数理统计第3章(2)

(mi − npi ) mi χ =∑ =∑ −n npi i=1 i=1 npi
2
皮尔逊定理： 充分大， 真的条件下， 皮尔逊定理： 当n充分大，在H0真的条件下，
χ ~ χ (l −k −1)
2 2
近 似
注：k是未知参数的个数。 是未知参数的个数。 6、 H0的拒绝域：当H0真，由分布 F(x,θ ) 的拒绝域：
提出原假设和备择假设：设X 为抛一次骰 提出原假设和备择假设：
子所得的点数 H0： X的分布律为
点数 1 频数 1/6 点数 1 概率 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6
1/6
H1： X的分布律不为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 1/6
3 1/6
4
5
6
1/6
1/6 1/6
（2）抽样获取信息：抛掷120次骰子，数据如下 次骰子， 抽样获取信息：抛掷120次骰子
分组如下： ① 确定分组组数和组距 分组如下：
log120 k =1+ = 8.64 ≈ 9 log 2 最 值- 最 值 大 小 * I = = 0.06222 9
*
② 确定组数 k 和组距I ：取I =0.05
③确定最小组的下限a0 取a0＝13.10 确定最小组的下限a 13. 实际用a 13.095） （实际用a0＝13.095） 频数分布如下表
2 2
{
}
（2）估计参数θ （3）计算 p和npi i （4）调整 （5）计算χ2 统计值 （6）统计决策
例： （1）H0： X的分布律为 2 3 4 5 点数 1 频数 1/6 点数 1 1/6 2 1/6 3 1/6 1/6 4 5
子样数据x 分组如下： 子样数据x1, x2 …, x120分组如下：
（最好是5或10的倍数） 最好是5 10的倍数 的倍数）
③ 确定各分组区间 ai＝ ai-1+I [ a0 ，a1 ）[ a1 ， a2 ）… [ an-1 ， an ] ④ 把x1, x2 …, xn按分组区间划分，计算落入每 按分组区间划分， 即每一组的频数） 个区间的数据的个数 mi （即每一组的频数） 原则：不漏不重（压限的数据归在上组） ＊原则：不漏不重（压限的数据归在上组） 例：某工厂生产一批铆钉，从中抽取200个，测 200个 某工厂生产一批铆钉，从中抽取200 得其直径(单位：毫米) 得其直径(单位：毫米)，所得数据从小到大依 次排列， 次排列，得到数据为
例：抛掷120次骰子，共有120个数字，这 抛掷120次骰子 共有120个数字 次骰子， 个数字， 120个数字取 120个数字取1，2，3，4，5，6 个数字取1 计算1 计算1的个数m1 ，2的个数m2 ，3的个数m3 , 4的个数m4 ，5的个数m5 ，6的个数m6。 数列m （1）数列m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6称为频数分布
第三章
主讲人：数学与信息科学学院 主讲人：
周婉枝
第三章
假设检验
§3.5 分布拟合检验 一、子样分布 子样分布的概念（两种理解） （一）子样分布的概念（两种理解） 1、X1, X2 …, Xn的联合分布。由独立性， 的联合分布。由独立性， 即为各子样分布的乘积。（本章不用） 即为各子样分布的乘积。（本章不用）
一般表示为： 一般表示为：
点数 1 频数 m1
2
m2
3
m3
4
m4
5
m5
6
m6
注：也可以用列的方式表示
（2）频数分布的表示方法（条形图） 频数分布的表示方法（条形图） 上例： 上例：如果实际数据为 点数 1 频数 21
频数
2 28
3 19
4 24
5 16
6
12
点数
2、组距分组：是把x1, x2 …, xn按区间划分为若 组距分组：是把x 干组，一个区间一个组， 干组，一个区间一个组，然后计算每一组的元 素个数，每一组的元素个数称为该组的频数。 素个数，每一组的元素个数称为该组的频数。 注：组距分组有等距分组和不等距分组 （1）几个概念 注意： 注意： 组限：上限、 ①组限：上限、下限 组中值 开口组 仅有上限或仅有下限的组 表示为 组距：上限－ ②组距：上限－下限 每一组 规定： 规定：开口组的组距取相邻组的组距 的代表 值 组中值＝（上限＋下限） ＝（上限 ③组中值＝（上限＋下限）/2
13.4 13.4 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5
