统计概率知识点归纳总结大全
高中数学统计与概率知识点归纳
高中数学统计与概率知识点归纳高中数学中的统计与概率是两个非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。
本文将对这些知识点进行归纳和总结，以便读者更好地理解和掌握。
首先，让我们来看看统计。
统计是研究如何从数据中获取有用信息的学科。
在高中数学中，统计的主要内容包括以下三个方面：1、概率分布：这是统计的基础知识，它描述了各种可能结果出现的概率。
例如，投掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率为0.5。
2、参数估计：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。
例如，通过样本的平均值来估计总体的平均值。
3、假设检验：假设检验是用来检验一个假设是否成立的统计学方法。
例如，我们想要检验某种新药的疗效是否优于安慰剂，可以通过比较实验组和对照组的数据来进行假设检验。
接下来，让我们来看看概率。
概率是描述事件发生可能性大小的数学工具。
在高中数学中，概率的主要内容包括以下三个方面：1、事件的关系和运算：事件的关系包括互斥、独立、不独立等，事件之间的运算包括并、交、差等。
2、概率的性质和计算：概率的性质包括加法定理、乘法定理、全概率公式等，概率的计算方法包括直接计算、利用公式计算等。
3、概率分布：概率分布描述了随机变量的取值概率，例如伯努利分布、二项分布、正态分布等。
在应用方面，统计与概率的知识点可以应用于很多领域，例如金融、医学、工业、农业等。
例如，在金融领域，可以通过统计方法来分析股票数据的规律和趋势；在医学领域，可以通过概率方法来预测疾病的发病率和死亡率。
总之，统计与概率是高中数学中非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。
通过对这些知识点的归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握它们，从而更好地应用于实际问题的解决中。
高中数学概率与统计知识点总结高中数学：概率与统计知识点总结一、前言在现实生活中，我们经常需要处理各种与概率和统计相关的问题。
例如，在掷骰子时计算点数、在班级中选取学生、或者在评估天气预报的准确性。
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
统计概率知识点梳理总结
统计概率知识点梳理总结第一章随机事件与概率一、教学要求1•理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.2•了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算. 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算.4•理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算5•掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率.本章重点：随机事件的概率计算.二、知识要点1•随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用门表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作门二{e}.2•随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件（简称事件）•通常把必然事件（记作】）与不可能事件（记作）看作特殊的随机事件.3 . **事件的关系及运算（1）包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A , 记作A B（或B二A）.⑵相等：若两事件A与B相互包含，即A二B且B二A ,那么, 称事件A与B相等，记作A二B .（3）和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件, 记作A _• B n个事件A A2,山，A中至少有一事件发生”这一事件称为nIJ AA, A2，III，A n 的和，记作A l A2 11（ A n （简记为宫）.（4）积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作A^B（简记为AB）;“n个事件A，A川，A n同时发生”这一事件称为n1AA, A2，川，A n的积事件，记作A i「A2-山-人（简记为AAJHA n或L ）.（5）互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB = • •，那么称事件A与B互不相容（或互斥），若n个事件A1，A2，山，A n中任意两个事件不能同时发生，即AA j =（1 < i<j w几），那么，称事件A，A2，川，A n互不相容.（6）对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB = •且A 一B —，那么，称A与B是对立的•事件A的对立事件（或逆事件）记作A .（7）差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作A-B（或AB）(8) 交换律：对任意两个事件A 和 B 有A .B = B 1 .A , AB = BA .(9) 结合律：对任意事件A , B , C 有Au(BuC) =(Au B).CAc (BcC) = (Ac B)c C> •(10) 分配律：对任意事件A, B, C 有Au(BcC) =(Au B)c (AuC)Ac(B.C) =(Ac B)u (A^C)(11)德U 摩根(De Morgan )法则：对任意事件 A 和B 有A 一B 二 A 一 B , A 一 B 二 A 一 B .4 .频率与概率的定义 (1) 频率的定义设随机事件A 在n 次重复试验中发生了nA次，则比值nA/n 称为随机事件A 发生P({e}) =P({e») =ill = P(g})在古典概型中，规定事件 A 的概率为A 中所含样本点的个数P （A = I ■■中所含样本点的个数（4） 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域（可以是直线上的区间、平面或空间中的区域），且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A 的概率为aA 的长度（或面积、体积）的频率，记作f n (A)，即f n (A)£n .(ii)n AP（A）=样本空间的的长度（或面积、体积）•（5）概率的公理化定义设随机试验的样本空间为,随机事件A是门的子集，P（A）是实值函数，若满足下列三条公理：公理1 （非负性）对于任一随机事件A,有P（A）>0；公理2 （规范性）对于必然事件门，有PC）二1；公理3 （可列可加性）对于两两互不相容的事件A'AzjlbAnNl，有cd oOP（U A）八P（A）i 1 i d则称P（A）为随机事件A的概率.5 . **概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质（1）P（）".⑵（有限可加性）设n个事件AA，川人两两互不相容，则有P(A _• A ?— 代)八 P(A)i 4.(3) 对于任意一个事件A :P(A) =1 _ P(A)⑷若事件A, B 满足A B ，则有P (B - A) =P(B) - P(A)5P(A)乞 P(B).