研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三
1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量(
)2
4.55,0.108
X N .现在测试了5炉铁水，其含
碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？
解 由题意知，()2
4.55,0.108X N ，5n =，5
1
1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，
()52
2
01
10.095265i i s x μ==-=∑.
1)当00.108σ=已知时，
①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512
1.96u
u α
-
==，临界值12
0.108
1.960.09475
c u
n
ασ
-
=
=
?=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.
③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.
2)当0 4.55μ=已知时，
①设统计假设2
2
2
2
2
2
0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值
()()()()222210.02520.975122
111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-=
=====， 拒绝域为2
2
2
2
0212
2
2
2
0000{
}{
2.56660.1662}s
s
s
s
K c c σσσσ=><=><或
或
.
③
2
02
2
00.09526
8.16700.108
s
K σ=
=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.
2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命(
)2
,100
X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？
解 由题意知，(
)2
,100
X N μ ，25n =，950x =，0.05α=，0
100σ
=.
①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()100
1.653325
c u n
ασ
==
?-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.
③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问
1)机器工作是否正常()0.05α=？
2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？
解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知
()2
500,X N σ ，方差2
σ未知. 9n =，9
1
1500.88899i i x x ===∑，0.05α=，
()
()
2
2
2
1
1
1133.6111118n
n
i i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52
2
01
130.66679i i s x μ==-=∑
1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.
②()()0.97512
18 2.306t
n t α-
-==，临界值()12 5.7975
1 2.306 4.45649
s c t n n α-=-=?=， 拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.
③00500.88895000.8889x K μ-=-=?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.
2)当0500μ=已知时，
①设统计假设2
2
2
2
2
2
0010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值
()()()()222210.02520.975122
111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-=
=====， 拒绝域为22220212
2
2
2
{
}{
2.11330.3}s
s
s
s
K c c σσσσ=><=><或
或
.
③
2
02
2
030.6667
1.013785.5s
K σ=
=?，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为
25.5.
4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为
()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？
解 由题意知，(
)2
3.25,X N σ
，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.
①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值
()10.2691 1.7290.106719
s c t n n α-=
-=?=， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->
③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.
5.已知某厂生产的维尼纶纤度(
)2
,0.048
X N μ ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为
1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，
问这天生产的维尼纶纤度的方差2
σ是否明显变大了()0.05α=？
解 由题意知()2
,0.048X N μ ，8n =，8
1
1 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，
()
()
2
2
2
1
1
110.0122118n n
i i i i s x x
x x n ===-=-=-∑∑.
①设统计假设22
2
2
2
2
0010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.
②当0.05α=时，临界值
()()2
210.951117 2.0117
c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.
③
2
02
2
00.01221
5.29950.048s K σ=
=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方
差2
σ明显变大了.
6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平0.05α=下，确定这批元件是否合格.
解 设X 表示这批元件的寿命，由题意知(
)
2
2000,130X N ，25n =，1950x =，
0.05α=，148s =.
1)①设统计假设0010:2000,:2000H H μμμμ≥=<=.
②当0.05α=时，()()0.05124 1.711t n t α-==-，临界值
()()1481 1.71150.645625
s c t n n α=
-=?-=-， 拒绝域为000{}{50.6456}K x c x μμ=-<=-<-.
③001950200050x K μ-=-=-?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为这批元件平均寿命不得低于2000h .
2)①设统计假设2222220010:130,:130H H σσσσ≤=>=.
②当0.05α=时，临界值
()()22
10.9511124 1.5175124
c n n αχχ-=
-==-， 拒绝域为2
2
02
2
00{
}{
1.5175}s s K c σσ=>=>.
③
2
2
02
20148 1.2961130
s K σ==?，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为这批元件标准差不超过130h . 所以这批元件合格.
7.设12,,,n X X X 为来自总体(),4X N μ 的样本，已知对统计假设0:1;H μ=
1: 2.5H μ=的拒绝域为{}02K X =>.
1)当9n =时，求犯两类错误的概率α与β；
2)证明：当n →+∞时，0,0αβ→→.
解 1)(),4X N μ ，01:1,: 2.5,H H μμ=={}
02K X =>，9n =.
{}121
2199 1.522X P X P αμ??--=>==>=?
???
