高中数学 1.2.1任意角的三角函数(二)课时跟踪检测 新人教A版必修4
三年级【数学】1.2.1 任意角的三角函数(人教A版必修4)2---新编版
例4 判断满足以下条件的角的终边所在的位置： ①sinθ<0 且 tanθ>0
②cosθ<0 且 tanθ<0
③cosθ>0 且 sinθ<0 ④cosθ≤0 且 tanθ≥0
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求cosα，tanα的值。
y 2 ,r 3 2
3、
(1)求函数y
1
1 sin
x
的定义域。
解：∵1＋sinx≠0， ∴ sinx≠－1
即角x的终边不能在y轴的负半轴上。
∴
x 2k 3
2
，k∈Z，
故函数的定义域是
{x|x∈R，且
x 2k
3
2
，k∈Z}
(2)求 y cos x tan x 的定义域.
(3)求 y sin x lg cos x 的定义域.
r x2 y2
三角函数
定义域
sin
R
cos tan
R
{ k ,(k Z)
}
2
小结
小结 三角函数值的符号： “第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
Tanx cotx
cosx
诱导公式一
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
例２．已知角α=
4
3
，分别求sinα，
cosα，tanα.
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单
位长度为半径的圆为单位圆(unit circle).
y
B
AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1
O
x
1 2
2014年人教A版必修四教案 1.2.1任意角的三角函数(2)
课 题：1.2.1 任意角的三角函数（二）教学目标：（1）掌握三角函数的符号；（2）根据定义理解与运用公式一，把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值.（3）初步应用定义分析与解决与三角函数值有关的一些简单问题. 教学重点：三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.教学难点: 理解转化，灵活运用诱导公式（一）. 教学设想： 一、复习回顾：任意角的三角函数定义是什么？ 二、探究新知：1.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例1．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.练习：书P15练习42.提问：角的终边落在坐标轴上三个三角函数值是多少？ 完成书上P15练习33.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+= (其中k Z ∈)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值.例2.确定下列三角函数值的符号:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan 3π练习： tan(－666°36’)、tan113π例3.求下列三角函数值:(1)9cos4π; (2)11tan()6π-三、学习小结(1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(2)请写出各三角函数的定义域；(3)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?。
高中数学 1.2 任意角的三角函数习题课课件 新人教A版必修4
角度与弧度的互化
设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3. (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所 在的象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找 出与它们终边相同的所有角．
思路点拨：(1)
α1，α2
角 度―度 的―与 互→弧 化
任意角三角函数的定义
已 知 角 α 的 终 边 经 过 点 P( － 4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．
思路点拨： 求|OP| 任―意―角 的―三 定 ――角 义―函→数 sin α、cos α与tan α
解：r＝ －4a2＋3a2＝5|a|. 若 a>0，则 r＝5a，角 α 是第二象限角， sin α＝yr＝35aa＝35， cos α＝xr＝－54aa＝－45， tan α＝yx＝－3a4a＝－34. 若 a<0，则 r＝－5a，角 α 是第四象限角， sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.
α1，α2的 弧度数
将―角 分―进 解→行
分别表示为β＋2kπ的 形式，其中β∈[0，2π
―→
结果
(2)
β1，β2
角度与―弧 ―→度互化
β1，β2的 角度数
―将 分―角 解→
写出适合 条件的角
解：(1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－517800π＝－196π＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝715800π＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第一象限．
第一章 三角函数 习题课（一） 任意角的三角函数
1．能进行弧度与角度的互化，认识终边相同的角并会简单 运用．
高中数学 课时跟踪训练1 任意角 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
课时跟踪训练(一)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 任意角的概念 1．给出下列说法： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析] 时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案] －120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解] 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二 终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z[解析] 因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k ·360°＋45°，k ∈Z .[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( ) A ．x 轴的非负半轴 B ．y 轴的非负半轴 C ．x 轴的非正半轴D ．y 轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三 角αn，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， 得k ·180°<α2<k ·180°＋45°，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．[答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． [解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________. [解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z . [答案]k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{ 0°<α<90°－90°<－β<0°， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数课件 新人教A版必修4
点 P与原点的距离 r x2 y2 0
那么① ②
y 叫做
的正弦，即
r
x r
叫做
的余弦，即
sin y
r
cos x
r
③
y x
叫做 的正弦，即
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P在角的终边上
的位置无关.
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？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos
tan( k 2 ) tan
其中 k z
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 0到2 或0到360角的三角函数值 .
