2010数学联合竞赛湖北省预赛试题详细参考答案(高二)
2010年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.把答案填在横线上.1.函数f (x )=√x −5−√24−3x 的值域是.2.已知函数y =(a cos 2x −3)sin x 的最小值为−3，则实数a 的取值范围是.3.双曲线x 2−y 2=1的右半支与直线x =100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是.4.已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1=3,b 1=1,a 2=b 2,3a 5=b 3，且存在常数α,β使得对每一个正整数n 都有a n =log αb n +β，则α+β=.5.函数f (x )=a 2x +3a x −2(a >0,a =1)在区间x ∈[−1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的9条棱长都相等，P 是CC 1的中点，二面角B −A 1P −B 1=α，则sin α=.8.方程x +y +z =2010满足x ⩽y ⩽z 的正整数解(x,y,z )的个数是.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a =0)，当0⩽x ⩽1时，|f ′(x )|⩽1，试求a 的最大值.10.已知抛物线y 2=6x 上的两个动点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)，其中x 1=x 2且x 1+x 2=4.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值.11.数列{a n }满足a 1=13,a n +1=a 2n a 2n −a n +1(n =1,2,···).2010年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷)求证：12−132n−1<a1+a2+···+a n<12−132n.。
全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
全国高二数学 联合竞赛预赛试题（湖北省）新人教版说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kbx x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-，22(1)QB x y =-，所以11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S =.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221|()1|||||122()1m m QB m m-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB 的面积为11||||22S QA QB ==⋅22222222|1|||)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m m m m m m m m +⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1mmm m m m -+++=⋅++. 令22212cos ,sin 11m m m m θθ-==++，则21|sin |2412sin 4S θθθ+=⋅+.注意到13sin||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。
2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)
2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，|||1|2x a x a +-+≤恒成立，则实数a 的最小值为13．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若23234560123456(2)x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，则135a a a ++= －4 ．4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为a ，腰长为，则332a b ab +的值为 3 ．5．设2,51(n n n a b n n ==-∈N *，201512201512{,,,}{,,,}a S a a a b b b =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，，CAP ∠为锐角，||2AP =，2AP AC ⋅=，1AP AB ⋅=．当||AB AC AP ++取得最小值时，tan CAP ∠=72． 7．已知正三棱锥P ABC -的底面的边长为6,1 ．8．函数()1)f x =．9．已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为115-． 10．使得12p +和212p +都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集18{(,)|()()0}25A x y y x y x=-⋅-≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤．若(,)x y AB ∈，求2x y -的最小值． 解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x =上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分）设sin cos t θθ+=，则21s i n c o s (1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos5θθ+=. ………………………………………（15分）结合22sin cos1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin5θ=，3cos5θ=-．所以，点P的坐标为29(,)55，2z x y=-的最小值为min292155z=⨯-=-．………（20分）12．设nT是数列{}na的前n项之积，满足1,n nT a n=-∈N*．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设22212n nS T T T=+++，求证：111123n n na S a++-<<-．解（1）易知1112T a==，0,1n nT a≠≠，且由111,1n n n nT a T a++=-=-，得11111n nnn nT aaT a+++-==-，即11111nn naa a++=--，即111111n na a+-=--．……………（5分）所以111111111112nn n na a=+-=+-=+---，故1111nnan n=-=++．………………………………………（10分）（2）由（1）得1211n nT a a an==+．