(5) 对于任意一个事件A ,有P( A)叮.(6) ( 加法公式)对于任意两个事件A , B,有P(A B) =P(A) P(B) - P(AB)对于任意 n 个事件A n ，有nP( A i An\)八 P(AJ-、P(AA j )'p (AA j AQ-|l| (-1)n 」P(A"IA n )i 壬 1巴直 1知6 . **条件概率与乘法公式设A 与B 是两个事件.在事件B 发生的条件下事件 A 发生的概率称为条件概率，记 作 P(A|B) •当P(B) 0，规定在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质.乘法公式：对于任意两个事件A 与B,当P(A) 0,P(B) 0时，有P(AB) = P(A)P(B | A) =P(B)P(A| B)7 . *随机事件的相互独立性P(A| B)二P(AB) P(B)如果事件A与B满足P(AB)二P(A)P(B) 那么，称事件A与B相互独立.关于事件A,月的独立性有下列两条性质：(1)如果P(A) 0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B|A)二P(B)；如果P(B) 0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)r P(A).这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”.(2)下列四个命题是等价的：(i)事件A与B相互独立；(ii)事件A与B相互独立；(iii)事件A与B相互独立；(iv)事件A与B相互独立.对于任意n个事件A，A2,川,A n相互独立性定义如下：对任意一个k=2」|l,n，任意的1斗汕(：：：i k “，若事件AAIHA总满足P(r |l(A k)二P(AJ川P(AJ则称事件AA，山，A n相互独立•这里实际上包含了2n - n-1个等式.8. *贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A)二P(°”：p :：1)，则在n次重复独立试验中.，事件A恰发生k次的概率为m ） k n kP n （k ） = h p （1—p ） ,k=o,1,|||,n l k 丿称这组概率为二项概率.9 . **全概率公式与贝叶斯公式、P(A)P(B|A)i 4第二章离散型随机变量及其分布一、教学要求1 .理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松（Poisson ）分布、均匀分布、几何分布及其应用.2 •理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计 算有关事件的概率.3 .理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布.4. 掌握离散型随机变量独立的条件.5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布.本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算.、知识要点 1 .一维随机变量全概率公式：如果事件i = 12111,n ，则AAlllA 两两互不相容，且P(A) oP(A k |B)二P(AQP(B| AQn若对于随机试验的样本空间 门中的每个试验结果e，变量X 都有一个确定的实数值 与e 相对应，即X =X(e)，则称X 是一个一维随机变量.概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布. 2 . **离散型随机变量及其概率函数如果随机变量X 仅可能取有限个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变量.设离散型随机变量X 的可能取值为a(i“2m, n,HI),P i =P(X =3i ), i =1,2,|l(, n,l|l.QO£ Pi = 1若y ，则称P i (i"2川，n,M)离散型随机变量X 的概率函数，概率函数也可用 下列表格形式表示：3. *概率函数的性质无 Pi =1 ⑵心 .由已知的概率函数可以算得概率P(X S )八 P ia i Ws其中，s 是实数轴上的一个集合.4. *常用离散型随机变量的分布(1) P i 启0 , i =12川,n,HI;⑴0—1分布B(1，P)，它的概率函数为P(X =i) *'(1一卩)1」其中，i =0或1, Q P :: 1.(2) 二项分布B(n, p)，它的概率函数为⑴i nP(X=i)= . p'(1—p)nU丿其中，i =0,1,2川|, n , 0 c p c1 .(4 )泊松分布P(')，它的概率函数为iP(X =i) e_，i!,其中，i =0,1,2川I,n,|||，人>0 .(5 )均匀分布，它的概率函数为1P(X 二a)二n ,其中i =0,1,2,111, n丿、I ? ♦5.二维随机变量若对于试验的样本空间11中的每个试验结果e ,有序变量(X，丫)都有确定的一对实数值与e相对应，即X=X(e) , 丫二丫(e),则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.6. *二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量（X，Y）仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称（X，Y）为二维离散型随机变量.二维离散型随机变量（X,Y）的分布可用下列联合概率函数来表示：P（X=a i,Y=b j） = p, i,j=1,2,川，P j -0, i, j =1,2, Hl,二P j =1其中，i j•7•二维离散型随机变量的边缘概率函数设（X,Y）为二维离散型随机变量，P ij为其联合概率函数（i,j=12HI ），称概率P（X二a i）（i =1,2JIO为随机变量X的边缘概率函数，记为p L并有p.= P（X =印）=瓦p「i =1,2川j,称概率P（Y = b j ）（j二1,2,川）为随机变量Y的边缘概率函数，记为P.j，并有p P（丫=b j）P j, j=1,2」11P.j = i8•随机变量的相互独立性设（X,Y）为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为P j 二P iL P_j ,对一切i, j =1,2,|l|.多维随机变量的相互独立性可类似定义•即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论.9.随机变量函数的分布设X是一个随机变量，g（x）是一个已知函数，丫二g（x）是随机变量X的函数，它也是一个随机变量.对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布.(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率f n(A)在一个稳定的值P(0< P<1)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值P为概率，即P(A)二p.(3) ** 古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i) 试验的样本空间门是个有限集，不妨记作门二｛乳佥,川，弓｝；在每次试验中，每个样本点e(i =1,2 3^l，n)出现的概率相同，即。