()1 1.50.0668=-Φ=，
{} 2.52 2.52 2.5990.7522X P X P βμ??--=≤==≤=-?
???
()()0.7510.750.2266=Φ-=-Φ=.
2)(),4X N μ ，01:1,: 2.5,H H μμ=={}02K X =>.
{}()1212110,2222X n n P X P n n n αμ????--??
=>==>==-Φ→→+∞ ??? ???????
， {}()2.52 2.52 2.510,2244X n n P X P n n n βμ????--??
=≤==≤=-=-Φ→→+∞ ??
? ???????
8.设需要对某一正态总体(),4X N μ 的均值进行假设检验01:15;:15H H μμ=<取检验水平0.05α=，试写出检验0H 的统计量和拒绝域.若要求当1H 中的13μ=时犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.05β=，估计所需的样本容量n . 解 01~(,4),:15;:15X N H H μμμ=<. 拒绝域为{}
015K X c =-<，统计量为2 3.30
1.65c u n
n n
α
σ
==-?
=-
. 3.302 3.30151313n P X P X n n βμ??-?
?
=-≥-
==-≥ ? ? ??
???
1313 1.651 1.650.0522X X P n n P n n ????
--=≥-=-≤-≤ ? ?????，
20.95( 1.65)0.95, 1.65 1.65, 3.30, 3.311n n u n n Φ-≥-≥=≥≥=.
所需的样本容量11n =.
9.设12,,,n X X X 来自总体(
)2
,X N μσ 的样本，20σ
为已知，对假设00:H μμ=，
11:H μμ=，其中01μμ≠，试证明()
()
2
2
0112
10n u u αβσμμ--=+-. 解 由题意知(
)2
,X N μσ ，且20
σ
为已知，故0
1c u n
α
σ-=，拒绝域为
001K x u n
α
σμ-=>+.
01 X βμμμ=≤P(+c =)10
1
110
(
) X P n u n αμμμμμσσ---=≤-
=
10
10
()u n αμμσ--=Φ-
，
所以 10
11u u n βαμμσ
---+=
，
()
()2
2
1
0112
n
u u αβμμσ
---+=，
即(
)
()
2
2
0112
10n u u αβ
σμμ--=+-. 10.设1217,,,X X X 为来自总体(
)2
0,X N σ
样本，对假设220
1:9,: 3.319
H
H σσ==的拒绝域{
}
2
04K s =<.求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ错误的β. 解 由题意知(
)2
0,X N σ
，
{
}
22
02499s P W K ασσ
??
=∈==
()2
4117917c αχ==，查表得0.025α=； {
}
22
0243.319 3.314s P W K βσσ
??=?==≥????，
()2141
173.31417
c βχ-==，查表得0.25β=. 11.设总体的密度函数为
()1,01,
;0, .
x x f x θθθ-?<<=??其他，
统计假设0:=1H θ，1:=2H θ.现从总体中抽取样本12,X X ，拒绝域02134K X X ??
=≤????
，求：犯两类错误的概率,αβ.
解 当0:=1H θ成立时，()1,01,
;0, .x f x θ<
其他
{}0213114P W K P X X αθθ??
=∈==≤=?
???
13
1
4321040.2510.250.75ln 0.75x dx dx =-=+??
；
当1:=2H θ成立时，()2,01,
;0, .
x x f x θ<
?其他
{}0213224P W K P X X βθθ??
=?==>=?
???
131431221043399
4ln 0.7544168
x x x dx dx =?+?=+??. 12.设总体(
)2
,X N μσ
，根据假设检验的基本原理，对统计假设：
()()20011101):,:H H μμμμμμσ==>已知；()200102):,:H H μμμμσ≥<未知，试
分析其拒绝域.
解 1)因为()2
,X N μσ ，所以2,X N n σμ?? ?
?
? ，即()0,1X N n μ
σ- ， 当2
σ已知时，10X P u H n αμασ-??-??
>=?
?????
，即10u P X n ασμα-??>+=????， 所以拒绝域为100u K X n ασμ-??
=>+
???
?
.
2)因为()2
,X N μσ ，所以2,X N n σμ?? ?
??
，即()0,1X N n μ
σ- ， 当2
σ未知时,用2S 作为2
σ的近似，则
()1X t n S n
μ
-- ，
()01X P t n H S n αμα??-??<-=??????
