤<. ……………………9分(Ⅲ) 令3()()(13)h x f x x a x a x a =+-=+--，方程()f x a x =-在[0]，a -上恰有两个实数根等价于函数()h x 在[0]，a -上恰有两个零点.2()3(13)h x x a '=+-，因为1a >，令()0h x '=，得x = ……………………10分所以(0)0()0(0.h h a h ⎧⎪≤⎪⎪-≤⎨⎪⎪>⎪⎩,,所以3230320((130.,,a a a a a a ⎧⎪≥⎪⎪-+-≤⎨⎪⎪-->⎪⎩，所以0122(20.3,或a a a a a ⎧⎪≥⎪⎪≤≥⎨⎪⎪->⎪⎩……………………12分 因为1a >，所以2(203a a ->恒成立. 所以2a ≥，所以实数a 的最小值为2. ……………………14分2(2)03a a ->恒成立，证明如下：(t t =>， 所以213a t =+，3221(2=233a a t t ---令321()23p t t t =--，2()62p t t t '=-，当t >2()603p t '>⨯->，所以()p t在)+∞上单调递增，所以()2110p t >=>. 6、解：（Ⅰ）令()0f x =，得1ex =. 所以，函数()f x 零点为1e.由ln 1()x f x x+=得()221(ln 1)ln x x x x f x x x ⋅-+-'==， 所以21()e ef '=，所以曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程为210e ()e y x -=-，即2e e y x =-. （Ⅱ）由函数ln 1()x f x x+=得定义域为(0,)+∞. 令()0f x '=，得1x =.所以，在区间(0,1)上，'()0f x >；在区间(1,)+∞上，'()0f x <.故函数()f x 的单调递增区间是()01，，单调递减区间是()1+∞，. （Ⅲ）由（Ⅰ）可知()f x 在1(0,e )-上()0f x <，在1(e ,)-+∞上()0f x >.由（Ⅱ）结论可知，函数()f x 在1x =处取得极大值(1)1f =，所以，方程()f x a =有两个不同的实根12,x x 时，必有01a <<，且112e 1x x -<<<，法1：所以21()(1ln )()f a a a f x a=->=，由()f x 在(1,)+∞上单调递减可知21x a>， 所以2111x x a->-. 法2：由()f x a =可得ln 1x ax +=，两个方程同解.设()ln 1g x x ax =+-，则11()axg x a x x-'=-=，当01a <<时，由()0g x '=得1x a=，所以(),'()g x g x 在区间(0,)+∞上的情况如下：x1(0,)a 1a1(,)a+∞'()g x+-()g xZ极小]所以11x a <，21x a >,所以2111x x a ->-.7、8、解：（Ⅰ）由题意2()221f x x ax a '=++-, ……………1分因为()f x 在(0,0)点处切线方程为y x =， 所以(0)211f a '=-=，解得1a =， 经检验1a =时满足条件． ……………3分（Ⅱ）由（I ）2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++- 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-,……………4分① 当1a >时，121a -<-，令'()0f x >，解得12x a <-或1x >-; 令'()0f x <，解得121a x -<<-．所以函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ……………6分② 当1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立， 且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．……………7分 ③ 当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞， 单调减区间为(1,12)a --．……………9分（Ⅲ）直线AM 与()f x 的图象的交点个数是3个；…………10分直线BM 与()f x 的图象的交点个数是3个；……………11分 直线CM 与()f x 的图象的交点个数是2个．……………13分9、解：（Ⅰ）'2()36f x x x =-，……………….1分 由'()0f x =，可得02x x ==或………………2分'()()f x f x x ，随变化情况如下表：所以，当0x =时，()f x 有极大值0，当2x =时，()f x 有极小值4-……………….5分（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，则32()(3)4F x x a x =-++， 法一：'2()32(3)F x x a x =-+，由'()0F x =，可得2(3)03a x x +==或 ① 当2(3)03a +≤，即3a ≤-时，'()0F x ≥在[0+)，∞上恒成立，所以，此时(0)4F =为最小值，所以()0F x ≥恒成立，即()()f x g x ≥………………7分②当2(3)03a +>，即3a >-时，所以，当2(3)3a x +=时，()F x 取得最小值，若要满足()()f x g x ≥，则2(3)()03a F +≥ 3232(3)2(3)2(3)4()[](3)[]4(3)433327a a a F a a +++=-++=-++ 由34(3)4027a -++≥，得0a ≤，所以30a -<≤……………….10分 由①②可得a 的取值范围是0a ≤……………….11分法二：由()()f x g x ≥，得243a x x ≤+-，令24()3G x x x ≤+- '38()1G x x≤-，由'()0G x =，得2x =，当02x <<时，'()0G x <， 当2x >时，'()0G x <，所以，当2x =时，()G x 在[0+)∞，上取得最小值，即(2)=0G 因为()a G x ≤，所以0a ≤（Ⅲ）函数()f x 的图象是中心对称图形，其对称中心是(12)-，……………….13分10、解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =， 所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ， 所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=．同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-． 对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-， 所以2233ab a--=-， 即2932a b -=-， 这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]11、解：（Ⅰ）2()()xf x ax bx c e =++，定义域：R22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．