13.48 13.48 13.48 13.48 13.48 13.48 13.48 13.48 13.49 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.51 13.51 13.51 13.51 13.51
直方图 40 30 20 10 0
13 .1 45 13 .2 45 13 .3 45 13 .4 45 13 .5 45 13 .6 45 其 他
频率
频率
接收
二、分布拟合检验 原理： （一）原理：Bernoulli 大数定律 每次试验中发生的概率p 设A每次试验中发生的概率p, nA为n次试验出现
＝上限－组距/2＝下限＋组距/2 上限－组距/2＝下限＋组距/2
（2）等距分组的方法
①确定分组组数 k 和组距 I 0 用公式 k ' =1+ lg n / lg 2 和 1 最 值 最 值 初步确定组数和组距 大 － 小 ' I = ' k 调整，确定组数k 20 调整，确定组数k 和组距 I 原则： 应较“整齐” 一般是5或 的位 原则：组距 I 应较“整齐”，一般是 或10的位 数。 最 值 最 值 大 － 小 k= I ②确定最小组的下限a0 a0应略小于最小值，应根据组距选择，一般取整 应略小于最小值，应根据组距选择，
6
1/6
6
频数 21 28 19 24 16 12 没有未知参数， （2）没有未知参数，即 k=0 X=i}=1/6 （3）在H0下，得P{X=i}=1/6 npi =20>5
13.31 13.31 13.31 13.31 13.31 13.32 13.32 13.32 13.32 13.32 13.32 13.32 13.33 13.33 13.33 13.33 13.33 13.33 13.34 13.34
13.34 13.34 13.34 13.34 13.34 13.35 13.35 13.35 13.35 13.36 13.36 13.36 13.37 13.37 13.37 13.37 13.37 13.37 13.39 13.39
直方图 40 30 20 10 0
频率
频率
.2
.4
.3
13
13
13
13
13
接收
.5
！形式与正态分布相似（两头小，中间多） 形式与正态分布相似（两头小，中间多）
13
.6
.1
45 其 他
45
45
45
45
45
2、提出假设
注意：（1 形式已知,仅参数未知； 注意：（1）F 形式已知,仅参数未知； ：（ 分布可以是分布函数、 （2）分布可以是分布函数、分布律或密度 函数。 函数。 3、用子样数据x1, x2 …, xn及 F(x,θ ) 估计未知 ˆ 参数θ，得 θ 。 ˆ 4、用分布 F(x,θ )计算理论概率 pi = P{X ∈ Ai } 及理论频数 npi
实 频 m 分 近 计算的概率 pi与 际 率 i / n充 接 。
故(mi − npi ) 应较小，故H0的拒绝域
2
Jα = χ > k
2
{
P χ > k | H0 = α
2
2 近 似 2
{
}
其中k 满足
}
由于 χ ~ χ (l −k −1)
故Jα = χ > χα (l − k −1) 分布拟合步骤： 分布拟合步骤： （1） H0 : X ~ F(x,θ )
中A的次数，则 的次数，
nA 概率p 即频率 与概率概率p充分接近 n
例：检验一颗骰子是否均匀？ 检验一颗骰子是否均匀？
nA Lim P − p ≤ ε =1 n→∞ n
（1）提出假设 分析：如果骰子均匀， 分析：如果骰子均匀， 应有抛出每一点的概率相等。 应有抛出每一点的概率相等。
13.13 13.14 13.18 13.2 13.2 13.2 13.23 13.23 13.24 13.24 13.24 13.25 13.26 13.26 13.26 13.26 13.27 13.28 13.28 13.28
13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3 13.3
13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.5 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6
13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.7 13.7
2、子样的频数分布（一般用x1, x2 …, xn ） 子样的频数分布（一般用x （二）子样频数分布 1、单变量值分组：把x1, x2 …, xn的按一个值分 单变量值分组： 一个组，计算每一组的元素个数称为该组的频数。 一个组，计算每一组的元素个数称为该组的频数。