，即()01St n P X n αμα-??<+=????，
所以拒绝域为()001st n K X n αμ-??
=<+
???
?
. 13.设总体(
)2
,X N μσ
根据假设检验的基本原理，对统计假设：
()2222
00101):,:H H σσσσμ=>已知；()222200102):,:H H σσσσμ≤>未知，试分析其
拒绝域.
解1) 因为(
)2
,X N μσ
，当μ已知时，()2
22
nS
n χσ
，
()2
2
102nS P n H αχασ-????>=??????
，即()22201P S n n ασχα-??>=????， 所以拒绝域为()222001K S n n ασχ-??
=>????
. 2) 因为()2
,X N μσ
，当μ未知时，(
)()22211n S n χσ
-- ，
()()2
2102
11n S P n H αχασ-??-??>-=??????，即()()222
0111P S n n ασχα-????>-=??-????
， 所以拒绝域为()()22200111K S n n ασχ-????
=>
-??-????
. 14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率()%为 甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙：18.2,16.9,20.2,16.7
假定含灰率均服从正态分布且2
2
12σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异
()0.05α=？
解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：22
12(,),(,)X N Y N μσμσ .
5,4,21.5,18n m x y ====，22
12
7.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。 ① 统计假设012012:,:H H μμμμ=≠，
② 当0.05α=时，()()0.97512
27 2.365t
n m t α
-
+-==临界值为
()
()()22
12
12
111122n S m S c t
n m n m n m α-
-+-??=+-+ ?
+-??
1147.5053 2.5933
2.365
3.68667547?+???=?+= ???
拒绝域为0{ 3.68667}.K x y c =->=
③由于021.518 3.5x y K -=-=?所以，接受0H ，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.
15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为(
)2
/kg cm
单位：：
甲：88,87,92,90,91 乙：89,89,90,84,88
假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且2
2
12σσ=.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高()0.05α=？
解设,X Y 分别表示甲乙两种零件的抗拉强度(
)2
/kg cm
单位：.由题意知：
2212(,),(,)X N Y N μσμσ ，5,5,89.6,88n m x y ====，22
124.3, 5.5s s ==.问甲种
零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 ① 统计假设012112H H μμμμ≥<:,:，
② 当0.05α=时，()()0.0528 1.86t n m t α+-==-临界值为 ()
()()22
12
111122n S m S c t n m n m n m α-+-??=+-+ ?
+-??
114 4.34 5.5
1.86
2.604558?+???=-?+=- ???
拒绝域为0{ 2.604}.K x y c =-<=-
③由于089.688 1.6x y K -=-=?所以，接受0H ，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.
16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径()
单位：mm 为：
甲：15.0,14.5,15.2,15.5,14.8,15.1,15.2,14.8 乙：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8
假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高()0.05α=？ 解 设,X Y 分别表示乙甲两种车床加工零件的外径()
单位：mm .由题意知：
221122(,),(,)X N Y N μσμσ ，8,9,15.0125,14.98889n m x y ====，
22
127.9011607,0.0373611s s ==.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以
下假设检验。
① 统计假设2
2
2
2
012112H H σσσσ>≤:,:， ② 当0.05α=时
()()0.051,17,80.2857142c F n m F α=--==
拒绝域为2
1022
{0.2857142}.S K c S =<=
③由于210227.9011607
211.480940.0373611
S K S =
=?所以，接受0H ，即认为乙车床的加工精度是比甲车床的高.
17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对，现再随机地选取8架飞机，将8对轮胎磨损量()
单位：mg 数据列表如下：
()i x 甲 4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870 ()i y 乙
4930
4900
5140
5700
6110
6880
7930
5010
试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异()0.05α=？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足(
)
2
11,X N μσ ，(
)
2
22,Y N μσ ，且两个样本相互独立.
解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为,X Y ，()
单位：mg .由题意知：2
11~(,)X N μσ，
2
22~(,)Y N μσ，2212
6145,5825,1867314.2,1204428.5,8,8x y s s n m ======.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差.
()1首先对两总体的方差进行检验：
①统计假设 2
2
2
2
012112:,:H H σσσσ=≠，
②由于未知总体的均值12,μμ，所以当0.05α=时，拒绝域为
21010.025220.97511{(7,7)0.2004}(7,7) 4.99
s K c F s F =<====?
