弹塑性力学 弹性力学求解方法
《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt
x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
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§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
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《弹塑性力学》第十章 弹性力学的能量原理
种状态可能应变上作的虚变形功。
——虚功原理
27.06.2021
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21
§10-2 虚功方程
W e V fiu i ( k 2 ) d V S X iu i ( k 2 ) d S Vi ( k 1 j )i ( k 2 j ) d W V i
2.2虚功方程的证明：
SX i(k 1 )u i(k 2)d SSn j i(jk 1 )u i(k 2)d S
ij
W
ij
——弹性关系
如果将几何关系引入应变能, U、W 为位
移的函数。
应变余能（类似应变能）定义
Uc VWcdV
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5
§10-1 几个基本概念和术语
应变余能密度
Wc
i
0
jijij
dij ij
——单位体积的应变余能
Wc 与积分路径无关，只与 终止状态和初始状态有关。
P
第一状态：一对力P 作用在
直杆的垂直方向，局部效应，
b
在杆两端点伸长 ？
P
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§10-3 功的互等定理
第二状态：让一对力Q 作用同一杆两端点，很
易求得一对力Q引起杆横向缩短 。
Q
Qx
对两种状态应用功的互等定理 P = Q Q第二状态引起的 易求:
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Vfi u id V S X i u id SV i j id jV
▪虚位移原理举例
图示受均布荷载q作用
q
的等跨连续梁，EI为常数， A
x CB
中间支座为弹性支座。试用 z l
l
虚位移原理写出梁的挠曲线
弹塑性力学总结汇编
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
05-弹塑性力学问题的提法
(5 - 6)
其中
如采用全量理论有: i 3 i 1 ex ( x ( y z ))， xy xy i 2 i i 3 i 1 e y ( y ( x z ))， yz yz i 2 i i 3 i 1 ez ( z ( x y ))， zx zx i 2 i 或 ekl 3 i skl 2 i
5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性
ij, j Fbi 0
1 ij (ui , j u j ,i ) 2 E E ij ij ij e 1 (1 )(1 2 ) 1 或 ij ij ij E E
(5 1) (5 2) i , j x, y , z (5 5) (5 4)
或
上式称为梅- 纳维方程
(5 11)三个方程含有三个未知 函数u, v, w, 若边界条件也用 位移表示，积分（ 5 - 11 ）可解该弹性力学问题 。 若不含体力，则积分（ 5 - 12）。 这就是位移法。
2. 应力法 用6个应力作基本未知量，须将15个泛定方程通过消元，变 成应力方程。为此，6个几何方程消元后得6个应变协调方 程，将广义胡克定律代入变成6个应力表示的协调方程。应 力法就是求解6个应力，使之满足3个平衡方程，6个应力协 调方程，及边界条件。
1. 位移法 用位移作基本未知量， 将泛定方程改用位移u, v, w表示。为此： (5 - 2)代入(5 - 5) 可得 u e x 2G ( ) x 1 2 v e y 2G ( ) y 1 2 w e z 2G ( ) z 1 2 u v xy G ( ) y x u w xz G ( ) z x w v zy G ( ) y z
弹塑性力学定理和公式
弹塑性力学定理和公式应力应变关系弹性模量 ||广义虎克定律1.弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。
常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。
2.广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。
A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。
B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性方程确定，即(1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为(2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。
弹塑性力学讲义基本方程
平衡方程
σ x τ yx τ zx + + +X =0 x y z
几何方程
u εx = x
γ xy =
γ yz =
u v + y x
v w + z y
τ xy σ y τ zy + + +Y = 0 x y z
εy =
v y
τ xz τ yz σ z + + +Z =0 x y z
将 σz = τzx = τzy =0(平面应力) σz=σz (x,y),τzx =τzy =0(平面应变) σ , τ 代入空间问题的平衡方程式,得
σ x τ yx + + X =0 x y
τ xy σ y + +Y = 0 x y
平面问题几何方程
u εx = x
εy =
v y
γ xy =
u v + y x
物理方程
位移解法
以位移作为未知数
几何方程求应变
物理方程求应力
由位移表示的平衡微分方程 θ G 2u + (λ + G ) + X = 0 x
G 2 v + (λ + G ) θ +Y = 0 y
θ +Z =0 z
G 2 w + ( λ + G )
其中
2 2 2 = 2+ 2+ 2 x y z
2
Su
圆筒受内外水压力作用(静力边界问题)
静力边界条件 σxl+τyxm+τzxn= X τ τ = τxyl+σym+τzyn=Y σ τ = τxzl+τyzm+σzn= Z τ σ =
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域之一。
本文将介绍弹塑性分析方法的基本概念、应用领域以及常用的数学模型和计算方法。
一、弹塑性分析方法的基本概念弹塑性分析方法是一种综合运用弹性力学和塑性力学理论的方法，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
在弹塑性分析中，材料会先发生弹性变形，当应力达到一定临界值时，开始发生塑性变形。
弹塑性分析方法可以更准确地预测材料的变形和破坏行为。
二、弹塑性分析方法的应用领域弹塑性分析方法广泛应用于工程结构、土力学、岩石力学等领域。
例如，在工程结构的设计中，使用弹塑性分析方法可以预测结构在外载荷作用下的变形和破坏行为，从而确定结构的合理尺寸和材料强度要求。