一方面，22211123(1)nSn=++++11111112334(1)(2)222nan n n+>+++=-=-⋅⋅+++；……………（15分）另一方面，22211111123(1)444nSn<+++--+-1112135571323()()2222223n n n=+++=-⋅⋅+++．又1212111123322333nnan nn++-<-=-=-+++．所以111123n n na S a++-<<-．………………………………………（20分）13．过直线2130x y -+=上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线28y x =的两条切线， ,M N 为切点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,B C ．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值． 证明 （1）设00(,)A x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线28y x =的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：114()yy x x =+．而AM 过00(,)A x y ，故01014()y y x x =+ ①①式说明直线004()y y x x =+恒过点11(,)M x y ．………………………………………（5分）同理可证得直线004()y y x x =+恒过点22(,)N x y ．故直线004()y y x x =+过,M N 两点，则直线MN 的方程为：004()y y x x =+．又00213x y =-，代入004()y y x x =+中，得0(8)4(13)y y x -=-．所以直线MN 恒过定点(13,8)． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：114()yy x x =+与y 轴交于114(0,)x B y ． 抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ，则111140202BFx y xk y -==--，又14BA k y =，则12181BA BF x k k y ⋅=-=-，所以BF BA ⊥.同理可证CF CA ⊥．所以,,,A B C F 四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点(2,0)F ． ………………………………………（15分） 在AF 和直线2130x y -+=垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：02(2)y x -=--， 与2130x y -+=联立，求得(1,6)A -，则||AF =所以，△ABC． ……………………………………（20分）。
高二数学竞赛试题参考答案
参考答案：一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；15．130 16．)1,21[-三、解答题： 17．解: (Ⅰ)由cos C =C是三角形内角，得sin C ==∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+22== (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC ACA B=，sin sin AC BC A B ==6=132AC CD BC ===, cos 5C =, 由余弦定理得:AD ==18．解：（1(2)(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9219．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-=又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。
故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ． （II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=，222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==． 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则1)(='c f 与已知矛盾。
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案(高二)
2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。
直接将答案写在横线上。
）1. 已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *N ．若15711=a ，则1a = 3 .2. 函数x x x x y 22cos 2cos sin sin -+=的值域为11[22---+.3. 在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．4．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .5．若2113>+--a a 恒成立，则a的取值范围是[1,1-.6. 去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 2068 .7． 在四面体ABCD 中，3AB AC ==，4BD BC ==，⊥BD 面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为10.8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为25.9. 若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则2111e e +的最大值为52.二、解答题（本题满分60分，每小题20分。