2
120.97522
{(7,7) 4.99}s c F s >== ③210221867314.2 1.55041204428.5
s F K s ===?，落在接受域内，所以接受原假设，即22
12,σσ无明
显差异.
()2再对两种体的均值进行检验
① 设立统计假设012112:,:H H μμμμ=≠， ② 由于2
2
12σσ=，所以当0.05α=时，
2
0.97512
71867314.271204428.5
(2)(14) 2.145,1535871.414
t
m n t s αω-
?+?+-====
临界值12
1111(2) 2.1451239.30271420.923577
w c t
m n s n m α-
=+-+=??+=， 拒绝域为0{1420.9235}K x y c =->=.
③由于061455825320x y K -=-=?，所以接受0H ，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.
18.设总体(
)
2
11,X N μσ ，总体(
)
2
22,Y N μσ ，由两总体分别抽取样本
:4.4,4.0,2.0,4.8X ； :6.0,1.0,3.2,0.4Y
1)能否认为12μμ=()0.05α=？ 2)能否认为22
12σσ=()0.05α=？
解 由题意知(
)
2
11,X N μσ ，(
)
2
22,Y N μσ ，
22123.8, 2.65, 1.546667, 6.436667,4,4x y s s n m ======
1)①设立统计假设012112:,:H H μμμμ=≠，
②当0.05α=时
20.97512
3 1.5466673 6.436667
(2)(6) 2.447, 3.9916676
t
m n t s αω-
?+?+-====，
临界值12
1111(2) 2.447 1.9979159 3.9917733
w c t
m n s n m α-
=+-+=??+=， 拒绝域为0{ 3.99177}K x y c =->=，
③由于03.8 2.65 1.15x y K -=-=?，所以接受0H ，可以接受12μμ=.
2)①统计假设 2222012
112:,:H H σσσσ=≠， ②由于未知总体的均值12,μμ，所以当0.05α=时，拒绝域为
21010.025220.97511
{(3,3)0.0647668}(3,3)15.44
s K c F s F =<====?
2
120.97522
{(3,3)15.44}s c F s >== ③21022 1.5466670.240296.436667
s F K s ===?，落在接受域内，所以接受原假设，即22
12σσ=.
19.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈200个癌症病人，其中有6个治好了，这个医生断言这种样本中的3%治愈率足够证实他的看法.
1)试用假设检验方法检验这个医生的看法；2)如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检
验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？ 解 设采用化学疗法的治愈率为p .
1)①设立统计假设检验0010:2%,:2%H p p H p p ≥=<=.
② 由于200n =是大样本，所以当0.05α=时，拒绝域为
0000(1)0.02(10.02)
{ 1.650.016334}.200
p p K x p u n α
--=-<=-?=- ③由题意知 06/2003%,0.010.016334x x p c ==-=>=-，x 落入接受域0K 中，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.
2)由于200n =是大样本，所以000(0,1)(1)
X p U n N p p -=
- ，由题意知
(1)0.20782421
n
s x x n =
-=-， {}{}
001P X p c P X p c -≥=--<
011X p c c P s n s n s n ????-??=-<=-Φ ???
?????? 0.016334
10.86650.2078242200??-=-Φ= ???
.
20.在某公路上，50min 之间，观察每15s 内通过的汽车辆数，得下表： 通过的汽车数量（辆）
0 1 2 3 4 5≥
数量f
92
68
28
11
1
问能否认为通过的汽车数量服从Poisson 分布()0.10α=？
解 设X 表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为()F x ，统计假设是 01:()(),:()()H F x P H F x P λλ=≠ .
①选择检验统计量22
1?()??m
i i i i
np
np νχ=-=∑；
②将X 的取值划分为若干区间，
{}12345{0},{1},{2},{3},4A X A X A X A X A X =========≥；
③ 在0H 成立的条件下，计算参数λ的最大似然估计值 λ
，通过计算得 0.805λ=； ④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4,5)i A i =的概率理论估计值为
1?(0)0.449329p P X ===， 2?(1)0.359463p P X ===， 3?(2)0.143785p P X ===， 4?(3)0.038343
p P X ===， 5?(4)0.00908p
P X =≥=； ⑤ 拒绝域为2
2
0.90{(3) 6.25}χχ>=；
⑥ 计算的样本值2
?χ
，计算过程见表3.3.4. i
i A i ν
?i p
?i np
2?()?i i i np
np
ν- 1 {0}X = 92 0.449329 89.8658 0.0506845 2
{1}X =
68
0.359463
71.8926
0.2107634
3 {2}X = 28 0.143785 28.77 0.0206082
4 {3}X = 11 0.038343 7.6686 1.4472296
5 {4}X ≥
1 0.00908 1.816 0.3666607
∑
200
1.0000
200
2.0959
由于2
?χ样本值为2.0959落在接受域内，因而接受0H ，所以通过的汽车数量服从()
0.805P 分布.