令()0f x '=，则3x =-和0x =，由0x e >，0a >，则则()f x 的单调增区间是(,3)-∞-，(0,)+∞，单调减区间是(3,0)-， ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(0)f x f c ==极小值，3-和0是2(2)0ax a b x b c ++++=的根，则1230(3)0c a b a b c a ⎧⎪=-⎪+⎪-+=-⎨⎪+⎪-⨯=⎪⎩，解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2()(1)x f x x x e =+-，又由（Ⅰ）知，335()(3)(931)f x f e e -=-=--=极大值 ………13分12、解：（Ⅰ）若2a =-，则1()2ln f x x x x=--+，(0,)x ∈+∞ 2(21)(1)()x x f x x-+-'=由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >.所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,)+∞. ………………3分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==,1a ≥. 令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤；由()0f x '<得，11ex ≤<. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a≤<或1e x <≤；由()0f x '<得，11x a <<.min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<.若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1ef x f =<，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………9分（III ）(0,)x ∈+∞,2()(1)ln (1)1g x ax a x x a x =-+++-.所以'()2(1)ln g x ax a x =-+.设()2(1)ln m x ax a x =-+，12(1)()2a ax a m x a x x+-+'=-=.令()0m x '= 得 12a x a +=.当102a x a+<<时，()0m x '<；当12a x a +>时，()0m x '>.所以()g x '在1(0,)2a a +上单调递减，在1(,)2a a++∞上单调递增.所以()g x '的最小值为11()(1)(1ln )22a a g a a a++'=+-.因为1e a >，所以1111ee 22222a a a +=+<+<. 所以()g x '的最小值11()(1)(1ln )022a a g a a a++'=+->. 从而，g()x 在区间(0,)+∞上单调递增.又5210352111g()(62ln )1e e e a a a a a+=++-， 设3()e (2ln 6)h a a a =-+.则32()e h a a '=-.令()0h a '=得32e a =.由()0h a '<，得320ea <<； 由()0h a '>，得32e a >.所以()h a 在320e （，）上单调递减，在32+e ∞（，）上单调递增. 所以min 32()()22ln 20eh a h ==->.所以()0h a >恒成立.所以3e 2ln 6a a >+，32ln 61e a a+<.所以527272272111111111g()1=110e e e e e e e e ea a a a +<+-++-<++-<.又(1)20g a =>，所以当1ea >时，函数()g x 恰有1个零点. …………14分。
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2017年北京市西城区高三文科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 若集合A=x∈R x2<3x，B=x−1<x<2，则A∪B= A. x−1<x<0B. x−1<x<3C. x0<x<2D. x0<x<3对应的点的坐标为 2. 在复平面内，复数2i1−iA. −1,1B. 1,1C. 1,−1D. −1,−13. 下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是 1A. y=−x+1B. y=x−12C. y=sin xD. y=x4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A. 2B. 6C. 30D. 2705. 若log2a+log1b=2，则有 A. a=2bB. b=2aC. a=4bD. b=4a6. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是 A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱7. 函数f x=sin x+φ的图象记为曲线C．则“f0=fπ”是“曲线C关于直线x=π2对称”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线y=12的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是 A. −∞,−1B. −∞,−2C. −∞,−3D. −∞,−4二、填空题（共6小题；共30分）9. 若函数f x=x x+b是偶函数，则实数b=．10. 已知双曲线x2a −y2b=1的一个焦点是F2,0，其渐近线方程为y=±3x，该双曲线的方程是．11. 向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么a⋅b=．12. 在△ABC中，a=3，∠C=2π3，△ABC的面积为334，则b=；c=．13. 已知点M x,y的坐标满足条件x−1≤0,x+y−1≥0,x−y+1≥0.设O为原点，则OM的最小值是．14. 已知函数f x=x2+x,−2≤x≤c1x,c<x≤3．若c=0，则f x的值域是；若f x的值域是 −14,2，则实数c的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2sin2x−cos2x+π3．（1）求f x的最小正周期；（2）求证：当x∈0,π2时，f x≥−12．16. 已知数列a n是公比为13的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（1）求a n的通项公式；（2）设数列a n的前n项之积为T n，求T n的最大值．