）11. 当1||≤x 时，不等式2210px qx p +-+≥恒成立，试求q p +的最大值． 解法1 令]1,1[,12)(2-∈+-+=x p qx px x f . （1）先考虑0p >时的情况，①若114q p -≤-≤，即44p q p -≤≤，则由题意知()04qf p-≥，即 22()()1044q q p q p p p ⋅-+⋅--+≥，整理得2218()22q p +-≤.设cos q r θ=，12p -=，其中0r ≤≤，[0,2]θπ∈，则1sin cos )2p q r θθ+=++.设(0,)2πϕ∈，且tan ϕ= 1(sin cos cos sin )2p q r θϕθϕ+=++1sin()2r θϕ=++1122≤+=，等号成立的条件是：r =1sin 3θ=，cos 3θ=，即23p =，43q =. …………………10分②若14qp-<-，即4q p >，则由(1)10f p q -=-+≥得1q p ≤+，所以41p q p <≤+，从而可得13p <，此时52123p q p +≤+<<； ③若14qp->，即p q 4-<，则302p q p +≤-<<； …………………15分 （2）当0p ≤时，由(1)2110f p q p p q -=--+=-+≥得1q p ≤+，故212p q p +≤+<. 综合可知：q p +的最大值为2． …………………20分 解法二 特殊值法.在不等式2210px qx p +-+≥中取特殊值21-=x ，得2≤+q p ． …………………10分 当且仅当34,32==q p 时，0)21(3431343412222≥+=++=+-+x x x p qx px ．所以，q p +的最大值为2． …………………20分12. 设B A ,是双曲线λ=-222y x 上的两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交双曲线于D C ,两点．（1）确定λ的取值范围；（2）试判断D C B A ,,,四点是否共圆？并说明理由．解 （1）依题意，可设直线AB 的方程为2)1(+-=x k y ，代入双曲线方程并整理得222(2)2(2)[(2)2]0k x k k x k λ-+---+= ①设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程①的两个不同实根，于是可知22224(2)4(2)[(2)2]0k k k k λ∆=-+--+> ②且2212)2(2kk k x x --=+．又)2,1(N 是线段AB 的中点，故12)2(2=--k k k ，解得1=k ，故直线AB 的方程为1(1)2y x =⋅-+，即1y x =+．将1=k 代入②，得0)21(44>++λ，解得1->λ．又CD 是线段AB 的垂直平分线，故CD 所在直线的方程是)1(2--=-x y ，即3+-=x y ，将其代入双曲线方程，整理得09262=--+λx x ③由题意，方程③也有两个不同实根，所以2164(29)0λ∆=--->，解得9λ>-．又0λ≠，于是可得：λ的取值范围为(1,0)(0,)-+∞． …………………10分（2）设),(),,(4433y x D y x C ，线段CD 的中点为),(00y x M ，则43,x x 是方程③的两根，所以643-=+x x ，9243--=λx x ，于是32430-=+=x x x ，6300=+-=x y ． 于是，由弦长公式可得34|||CD x x =-===.又方程①即01222=---λx x ，同理可得||AB ==.显然||||CD AB <，又CD 是线段AB 的垂直平分线，假设存在(1,0)(0,)λ∈-+∞使得D C B A ,,,四点共圆，则CD 必为该圆的直径，点M 为圆心．又点M 到直线AB 的距离为d ===222222||||||()3642AB MA MB d λ==+=+=+．又 22||()3642CD λ==+，所以2222||||||||MD MC MB MA ===．故当(1,0)(0,)λ∈-+∞时，D C B A ,,,四点均在以(3,6)M -为圆心、为半径的圆上．…………………20分13. 在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ． 解 （1）因为数列{}n a 为单调递增数列，120a =>，所以0n a >（*n ∈N ）. 由题意得221212n n n a a a -+=+，221222n n n a a a ++=，于是+=-n n n a a a 22222222+n n a a ，化简得+=-2222n n a a 22+n a，所以数列为等差数列.又32126a a a =-=，23429a a a ==，所以数列2=，公差为1d =1n =+，从而22(1)n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得21(1)n a n n -=+.因此，当n 为偶数时n a =21(2)4n +，当n 为奇数时n a =(1)(3)4n n ++. 所以数列}{n a 的通项公式为211(1)(3)1(2)[1(1)][1(1)]2424n nn n n n a ++++=+-⋅++-⋅217(1)48n n n +-=++.…………………10分（2）因为n a 22217(1)1(2)11(2)(3)48444n n n n n n n n +-+=++≤++=<++，所以 14114()(2)(3)23n a n n n n >=-++++， 11a S n =21a +31a + +n a 1+111111114[()()()()]34451223n n n n >-+-++-+-++++ 1144()333(3)nn n =-=++，所以43(3)n n S n >+，*n ∈N ． …………………20分。
2010年全国高中数学联合竞赛加试及参考答案及评分标淮(B卷)[Word版]2010.10.17
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2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr=-+-，同理 ()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222P O P K Q O Q K -=-，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）M注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：11111112(1)().1m m n mmmk k jj m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ 证明：11101)m m j jm j q C q +++=+=∑由（得到 1110(1),mm m j jm j q qC q +++=+-=∑ 1,2,,q n =分别将代入上式得：11021,mm jm j C ++=-=∑111322,mm m j jm j C +++=-=∑F E QP O NM K DCBA1110(1)(1),mm m j jm j n n C n +++=--=-∑ 1110(1).m m m j j m j n nC n +++=+-=∑ n 将上面个等式两边分别相加得到：1101(1)1(),mnm jjm j i n Ci++==+-=∑∑ （20分）11111(1)(1)1(1),m nnmj j mm j i i n n n Ci m i -+===++-=+++∑∑∑（）11111112(1)().1m m nm mmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑ （40分） 三、（本题满分50分）设,,x y z 为非负实数, 求证：22232222223()()()()()32xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤.证明：首先证明左边不等式.