21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：
组限 10.9310.95
10.9510.97
10.9710.99
10.9911.01
频数 5
8
20
34
组限 11.0111.03
11.0311.05
11.0511.07
11.0711.09
频数
17
6
6
4
试检验螺栓口径的检验值X 的分布是否为正态分布()0.05α=. 解 设X 表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为()F x ，统计假设是 01:()(
),:()(
)x x H F x H F x μ
μ
σ
σ
--=Φ≠Φ.
①选择检验统计量22
1
?()??m
i i i i np
np νχ=-=∑；
②将X 的取值划分为若干区间，
123{10.9310.97},{10.9710.99},{10.9911.01}A X A X A X =≤≤=≤≤=≤≤， {}{}456{11.0111.03},11.0311.05,11.0511.09A X A X A X =≤≤=≤≤=≤≤；
③ 在0H 成立的条件下，计算参数2
,μσ的最大似然估计值 2
,μσ，通过计算得
11.0024μ=， 2
0.0010181σ=；
④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4,5,6)i A i =的概率理论估计值为
1?((10.9711.0024)/0.0319076)((10.9311.0024)/0.0319076)p
=Φ--Φ- ()()1.015432 2.26905180.1446=Φ--Φ-=
2?((10.9911.0024)/0.0319076)((10.9711.0024)/0.0319076)p
=Φ--Φ- ()()0.3886221 1.0154320.1921=Φ--Φ-=
3?((11.0111.0024)/0.0319076)((10.9911.0024)/0.0319076)p
=Φ--Φ-
()()0.23818770.38862210.2465=Φ-Φ-=
4?((11.0311.0024)/0.0319076)((11.0111.0024)/0.0319076)p
=Φ--Φ- ()()0.86499760.23818770.2113=Φ-Φ=
5?((11.0511.0024)/0.0319076)((11.0311.0024)/0.0319076)p
=Φ--Φ- ()()1.49180750.86499760.1259=Φ-Φ=
6?((11.0911.0024)/0.0319076)((11.0511.0024)/0.0319076)p
=Φ--Φ- ()()2.7454274 1.49180750.0796=Φ-Φ=
⑤ 拒绝域为2
2
0.95{(3)7.81}χχ>=；
⑥ 计算的样本值2
?χ
，计算过程见表3.3.4. i
i A
i ν
?i p
?i np
2?()?i i i np
np
ν- 1
13 0.1446 14.46 0.1474135 2 {0}X = 20 0.1921 19.21 0.0324882 3 {1}X = 34 0.2465 24.65 3.5465517 4 {2}X = 17 0.2113 21.13 0.8072361 5 {3}X = 6 0.1259 12.59 3.4494122 6 {4}X ≥
10 0.0796 7.96 0.522814
∑
100
1.0000
100
8.5059157
由于2
?χ
样本值为8.5059157落在拒绝域内，因而拒绝0H ，所以螺栓口径的检验值X 的分布不为正态分布.
22.检查产品质量时，每次抽取10个产品检验，共抽取100次，得下表： 次品数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 35 40
18
5
1
1
问次品数是否服从二项分布()0.05α=？
解 设X 表示每次检查产品时的次品数，分布函数为()F x ，统计假设是
()01:()(10,),:()10,H F x B p H F x B p =≠ .