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（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin 0
4
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
5
sin( 4 )
3
tan(17 )
8
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例3 求下列三角函数值：
（1）
cos 9
4
（2）
tan( 11 )
6
解：（1）
cos
9
4
cos(
4
2 ) cos
4
2 2
（2）tan( 11 ) tan( 2 ) tan tan 3
例2 确定下列三角函数值的符号：
（1）cos 250（2）tan( 672（) 3） sin
解： （1）因为
250是第三象限角，所以 co2s5 00
4
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)
1．2.1 任意角的三角函数(一)课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一)及其应用．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k ·2π)＝______，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z .一、选择题1．sin 780°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－122．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．55．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3}6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4二、填空题7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______. 8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.三、解答题11．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积． 3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)答案知识梳理 1.y r x ryx3.相等 sin α cos α tan α作业设计 1．A 2.B3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]4．A [r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.]5．D [若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1.∴函数f (x )的值域为{－1,3}．]6．D [由任意角三角函数的定义，tan θ＝y x ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.故选D.]7．－7138．－2<a ≤3 解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. 9．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0， n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.12．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝73.13．C [∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4 (n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ， cos 2θ有可能取负值．]14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝－15a 2＋8a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.。
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数能力提升(含解析)新
【优化方案】2013-2014学年高中数学 1.2.1 任意角的三角函数能力提升（含解析）新人教A 版必修41．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝－cos α2，则α2角属于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )，k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2终边在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2终边在第三象限．而|cos α2|＝－cos α2⇒cos α2≤0，∴α2终边在第三象限．2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，则cos α＝________.解析：∵θ∈(π2，π)，∴cos θ<0，r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，∴cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．(1)求函数y ＝2cos x －1的定义域；(2)求满足tan x ＝－1的角x 的集合．解：(1)如图，∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12. ∴函数定义域为[2k π－π3，2k π＋π3](k ∈Z )．(2)在单位圆过点A (1,0)的切线上取AT ＝－1，连结OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1、P 2，则OP 1或OP 2是角α的终边，则α的取值集合是{α|α＝3π4＋2k π或α＝7π4＋2k π，k ∈Z }．如图．4．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M (35，m )，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0， ∴α是第三或第四象限角或y 轴的负半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．(2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)课时训练(含解析)新人教A版必修4(
高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（1）课时训练（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数（1）课时训练（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．2。
1 任意角的三角函数(一)课时目标1。
借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）定义.2。
熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一）及其应用．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为（x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝________,cos α＝________，tan α＝________。
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________,即：sin（α＋k·2π)＝______，cos（α＋k·2π)＝________，tan（α＋k·2π）＝________,其中k∈Z。
一、选择题1．sin 780°等于（）A。
错误! B．－错误! C。
错误! D．－错误!2．点A(x,y）是300°角终边上异于原点的一点，则错误!的值为（)A。
错误! B．－错误! C。
错误! D．－错误!3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．角α的终边经过点P（－b,4)且cos α＝－错误!,则b的值为( )A．3 B．－3 C．±3 D．55．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝错误!＋错误!＋错误!的值域是（) A．｛－3，－1,1，3} B．｛－3,－1}C．{1，3｝ D．{－1，3｝6．已知点P错误!落在角θ的终边上，且θ∈［0,2π)，则θ的值为（)A。
高中数学1.1.1任意角课时跟踪检测新人教A版必修4