17. 某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．（1）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（2）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（3）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B 类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（1）求证：A1C⊥平面ABC1；（2）求证：A1A∥EF；（3）记四棱锥B1−AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V．若V1V =16，求BFBC的值．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0过A2,0，B0,1两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y−4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB是平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知函数f x=x2ln x−2x．（1）求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）求证：存在唯一的x0∈1,2，使得曲线y=f x在点 x0,f x0处的切线的斜率为f2−f1；（3）比较f1.01与−2.01的大小，并加以证明．答案第一部分1. B2. A 【解析】由2i1−i =2i1+i1−i1+i=−2+2i2=−1+i．所以复数2i1−i对应的点的坐标为−1,1．3. D 4. C 5. C6. B7. C8. B第二部分9. 010. x2−y23=111. 412. 1，1313. 2214. −14,+∞ ，12,1第三部分15. （1）因为f x=2sin2x−cos2x+π3=1−cos2x−cos2x⋅cos π−sin2x⋅sinπ=3sin2x−3cos2x+1=3sin2x−π3+1,所以f x的最小正周期T=2π2=π．（2）因为0≤x≤π2，所以−π3≤2x−π3≤2π3．所以sin2x−π3≥sin −π3=−32，所以f x≥−12．16. （1）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2a2+6=a1+a3．因为数列a n是公比为13的等比数列，所以2a13+6=a1+a19，解得a1=27．所以a n=a1⋅q n−1=13n−4．（2）令a n≥1，即13n−4≥1，得n≤4，故正项数列a n的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．所以当n=3或n=4时，T n取得最大值，T n的最大值为T3=T4=a1⋅a2⋅a3=729．17. （1）依题意得，样本中B类学生所占比例为0.02+0.04×10=60%，所以A类学生所占比例为40%．因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（2）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．依次为：ab,cde，ac,bde，ad,bce，ae,bcd，bc,ade，bd,ace，be,acd，cd,abe，ce,abd，de,abc．所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为610=35．（3）k1<k2．18. （1）因为AB⊥平面AA1C1C，A1C⊂平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．因为AC1∩AB=A，AC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC，所以A1C⊥平面ABC1．（2）在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，所以A1A∥平面BB1C1C．因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．（3）记三棱锥B1−ABF的体积为V2，三棱柱ABF−A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1−ABF与三棱柱ABF−A1B1E同底等高，所以V2V3=13，所以V1V3=1−V2V3=23．因为V1V =16，所以V3V =16×32=14．因为三棱柱ABF−A1B1E与三棱柱ABC−A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为14，所以BFBC =14．19. （1）由题意得，a=2，b=1．所以椭圆C的方程为x 24+y2=1．设椭圆C的半焦距为c，则c=2−b2=3，所以椭圆C的离心率e=ca =32．（2）由已知，设P t,4−t，Q x0,y0．若PAQB是平行四边形，则PA+PB=PQ，所以2−t,t−4+−t,t−3=x0−t,y0−4+t，整理得x0=2−t，y0=t−3．将上式代入x02+4y02=4，得2−t2+4t−32=4，整理得5t2−28t+36=0，解得t=185或t=2，此时P185,25或P2,2．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在P185,25或P2,2满足题意．20. （1）函数f x=x2ln x−2x的定义域是0,+∞，导函数为fʹx=2x ln x+x−2．所以fʹ1=−1，又f1=−2，所以曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为y=−x−1．（2）由已知f2−f1=4ln2−2．所以只需证明方程2x ln x+x−2=4ln2−2在区间1,2上有唯一解．即方程2x ln x+x−4ln2=0在区间1,2上有唯一解．设函数g x=2x ln x+x−4ln2，则gʹx=2ln x+3．当x∈1,2时，gʹx>0，故g x在区间1,2上单调递增．又g1=1−4ln2<0，g2=2>0，所以存在唯一的x0∈1,2，使得g x0=0．综上，存在唯一的x0∈1,2，使得曲线y=f x在点 x0,f x0处的切线的斜率为f2−f1．（3）f1.01>−2.01．证明如下：首先证明：当x>1时，f x>−x−1．设 x=f x−−x−1=x2ln x−x+1，则 ʹx=x+2x ln x−1．当x>1时，x−1>0，2x ln x>0，所以 ʹx>0，故 x在1,+∞上单调递增，所以x>1时，有 x> 1=0，即当x>1时，有f x>−x−1．所以f1.01>−1.01−1=−2.01．。