①选择检验统计量22
1
?()??m
i i i i np
np νχ=-=∑；
②将X 的取值划分为若干区间，
1234{0},{1},{2},{3}A X A X A X A X =======≥；
⑦ 在0H 成立的条件下，计算参数p 的最大似然估计值
p ，通过计算得 0.1p =； ⑧ 在0H 成立的条件下，(1,2,3,4)i A i =的概率理论估计值为
1?(0)0.3486783p P X ===， 2?(1)0.3874204p P X ===， 3?(2)0.1937102p P X ===， 4?(3)0.0701911p
P X =≥=； ⑨ 拒绝域为2
2
0.95{(2) 5.99}χχ>=；
⑩ 计算的样本值2
?χ
，计算过程见表3.3.4. i
i A i ν
?i p
?i np
2?()?i i i np
np
ν- 1 {0}X = 35 0.3486783 34.86783 0.000501 2 {1}X = 40 0.3874204 38.74204 0.0408461 3 {2}X = 18 0.1937102 19.37102 0.09703649 4 {3}X ≥
7 0.0701911 7.01911 0.000052
∑
100
1.0000
100
0.1384355
由于2
?χ
样本值为0.1384355落在接受域内，因而接受0H ，所以每次检查时次品数服从 (10,0.1)B .
23.请71人比较A B 、两种型号电视机的画面好坏，认为A 好的有23人，认为B 好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以认为B 的画面比A 的好()0.10α=？ 解 设X 表示A 型号电视机的画面，Y 表示B 型号电视机的画面.用符号检验法： 由题意知 010234568n n n n n α+-+-====+=.,,,， ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()，
②当0106826s n s α==.()()时，拒绝域为{}026K s s n α=<=()，
③2326s n n +-== 1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同()0.05α=？ 解 设X 表示甲车间生产的产品的某项指标的波动，Y 表示乙车间生产的产品的某项指标的波动.用符号检验法： 由题意知 00521012n n n n n α+-+-====+=.,,,， ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()， ②当005122s n s α==.()()时，拒绝域为{}02K s s n α=≤=()， ③22s n n +-==≤min(,)，落入拒绝域内，故拒绝0H ，即认为两车间所生产的产品的该项指标分布显著不同. 25.观察两班组的劳动生产率（单位：件/小时），得下表： 第1班组 28 33 39 40 41 42 45 46 47 第2班组 34 40 41 42 43 44 46 48 49 问两班组劳动生产率是否相同()0.05α=？ 解 设X 表示第1班组的劳动生产率，Y 表示第2班组的劳动生产率. 1)用符号检验法： 由题意知005099n n n n n α+-+-====+=.,,,， ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()， ②当00591s n s α==.()()时，{}01K s s n α=<=()， ③01s n n +-== 40 41 42 43 44 46 48 49 ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()， ②当12996699105t t ==(,),(,)时，{}{}01266105K T t T t =<=>= ， ③073T K =∈，落入接受域内，故接受0H ，即认为两组劳动生产率相同. 26.观察两样本值如下： Ⅰ 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 Ⅱ 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54 问这两样本是否来自同一总体()0.05α=？ 解 设X 表示第Ⅰ组样本值，Y 表示第Ⅱ组样本值. 用秩和检验法：由题意知00586n m α===.,,，数据的秩见下表. 秩 1 3 14 5 2 8 10 13 56 Ⅰ数据 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 秩 7 6 10 4 12 10 49 Ⅱ数据 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54 ①01X Y X Y H F x F x H F x F x =≠:()(),:()()， ②当1268326858t t ==(,),(,)时，{}{}0123258K T t T t =<=>= ， ③049T K =∈，落入接受域内，故接受0H ，即认为这两样本是否来自同一总体. 27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10,53,46,按照某种遗传模型其比率之比应为：()()2 2 :21:1p p p p --，问数据与模型是否相符()0.05α=？ 解 设X 表示某种动物配偶后代体格的属性，分布函数为()F x ，由题意知109,0.05n α== ，统计假设是()01:()(2,1),:()2,1H F x B p H F x B p =-≠- . ①选择检验统计量22 1?()??m i i i i np np νχ=-=∑； ②将X 的取值划分为若干区间， 123{0},{1},{2}A X A X A X ======； ③ 在0H 成立的条件下，计算参数p 的最大似然估计值 p ，通过计算得 0.3349p =； ④ 在0H 成立的条件下，(1,2,3)i A i =的概率理论估计值为 1?(0)0.112159p P X ===， 2?(1)0.4454839p P X ===， 3?(2)0.442358p P X ===， ⑤ 拒绝域为22 0.95{(1) 3.84}χχ>=； ⑥ 计算的样本值2 ?χ ，计算过程见表3.3.4. i i A i ν ?i p ?i np 2?()?i i i np np ν- 1 {0}X = 10 0.112159 12.225331 0.4050686 2 {1}X = 53 0.4454839 48.557745 0.406395 3 {2}X = 46 0.442358 48.217022 0.1019388 ∑ 109 1.0000 109 0.9134024 由于2 ?χ 样本值为0.91348024落在接受域内，因而接受0H ，所以数据与模型相符. 28.在某地区的人口调查中发现：15729245个男人中有3497个是聋哑人，16799031个女人中有3072个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设()0.05α=. 解 设X 表示某地区人口的聋哑情况，Y 表示某地区人口的性别情况.如下表： 男 女 合计 聋哑 3497 3072 6569 正常 15725748 16795959 32521707 合计 15729245 16799031 32528276 由题意知22005r s α===,,.， ①01X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x =≠:(,)()(),:(,)()()， ②当2 0951384χ=.().时，{} 2 2 011384K αχχ-=>=().， ③()2 112212211212325282763497167959593072157257486569325217071572924516799031 n n n n n n n n n n χ??-?-==??????2 () 2 09562641384χ=>=..().，落入拒绝域0H 内，不能认为“聋哑人与性别无关”. 29.下表为某药治疗感冒效果的联列表： 年龄 疗效 儿童 成年 老年 i n ? 一般 58 38 32 128 较差 28 44 45 117 显著 23 18 14 55 j n ? 109 100 91 300 是问该疗效是否与年龄有关()0.05α=？ 解 设X 表示某感冒药的疗效，Y 表示调查人口的年龄.如下表： 年龄 疗效 儿童 成年 老年 i n ? 一般 58 38 32 128 较差 28 44 45 117 显著 23 18 14 55 j n ? 109 100 91 300 由题意知33005r s α===,,.， ①01X Y X Y H F x y F x F x H F x y F x F x =≠:(,)()(),:(,)()()， ②当2 0954949χ=.().