【优化指导】2015年高中数学 1.1.1任意角课时跟踪检测新人教A版必修41．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A．－300°B．－60°C．600°D．1 380°解析：与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.答案：A2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：特值法，取α＝30°，可知C正确．答案：C3．角α的终边经过点C(－1,0)，则α是( )A．第二象限角B．第三象限角C．终边落在x轴非正半轴上的角D．既是第二象限角又是第三象限角解析：点C(－1,0)在x轴的非正半轴上，故选C.答案：C4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第________象限角．解析：当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．答案：一或三5．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式： (1)重合：___________________________________________________________； (2)关于x 轴对称：____________________________________________________. 解析：据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，(2)α＝k ·360°－β(k ∈Z )．答案：α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) α＝k ·360°－β(k ∈Z )6．已知角x 的终边落在图示阴影部分区域(包括边界)，写出角x 组成的集合．解：(1){x |k ·360°－135°≤x ≤k ·360°＋135°，k ∈Z }． (2){x |k ·360°＋30°≤x ≤k ·360°＋60°，k ∈Z }∪ {x |k ·360°＋210°≤x ≤k ·360°＋240°，k ∈Z } ＝{x |2k ·180°＋30°≤x ≤2k ·180°＋60°或(2k ＋1)·180°＋30°≤x ≤(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z } ＝{x |k ·180°＋30°≤x ≤k ·180°＋60°，k ∈Z }．7．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°解析：与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k ·360°，∵－360°＜α＜0°，∴－16136<k <－12536.∵k ∈Z ，∴k ＝－4.∴α＝－190°.答案：C8．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第一或第四象限角 解析：∵角2α的终边在x 轴上方，∴k ·360°<2α<k ·360°＋180°，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )．当k 为奇数时，α在第三象限；当k 为偶数时，α在第一象限．答案：C9．若将时钟拨快了10分钟，则分针转过了______度．解析：将时钟拨快10分钟，分针按顺时针方向转动，故为负角．分针转过的角度数是：－360°6＝－60°.答案：－6010．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α. 解：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为 {β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同， ∴10α＝α＋k ·360°，α＝k ·40°，k ∈Z . 又α为锐角，∴α＝40°或80°.11．已知集合A ＝{α|k ·180°＋30°≤α≤k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }，求A ∩B .解：如图所示，集合A 中角的终边是30°至90°角的终边或210°至270°角的终边，集合B 中角的终边是－45°至45°角的终边，∴A ∩B 的角的终边是30°至45°角的终边．∴A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．12．已知角α是第二象限角，求： (1)角α2是第几象限的角；(2)角2α终边的位置．解：(1)∵k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z .当k 为偶数时， α2在第一象限，当k 为奇数时，α2在第三象限，即α2为第一或第三象限角．(2)∵2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z ， ∴2α的终边在x 轴的下方．本课时是在初中学习角的概念的基础上，拓展角的范围，即任意实数大小的角．利用数形结合法理解各个概念是学习本节的关键．1．任意角包括正角、负角和零角，区分它们的关键是看角的终边按逆时针还是顺时针方向旋转．2．象限角和轴线角对于象限角的理解，要注意角的顶点必须为坐标原点，同时角的始边要与x轴的非负半轴重合，否则不能判断角是哪一个象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这样的角为轴线角．3．终边相同的角终边相同的角是本课时的重点和难点，在理解时应注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(3)为了使用方便，经常使角α在0°～360°之间，因此求终边相同的角时，可用此角减去360°的整数倍，使差在0°～360°之间．。
【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)
第一章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1．已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 2．若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，则sin α的值为A ．12-B ．12C ．3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，即点132⎛- ⎝⎭，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ．3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于A ．35B ．34-C ．45-D ．45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=35，故选A ．4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ=y r=–45，故选D ．5．若sinαtanα<0，且costanαα<0，则角α是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又costanαα<0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选C．6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，则x的值为A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，∴cosθ=29x+=–45，∴x=–4．故选D．7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于A．12B．–12C．–3D．–3【答案】B【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31-，），由任意角的三角函数的定义可知：sinα=()()221 231=-+-．故选B．9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是A．43B．43-C．43±D．310．已知4sin5α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】∵4sin5α=，并且P （–1，m ）是α45=，∴m =43，那么tan α=1m-= –m =–43，故选A ． 11．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上，∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选C ． 12．若角α终边经过点P （sin2π2πcos 33，），则sin α=A ．12BC ．12-D ． 【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin 2π2πcos 33，），即点P ，–12），∴x ，y =–12，r =|OP |=1，则sin α=y r=y =–12，故选C ．13．已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭，，则sin α=A ．12B C D ． 【答案】C【解析】由题意可得，x =12，y ，r =|OP |=1，∴sin α=y r，故选C ．