统计概率知识点梳理总结
1 统计概率知识点梳理总结 统计概率知识点梳理总结第一章随机事件与概率一、教学要求1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算．2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．本章重点：随机事件的概率计算．二、知识要点1．随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1)试验可以在相同的条件下重复地进行； ·(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现．试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用表示，称为样本空间中的样本点，记作．2．随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)看作特殊的随机事件．3．**事件的关系及运算(1)包含：若事件发生，一定导致事件发生，那么，称事件包含事件，记作(或)．(2)相等：若两事件与相互包含，即且，那么，称事件与相等，记作．(3)和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作； “n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和，记作（简记为）．(4)积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作(简记为)； “n个事件同时发生”这一事件称为的积事件，记作（简记为或)．(5)互不相容：若事件A和B不能同时发生，即，那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件中任意两个事件不能同时发生，即(1≤i相容．(6)对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即且，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作．(7)差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作2
高中数学必修二统计概率知识点总结
必修第二册第九章 统计知识点总结知识点一：简单随机抽样1. 全面调查和抽样调查2.简单随机抽样的概念放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N 为正整数)个个体,从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本3.抽签法先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.调查方式全面调查(普查)抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为 抽样调查相关概念总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体样本:把从总体中抽取的那部分个体 称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为 样本量4.随机数法(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数.5.总体均值和样本均值(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,则称Y=Y1+Y2+⋯+Y NN =1N∑i=1NY i为总体均值,又称总体平均数.(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数f i(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1N ∑i=1kf i Y i.(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,y n,则称y=y1+y2+⋯+y nn =1n∑i=1ny i为样本均值,又称样本平均数.6.分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.(3)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的关系①样本容量n总体容量N =该层抽取的个体数该层的个体数;②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;③样本的平均数和各层的样本平均数的关系:w=mm+n x+nm+ny=MM+Nx+NM+Ny.1.画频率分布直方图的步骤(1)求极差:极差为一组数据中最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成5-12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”;(3)将数据分组;(4)列频率分布表:一般分四列:分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1;.(5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示频率组距=频率,各小长方形的面积的总和等于1.小长方形的面积=组距×频率组距2.其他统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展折线图变化情况1.第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.知识点四：总体集中趋势的估计1.众数、中位数和平均数的定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取中间两个数据的平均数.(3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数:众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点1.一组数据x1,x2,…,x n的方差和标准差数据x1,x2,…,x n的方差为1n ∑i=1n(x i-x)2=1n∑i=1nx i2-x2,标准差为√1n∑i=1n(x i-x)2.2.总体方差和总体标准差(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,总体的平均数为Y,则称S2= 1N ∑i=1N(Y i-Y)2为总体方差,S=√S2为总体标准差.(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数为f i(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 1N ∑i=1kf i(Y i-Y)2.3.样本方差和样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,y n,样本平均数为y,则称s2= 1n ∑i=1n(y i-y)2为样本方差,s=√s2为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.5.