时，{} 2 2 014949K αχχ-=>=().， ③2 2 2111 ()13.59(4)9.49i j s r ij n j i i j n n n n n n n αχχ??-==??- ==>=∑∑ ，落入拒绝域0H 内，即认为药的疗 效与年龄有关. 30.某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂生产的一批产品的不合格率不超过3%时以高于95%的概率接收，当不合格率超过12%时，将以不低于10%的概率接受。试问验收者制定验收抽样方案. 解 由题意知010.03,0.12,0.05,0.10p p αβ====代入下式得到 ()()()()0000111110.95 10.101d np L p np p d np L p np p αβ??? -? ?≈Φ=-= ?? -??? ? ???- ?≈Φ==? ?-???? ， 解得66 4n d =??=? .因此，抽样方案是：抽取66件产品，如果抽得的不合格品4X ≤，则接受这 批产品，否则拒绝这批产品. 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 说明：本试卷总计100分，全试卷共 5 页，完成答卷时间2小时。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 一、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、随机事件A 、B 互不相容，且A ＝B ；则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币，则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ，则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则 =)(X E ，=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ，样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ，应构造统计量为 ，拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ，则做正交实验设计时，可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、设随机事件A 、B 互不相容，且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有（ ） 成立。 A 、A 、 B 是对立事件； B 、A 、B 互不相容； C 、A 、B 不独立； D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（i =1，2，3），下列说法正确的是（ ）。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标； B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标； C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标；D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的减小，)|(|σμ<-X P 应（ ）。 A 、单调增大； B 、单调减少； C 、保持不变； D 、增减不能确定 习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ，1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1 9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1 100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。 解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。 解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。 解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： 79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为 试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2 x s 的数值。 解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y 学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍，该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验，其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n i和住，在进行成组设计资料的t 检 验时，自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r，对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系？( C) A t r >t b B t r 概率论与数理统计第三章习题 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2 11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为 所以，ξ 废品数的概率分布。 况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为 所以，，，，有 ，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为 所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 习题6（多维随机变量及联合分布） 一．填空题 1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为 ； ； . 概率==)(Y X P . 2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012 .008.01 1101b a X Y --，且X 与Y 相互独立， 则=a ；=b . 3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数 = ),(y x f ；=≤+)1(Y X P . 4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率 = ≤≥)1,2(Y X P . 二．解答题 1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P < 2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022 2 =++Y Xt t 有实根的概率。 3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为?? ?=, 0,),(kx y x f . , ,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值； （2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P 概率论与数理统计B 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为（） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12 ; (B) 225; (C) 425 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ） (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ） (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 习 题 三 1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量() 24.55,0.108X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，( ) 2 4.55,0.108X N :，5n =，5 1 1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=， ()52 2 01 10.095265i i s x μ==-=∑. 