因为 2222211[()3()]()44x xy y x y x y x y -+=++-≥+, 同理,有2221()4y yz z y z -+≥+, 2221()4z zx x z x -+≥+; （10分） 于是22222221()()()[()()()]64x xy y y yz z z zx xx y y z z x -+-+-+≥+++21[()()]64x y z xy yz zx xyz =++++-; （20分） 由算术-几何平均不等式, 得 1()()9xyz x y z xy yz zx ≤++++,所以222222221()()()()()81x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx -+-+-+≥++++ 22221(222)()81x y z xy yz zx xy yz zx =+++++++3()3xy yz zx ++≥. 左边不等式获证, 其中等号当且仅当x y z ==时成立. （30分）下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于,,x y z 对称, 不妨设x y z ≥≥, 于是 22222()()z z x x y y z z xy -+-+≤, 所以222222222()()()()x x y y y y z z z z x x xx y y x y-+-+-+≤-+. （40分）运用算术-几何平均不等式, 得222222222()()()2x xy y xy x xy y x y x xy y xy xy xy -++-+=-+⋅⋅≤⋅ 22222()()22x xy y xy x y -+++≤⋅2222233()()22x y x y z +++=≤. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当,,x y z 中有一个为0,且另外两个相等时成立. （50分）四、（本题满分50分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数． 下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． （10分)假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ① （40分）这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++．显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （50分）出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
湖北省全国高二数学联合竞赛预赛试题(湖北省)
（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。
填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分。
一、填空题（此题满分64 分，每题8 分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数 f ( x) x 1 的值域为 ________________ ．x 2 4x 72 ．已知 3sin 2 2 sin 2 1 ，3(sin cos ) 2 2(sin cos )2 1 ，则cos2( ) _______________ ．3．已知数列 { a n } 知足： a1为正整数，a n 1 a n, a n 为偶数 ,假如 a1 a 2 a 3 29 ，则21, a n为奇数 ,3a na1 ．4．设会合 S {1,2,3, ,12} ， A { a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集，且知足 a1 a 2 a 3， a3 a2 5 ，那么知足条件的子集 A 的个数为．5．过原点 O 的直线 l 与椭圆 C ：x2 y2 1(a b 0)交于 M,N 两点，P是椭圆 C 上异a 2 b2于 M , N 的任一点．若直线 PM , PN 的斜率之积为1，则椭圆 C 的离心率为 _______________．36．在△ ABC 中， AB BC 2， AC 3 ．设 O 是△ ABC 的心里，若AO p AB qAC ，则p的值为_______________． q7．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1中，已知AC 1, B1C 2, AB1 p ，则长方体的体积最大时，p 为 _______________ ．2012 2012 2k．8．设 [ x] 表示不超出x的最大整数，则[ ]k 0 2k 1二、解答题（本大题满分56 分，第 9 题 16 分，第10题 20分，第 11题 20分）9 ．已知正项数列{ a n } 知足anan 1anan 24 anan 1 a n2 13 a n a n 1且a1 1 ，a2 8 ，求{ a n}的通项公式．10．已知正实数a, b 知足 a 2b2 1 ，且a3 b 3 1 m(a b 1)3，求 m 的取值范围．11．已知点 E(m, n) 为抛物线y2 2 px( p 0) 内必定点，过 E 作斜率分别为k1, k2的两条直线交抛物线于A, B,C, D ，且 M , N 分别是线段 AB,CD 的中点．（ 1）当n 0 且 k1 k2 1 时，求△ EMN 的面积的最小值；（ 2）若k1 k2 （0, 为常数），证明：直线 MN 过定点．2012 年全国高中数学结合比赛湖北省初赛试题参照答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。
数学竞赛预赛试题及答案
数学竞赛预赛试题及答案试题一：代数问题题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：首先将方程①和方程②相加，得到3x = 6，解得x = 2。
将x = 2代入方程①，得到y = 3。
因此，方程组的解为：\[ \begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases} \]试题二：几何问题题目：已知直角三角形ABC，其中∠A为直角，AB = 6，AC = 8，求斜边BC的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]所以，斜边BC的长度为10。
试题三：数列问题题目：数列1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 被称为斐波那契数列。
求第10项的值。
答案：斐波那契数列的定义是每一项都是前两项的和。
已知第9项为34，第8项为21，第7项为13，第6项为8，第5项为5，第4项为3，第3项为2，第2项为1，第1项为1。
根据定义，第10项为第8项和第9项的和，即：\[ 34 + 21 = 55 \]所以，斐波那契数列的第10项是55。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：总共有8个球，其中5个是红球。
抽到红球的概率是红球数量除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]试题五：组合问题题目：有7个人参加一个会议，需要选出3个人组成一个委员会。
求不同的委员会组合数。
答案：这是一个组合问题，可以用组合公式计算：\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]其中n是总人数，k是委员会的人数。