分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为x1,x2,方差分别为s12,s22,则这个样本的方差为s2=n1n [s12+(x1-x)2]+n2n[s22+(x2-x)2].必修第二册第十章概率知识点总结知识点一：有限样本空间与随机事件1.随机试验的概念和特点(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.(2)随机试验的特点:(i)试验可以在相同条件下重复进行;(ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}3.事件的类型我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.而空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间Ω的一个子集.知识点二：事件的关系和运算1.包含关系定义一般地,若事件A 发生,则事件B 一定发生,我们就称事件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B)含义 A 发生导致B 发生 符号表示B ⊇A(或A ⊆B)图形表示特殊情形如果事件B 包含事件A,事件A 也包含事件B,即B ⊇A 且A ⊇B,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B2.并事件(和事件)定义一般地,事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B 中,我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或 和事件)含义 A 与B 至少有一个发生符号表示A ∪B(或A+B)图形表示3.交事件(积事件)定义一般地,事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B 中,我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积 事件)含义 A 与B 同时发生 符号表示A ∩B(或AB)图形表示4.互斥(互不相容)一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能定义事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B=⌀图形表示5.互为对立一般地,如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=定义Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A 含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B=⌀,且A∪B=Ω图形表示6.清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A 随机事件集合A A的对立事件A的补集AB 事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B 事件A与B的并事件集合A与B的并集知识点三：古典概型1.古典概型的定义试验具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.2.古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= kn =n(A)n(Ω),其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.知识点四：概率的基本性质1.概率的基本性质性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).知识点五：事件的相互独立性1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A 与事件B相互独立,简称为独立.2.相互独立事件的性质：当事件A,B相互独立时,则事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立.【提示】公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2·…·A n)=P(A1)P(A2)·…·P(A n).3. 两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件.4.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率,再求积.5.事件间的独立性关系已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有事件表示概率A,B同时发生AB P(A)P(B)A,B都不发生A B P(A)P(B)A,B恰有一个发生(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至少有一个发生(A B)∪(A B)∪(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至多有一个发生(A B)∪(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
高考统计概率知识点归纳总结大全
高考统计概率知识点归纳总结大全概率统计是高中数学考试的重要内容之一，也是高考中常考的一个知识点。
掌握好概率统计的知识，对提高数学成绩，甚至对生活中的决策问题都有着重要的意义。
本文将对高考概率统计的知识点进行归纳总结，希望对广大考生能够有所帮助。
1. 事件与概率概率统计的基本概念是事件和概率。
事件即我们所关注的问题，而概率则是描述这个事件发生可能性大小的数值。
事件通常用大写字母表示，如A、B，而概率用P(A)表示。
概率的取值范围是0到1之间。
2. 事件的运算事件之间有着不同的运算关系，包括和事件、积事件、差事件和补事件。
对于事件A和事件B，和事件表示同时发生的事件，用A∪B表示；积事件表示两个事件同时发生，用A∩B表示；差事件表示事件A发生而事件B不发生，用A-B表示；补事件表示事件A不发生的情况，用- A表示。
3. 概率的加法规则对于两个事件A和B，它们的和事件的概率计算公式为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) ，即和事件的概率等于两个事件的概率之和减去积事件的概率。
4. 独立事件与互斥事件事件A和事件B独立指的是A事件的发生与否对B事件的发生没有影响，它们之间的概率关系为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
而互斥事件指的是A事件和B事件不能同时发生，它们之间的概率关系为P(A∩B) = 0。
5. 条件概率与乘法法则条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
乘法法则是条件概率的推广，当某个事件发生的条件不再只有一个时，乘法法则可以用来计算多个事件同时发生的概率。
6. 伯努利试验与二项分布伯努利试验是指只有两种可能结果的一类实验，如抛硬币、掷骰子等。
二项分布是指在n次独立重复伯努利试验中，事件A出现k 次的概率分布。
二项分布的概率计算公式为P(X=k) = C(n, k) × P^k × (1-P)^(n-k)，其中C(n, k)表示组合数。
统计与概率的知识点总结