1)当00.108σ=已知时， ①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512 1.96u u α- == ，临界值12 1.960.0947c α- = = =， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->. ③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化. 2)当0 4.55μ=已知时， ①设统计假设222222 0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值 ()()()()222210.02520.975122 111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-= =====， 拒绝域为2 2 2 2 0212 2 2 2 0000{ }{ 2.56660.1662}s s s s K c c σσσσ=><=><或 或 . ③ 2 02 2 00.09526 8.16700.108 s K σ= =∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2 ,100X N μ:，问这批元件是否合格()0.05α=？ 一.选择题（18分，每题3分） 1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ） )(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是； ；；。现任选4人，则4人血 型全不相同的概率为： （ ） )(A ； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0, 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ） )(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为. 则射击次数的数 学期望与方差分别为 （ ） 、 )(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ） )(A 32112110351?X X X ++=μ ； )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ； )(C 321321 6131?X X X ++=μ ； )(D 32141254131?X X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10 )(22 2 12n X i n i χμχ-= ∑=，其 拒域为（1.0=α） （ ） )(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题（15分，每题3分） 1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 设随机变量X 的分布律为??? ? ??-+c b a 4.01.02.043 21 ，则常数c b a ,,应满足的条件 ) 为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率 数理统计汪荣鑫版习题答案 数理统计习题答案 第一章 1.解： () () ()()()()()122 5 2 1122222 19294103105106100 5 11100519210094100103100105100106100534 n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-?? =-+-+-+-+-? ?=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 * 1 1l i i i X m x n ==∑ ()1 18340610262604= ?+?+?+?= 子样方差 ( )2 2 *1 1l i i i S m x x n ==-∑ ()()()()2222 18144034106422646018.67?? = ?-+?-+?-+?-? ?= 子样标准差 4.32 S = 3. 解：因为 i i x a y c -= 所以 i i x a cy =+ 1 1n i i x x n ==∑ ()1 111n i i n i i a cy n na cy n ===+??=+ ??? ∑∑ 1 n i i c a y n a c y ==+ =+∑ 所以 x a c y =+ 成 立 ( )2 2 1 1n x i i s x x n ==-∑ () ( ) () 2 2 12 21 11n i i i n i i n i i a cy a c y n cy c y n c y y n ====+--=-=-∑∑∑ 因为 ()2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ 所以 222x y s c s = 成 立 ()()()()()17218120 3.2147.211.2 e n n e n M X X R X X M X X +?? ??? ??+ ??? ====-=--====4. 解：变换 2000 i i y x =- 1 1n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444 =--++++-++= ( )2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ ()()()()()()()()()222 2 2 2 222 161240.444303240.4441030240.4449 424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247 =--+--+-+??-+-+-+ ?--+-+-? = 利用3题的结果可知 2220002240.444 197032.247 x y x y s s =+=== 5. 解：变换 () 10080i i y x =- 13 11 1113n i i i i y y y n ====∑∑ []1 2424334353202132.00= -++++++-+++++= 考试时间 120 分钟 班级 姓名 学号 一. 填空题（每题3分，共24分） 1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6， P(B A)=0.8.则P(B )A U . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= . 3. 设随机变量2 (,)X μσN :，X Y e =，则Y 的分布密度函数为 . 4. 设随机变量2(,)X μσN :，且二次方程2 40y y X ++=无实根的概率等于， 则μ= . 5. 设()16,()25D X D Y ==， 0.3 X Y ρ=，则 ()D X Y += . 6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 . 7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）. 8. 设125,,X X X L 是来自总体(0,1)X N :的简单随机样本，统计量 12()/~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = . 二 计算题 1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？ 2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为 /5 (1/5)0 ()0 x e x f x -?>=? ?其它 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥. 3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求： (1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . . 4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从 2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿 命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.概率论与数理统计第三章课后习题答案
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