将数值代入公式，得到：\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]所以，可以组成35种不同的委员会组合。
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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3a 5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则
◆答案：
3
3 3
2
★解析：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则 3 d q, （1） ， 3(3 4d ) q （2） （1）代入（2）得 9 12d d 6d 9 ，求得 d 6, q 9 . 从而有 3 6( n 1) log 9
h( z ) h( z ) 3a 2 3a 2 ， 即0 z b c 1 2， 2 4 4 3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 . 3 3 0
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 第 4 页 共 12 页
为
8 . 3
解法二： f ( x ) 3ax 2bx c .
2
设 g ( x ) f ( x ) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x ) 2 .
设 z 2 x 1 ，则 x
2
x1 x 2 y y2 ， 2, y 0 1 2 2
k AB
y 2 y1 y y1 6 3 . 22 2 x 2 x1 y 2 y1 y 0 y 2 y1 6 6 y0 ( x 2) . （1） 3
线段 AB 的垂直平分线的方程是 y y 0
2010A 10、 （本题满分 20 分） 已知抛物线 y 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) ， 其中 x1 x 2 且 x1 x 2 4 ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 的面积的最大值。 ★解析：解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0
2010年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案及评分标淮(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==， 所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .OEPC 1B 1A 1CBA把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.（8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a .（12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .（4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .（8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. （16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y-++= ))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==.（10分） 220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= .（15分）当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((,33A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S ,（15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t ,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值是7314.（20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即1111n n n n n a aa a a ++=---.（5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a . 所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
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2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。
请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）
1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，则=100S 89 ．
解：因为9n n a a +=，即}{n a 时以9为周期的周期数列。
因为3,121==a a ，129...8a a a +++=，所以100111889S a =⨯+=
点评：这是周期数列问题，关键在于找到其周期！
2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，23则△ABC 的面积为167
15．
解：如图K B C A B K ∠=∠，在K B C 中，由余弦定理
得
222cos 2.BK BC KC KBC BK BC +-∠==
cos BKC ∠
=由正弦定理得sin C =
所以s i n s i n ()A A B K B =∠+∠=，在ABK 中由正弦定理得sin 3sin BK AB AKB A =
∠=,sin 2sin cos 16
ABC KBC KBC ∠=∠∠= 所以△ABC
的面积为1.sin 2S BA BC ABC =∠= 点评：处理三角形边角问题一般都用正余弦定理。
3．设100<n ，则使得n
b a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 98 ．
4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的
取法种数为 327 ．
解：根据除以3的余数分类：
①被3整除的数：3，6，9，12，15，18
②被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19
③被3除余2的数：2，5，8，11，14，17
所以取出三个数的和能被3整除的取法有：333111676676327C C C C C C +++=
点评：找到分类的依据是被3除的余数。
5．若z y x ,,均为正实数，且12
22=++z y x ，则x y z z S 2)1(2
+=的最小值为 223+．