14．已知角α的终点经过点（–3，4），则–cos α=A ．35B ．–35C ．45D ．–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点（–3，4），∴x =–3，y =4，r =|OP |=5，则–cos α=–35x r =，故选A ． 二、填空题15．若角α的终边与单位圆交于P （–35，45），则sin α=45；cos α=___________；tan α=___________．【答案】45；35-；43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P （–35，45），|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，∴由任意角的三角函数的定义可知：sin α=44515=，同理可得cos α=35-；tan α=445335=--；故答案为：45；35-；43-．16．已知23cos 4a x a-=-，x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是__________．17．已知角α的终边经过点P （–2，4），则sin α–cos α的值等于__________．35【解析】∵角α的终边经过点P （–2，4），∴x =–2，y =4，r =|OP 5，∴sin α=25y r =，cos α=xr= 5，则sin α–cos α3535． 18．适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________．【答案】[2k π–π，2k π]，k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α，∴–sin α≥0，∴sin α≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π，2k π]，k ∈Z ，故答案为：[2k π–π，2k π]，k ∈Z ．19．若角α的终边经过点（–1，–2），则tan α=___________．【答案】2【解析】∵角α的终边经过点（–1，–2），∴由三角函数定义得tan α=21--=2．故答案为：2． 20．已知角θ的终边经过点P （x ，2），且1cos 3θ=，则x =___________．2 【解析】∵角θ的终边经过点P （x ，2），且21cos 34x θ==+，解得x 22．21．若sinθ<0，cosθ>0，则θ在第___________象限．【答案】四【解析】由sinθ<0，可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角．由cosθ<0，可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角．取交集可得，θ在第四象限．故答案为：四．三、解答题22．已知点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【解析】因为点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，所以x=3m，y=–2m，r=–13m，sinα=21313yr==，cosα=31313xr=-=-，tanα=32yx=-．23．确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.24．已知角α的终边在直线y=2x上，分别求出sinα，cosα及tanα的值．【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上任意取一点P（1，2），则x=1，y=2，r=|OP5，∴sinα=255yr==cosα=55xr=，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上任意取一点P（–1，–2），则x=–1，y=–2，r=|OP|=5，∴sinα=yr=5=25，cosα=xr=5=5，tanα=yx=2．25．已知角α的终边上一点P （m ）（m ≠0），且sin α=4，求cos α，tan α的值．【解析】设P （x ，y ）．由题设知x=y=m ，所以r 2=|OP|2=（2+m 2（O 为原点），，所以sin α=mr =4，所以=，3+m 2=8，解得当r=，x=所以cos =，tan当m=r=，x=y=所以cos =，tan26．已知角α终边上一点P （m ，1），cos α=–13．（1）求实数m 的值； （2）求tan α的值．【解析】（1）角α终边上一点P （m ，1），∴x =m ，y =1，r =|OP∴cos α=–13，解得m =．（2）由（1）可知tan α=1m。
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【优化指导】2015年高中数学 1.2.1任意角的三角函数（二）课时
跟踪检测 新人教A版必修4
考查知识点及角度
难易度及题号
基础 中档 稍难
三角函数线的概念问题 1、2、3
三角函数线的应用 4、5、6 8、9
其他问题 7、10 11
1．已知MP，OM，AT分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则下列结论正确的是( )
A．MP＜OM＜AT B．OM＜MP＜AT
C．AT＜OM＜MP D．OM＜AT＜MP
解析：由于sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝3，所以OM＜MP＜AT.故选B.
答案：B
2．有三个命题：
①π6与5π6的正弦线相等；
②π3与4π3的正切线相等；
③π4与5π4的余弦线相等．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：根据三角函数线定义可知，π6与5π6的正弦线相等，π3与4π3的正切线相等，π4与
5π
4
的余弦线相反．
答案：B
3．如果MP、OM分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP
解析：如图可知，OM>MP>0.
答案：D
4．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23 ，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin
α
＋cos α＝23，∴α必为钝角．
答案：D
5．角θ(0＜θ＜2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为________．
解析：由题意，θ的终边在一、三象限的角平分线上，又0＜θ＜2π，故θ的值为
π
4
或5π4.
答案：π4或5π4
6．利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围：－12≤cos θ＜32.
解：图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ－23π≤θ＜2kπ－π6或2kπ
＋π6＜θ≤2kπ＋23π，k∈Z.
7．a＝sin 2π7，b＝cos 2π7，c＝tan 2π7，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：∵π4＜2π7＜π2，作出角2π7的三角函数线，如图可知cos 2π7＜sin 2π7＜tan
2π
7
，∴选D.
答案：D
8．在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是( )
A.π4，π2∪π，5π4
B.π4，π
C.π4，5π4
D.π4，π∪5π4，3π2
解析：如图所示，在直角坐标系xOy中，作第一、三象限的角平分线，由阴影部分可知，
答案为C.
答案：C
9．利用单位圆写出满足sin α＜22，且α∈(0，π)的角α的集合是__________．
解析：作出正弦线如图．
MP＝NQ＝22，当sin α＜22时，角α对应的正弦线MP、NQ缩短，∴0＜α
＜π4或
3π
4
＜α＜π.
答案：0，π4∪3π4，π
10．若α为锐角，则sin α＋cos α与1的大小关系是______________．
解析：如图所示，sin α＝MP，cos α＝OM，在Rt△OMP中，显然有OM＋MP＞OP，即
sin α＋cos α＞1.
答案：sin α＋cos α＞1
11．已知|cos θ|≤|sin θ|，求θ的取值范围．
解：如图所示，
根据|cos θ|＝|sin θ|，即θ角正弦线的绝对值和θ角余弦线的绝对值相等，则
θ角的终边落在y＝x和y＝－x上，满足|cos θ|≤|sin θ|的θ
角的终边落在阴影部分．
∴θ π4＋kπ≤θ≤3π4＋kπ，k∈Z.
1．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以
解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函
数的图象的作图工具．
2．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y轴的
正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；
当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切
值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.