在土力学和岩石力学中，弹塑性分析方法可以用于预测土体和岩石的变形和破坏特性，为工程施工和地质灾害的预测提供依据。
三、弹塑性分析的数学模型弹塑性分析方法使用了多种数学模型来描述材料的力学行为。
其中常用的模型包括线性弹性模型、单一参数塑性模型和本构模型等。
1. 线性弹性模型：线性弹性模型假设材料的应力与应变之间呈线性关系，常用于描述小应变范围内的材料行为。
2. 单一参数塑性模型：单一参数塑性模型假设材料的塑性行为由一个参数来描述，常用于描述中等应变范围内的材料行为。
3. 本构模型：本构模型是更为复杂的数学模型，可用于描述广泛的材料行为。
常见的本构模型包括弹塑性本构模型、弹塑性本构模型、弹粘塑性本构模型等。
四、弹塑性分析的计算方法弹塑性分析方法使用了多种计算方法来求解材料的变形和应力分布。
其中常用的计算方法包括有限元法、边界元法和等。
这些方法可以将实际结构离散成有限个子区域，通过求解子区域的变形和应力，得到整个结构的变形和应力分布。
这些计算方法具有高精度和较强的通用性，广泛应用于工程和科学研究领域。
综上所述，弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
《弹塑性力学》第六章 弹性力学平面问题的直角坐标解答
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§6-3 平面问题的基本解法
( x )B
(
x
)
A
B
A FydS
B
YdS
A
Ry
(
y
)B
(
y
)
A
B
A FxdS
B
A XdS Rx
13
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.1 平衡微分方程（2个）
两个平面问题一致： ,+f=0, , =1,2
x yx X 0 xy y Y 0
x y
x y
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14
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.2 几何方程（3个）
2.5 边界条件
位移边界条件：u u (=1,2）
u u , v v （在Su上）
2020/2/9
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
力的边界条件： X n
X l x m yx
Y l xy m y （在S上）
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§6-3 平面问题的基本解法
x1 (x)
x3 (z)
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x2 (y)
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§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题
▪ 受 体 = 力力conf和3s=t约f面z束=均情0可，况看面：成力沿对zX称(3或面x，Z3）对轴称0，方结这向构样无受x变对3 =化称z，
荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为 零，即
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2 I1 0 2 x 2 I1 0 2 y 2 I1 0 2 z
2 I1 2 xy 0 1 xy 2 I1 2 yz 0 1 yz 2 I1 2 zx 0 1 xz
以应力分量表 示的控制方程
弹性力学求解方法 弹性力学解的基本性质
• 叠加原理 两组不同外力同时作用在同一物体上的解，等于这两组外 力分别单独作用时的解的叠加，且与作用顺序无关。 叠加原理用于位移边界时要求总位移满足给定的位移边 界条件，而单独的位移不一定满足边界条件 叠加原理是线弹性理论中普遍适用的一般性原理，对于 非线性问题不成立，如：大变形情况、非线性弹性或弹 塑性材料以及荷载随变形而变的非保守力系或边界用非 线性弹簧支承的情况。
xy l y m zy n T y xz l yz m z n T z
xl yx m zx n T x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ux u x uy u y uz u z
混合边界条件 一部分边界给定表面力作用，而另一部分边界上给 定已知位移约束。
弹性力学求解方法 弹性力学解的基本性质
• 解的唯一性定理 在给定荷载作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点 的应力、应变解是唯一的，如果物体的整体刚体位移受到 约束，则位移解也是唯一的。 无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和 边界条件，就一定是问题的真解； 涉及到温度荷载时解的唯一性定理依然成立； 无如果弹性体存在初应力，则解就不是唯一的。
• 几何方程 u x u x u y xy yx x x y x u y u y u z yz zy y y y z u z u z u x zx xz z z x z
以位移分量表 示的控制方程
拉普拉斯算子
2 2 2 2 2 2 2 x y z
弹性力学求解方法 弹性力学求解方法
• 位移解法 半逆解法 对于一个给定的问题，假设部分解，然后通过满足控制 方程和边界条件给出其余部分解，或者给出全部解，然 后校核其是否满足控制方程和边界条件。 逆解法 对于一个给定的问题，如果首先给出一组满足全部控制 方程的解，然后去判断这组解对应什么样的弹性力学问 题，这就是逆解法。
弹性力学求解方法 弹性力学求解方法
• 应力解法 以应力作为基本未知量，将基本方程化为用应力表示的控 制方程，边界条件也用应力表示；然后在给定的边界条件 下求解控制方程得到应力解，再将应力解代入本构方程得 到应变分量，再对几何方程积分求得位移分量。
2 x 1 2 y 1 2 z 1
弹性力学求解方法 圣维南原理
• 由作用在物体局部边界表面上的自平衡力系所引起的应力和 应变，在远离作用区的地方将衰减到可以忽略不计的程度。 • 若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力 系代替，则远离此区域的部分所受影响可以忽略不计。 • 利用圣维南原理可以把位移边界转化为等效的力边界。
弹性力学求解方法 弹性力学求解方法
• 位移解法 以位移作为基本未知量，将基本方程化为用位移表示的控 制方程，边界条件也化为用位移表示；然后在给定的边界 条件下求解控制方程，从而求得位移解，然后将位移代入 几何方程求导得到应变分量，再将应变代入本构方程求得 应力分量。
2 v G u x ( G ) x Fx 0 v 2 Fy 0 G u y ( G ) y 2 v Fz 0 G u z ( G ) z
x 2G x v , xy G xy • 本构方程 y 2G y v , yz G yz z 2G z v , zx G zx
弹性本构方程 弹性力学基本方程
• 边界条件 力边界条件 位移边界条件
四川农业大学土木工程学院
土木工程专业硕士研究生课程
弹塑性力学
—弹性力学求解方法
弹性力学求解方法 主要内容
§ 弹性力学基本方程
§ 弹性力学求解方法 § 弹性力学解的基本性质 § 圣维南原理
弹性力学求解方法 弹性力学基本方程
• 平衡微分方程
x yx zx Fx 0 z y x xy y zy Fy 0 y z x yz z xz Fz 0 z y x