解：由1222=++z y x 得22221xy x y z ≤+=-， 所以xyz z S 2)1(2+=22(1)11212[(1)]()(1)(1)11z z z z z z z z z z z z
++≥==+=+-+----
12331z z z z
-=++≥+-。
点评：求最值的关键在于消元，这里可以消去xy 。
6．设椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=
θcos ||MI 32-． 解：取椭圆与y 轴交点为M 点，则1cos 2θ=，由角平分线定理得22F M MI IO F O
=， 而1MI IO +=，所以MI
=2(2=⨯-，所以=θcos ||
MI 2点评：特值法事解决数学问题的一种方法，在数学竞赛中也常常用到。
7．对于一切]2
1
,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为110-≤≤-a ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．
解：设1210...x x x ≤≤≤，则1210123...200,58x x x x x x +++=++≥，
∴129...358174x x x +++≥⨯=，
所以10129200(...)20017426x x x x =-+++≤-=
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知数列}{n a 中，4
1,121==a a ，且 ),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n
n ．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求证：对一切*N n ∈，有6
712<∑=n k k a
． 解 （1）由已知，对2≥n 有 1
1)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )
1(1)1(111---=+n n a n na n n ， 即 )111()1(111n
n a n na n n ---=--+， ……………………4分 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),1
11(1)1(12≥---=--n n a a n n ， 所以
123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ． 又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=
． ……………………8分 （2）当2≥k ，有
)131431(31)13)(43(1)
23(122---=--<-=k k k k k a k ，………………12分 所以2≥n 时，有
⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n
k k n k k
.6
761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.6
7121<=a 故对一切*N n ∈，有
671
2<∑=n k k a ． ……………………16分 10．设31311623
4++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．
解 )10(3)13(22--++=x x x P ．
所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x 满足要求．
（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，
又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>，
从而2222)13()3(++<<+x x P x x ．
又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数． ……………………10分
（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2
，
则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，
所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ，
即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．
解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．
综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分 11．已知直线x y =与椭圆C ：111
162
2=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．
（1）用α表示四边形MANB 的面积；
（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．
解 （1）直线MN 的倾斜角为α，记θ=∠MFO ，则πθα=+，
θ
α2222
2222cos 2cos 2||c a ab c a ab MN -=-=． 而AB 与MN 所成的角为θπ
+4，则四边形MANB 面积
θ
θθθπ2222cos cos sin ||2)4sin(||||21c a ab OA MN AB S MANB -+⋅⋅=+⋅=．…………5分 而5,11,16222===c b a ，A 点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛9334,9334，且9664||=OA ， 从而，α
ααθθθ22cos 516cos sin 933352cos 516cos sin 933352--⋅=-+⋅=MANB S ， 其中5933433
4arctan 0+≤<α或πα<≤+5933433
4arctan ．……………10分
（2）记αααα2c o s 516cos sin )(--=f ，而)(αf 只可能在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan 时才可能取到最大值．对)(αf 求导数得到：
222)
cos 516()sin cos 10)(cos (sin )cos 516)(sin (cos )(ααααααααα----+='f ． 令0)(='αf ，则有
0)tan 10)(1(tan )11tan 16)(tan 1(2=--++αααα． ……………………15分 化简得到 011tan 21tan 6tan 1623=+++ααα．
所以 0)11tan tan 8)(1tan 2(2=+-+ααα．
而 011tan tan 82=+-αα无实根，则21tan -
=α． 经检验21tan -=α，符合⎪⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-∈πα,59334334arctan ． 故所求直线l 的方程为：2
521+-
=x y ． ……………………20分。