统计与概率的知识点总结统计与概率是数学中非常重要的两个分支，它们在我们的日常生活中起着重要作用，例如我们可以利用统计来分析数据，用概率来预测事件发生的可能性。
统计是收集、整理、分析和解释数据的过程，而概率则是研究随机现象的数量规律和可能性的数学理论。
在本文中，我们将对统计与概率的一些基本知识点进行总结，包括基本概念、相关定理、应用等内容。
一、统计学的基本知识点1. 数据的分类统计学中常见的数据类型包括定量数据和定性数据。
定量数据是可用数字表示的数据，如长度、重量、温度等；定性数据是指不能用数字表示的数据，如颜色、性别、品种等。
此外，数据还可分为离散数据和连续数据，离散数据是指在一定范围内取有限个数值的数据，如投掷硬币的结果；连续数据是指在一定范围内可以取得无限多值的数据，如时间、温度等。
2. 统计量在统计学中，常用的统计量包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。
平均数是一组数据的算术平均值，中位数是一组数据中位于中间的值，众数是一组数据中出现次数最多的值，方差是一组数据偏离平均值的程度的平均数，标准差是方差的平方根。
3. 概率分布概率分布是指某一随机变量可能取得各个值以及相应的概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指一组数据只能取得有限个数值的概率分布，如二项分布、泊松分布等；连续概率分布是指一组数据可以取得无限多值的概率分布，如正态分布、指数分布等。
4. 抽样与估计在实际问题中，往往需要对总体进行研究，但由于总体规模庞大，难以直接研究，因此常常采用抽样的方法进行研究。
估计是指利用抽样样本的信息来对总体参数进行估计。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是指利用抽样样本的信息来对总体参数进行估计，如用样本均值估计总体均值；区间估计是指根据样本信息对总体参数的范围进行估计，如构造置信区间。
二、概率论的基本知识点1. 随机事件在概率论中，随机事件是指一个试验中可能发生或不发生的事件，常用记号为A、B、C 等。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。
（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。
2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。
3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。
4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。
6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。
（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。
3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。
高中数学统计与概率知识点归纳(全)
高中数学统计与概率知识点（文）一、众数 : 一组数据中出现次数最多的那个数据。
众数与平均数的区别 : 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
二、 . 中位数 : 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据 ( 当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数 )三 . 众数、中位数及平均数的求法。
①众数由所给数据可直接求出; ②求中位数时，首先要先排序( 从小到大或从大到小) ，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数 ; 当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。
③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
四、中位数与众数的特点。
⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据；⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数；⑶中位数的单位与数据的单位相同；⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
六、对于样本数据 x1， x2，⋯， xn，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？| x1 - x | + | x2 - x | + L + | x n - x |n思考 4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用 s 表示 . 假设样本数据x1，x2，⋯， xn 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：2 2 2s =(x1 - x) + (x2 - x) + L + (xn - x)n七、简单随即抽样的含义一般地 , 设一个总体有N个个体 , 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（ n≤N） ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样 .八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本 .十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性 .缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n 个号码为止，就得到一个容量为n 的样本 .简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。
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统计概率知识点归纳总结大全
1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概
率.
3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的
概率乘法公式计算一些事件的概率．
4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
5． 掌握离散型随机变量的分布列.
6．掌握离散型随机变量的期望与方差.
7．掌握抽样方法与总体分布的估计.
8．掌握正态分布与线性回归.
考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(IcardAcard＝nm;
等可能事件概率的计算步骤：
（1） 计算一次试验的基本事件总数n;
（2） 设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m;
（3） 依公式()mPAn求值;
（4） 答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝knkknppC)1(.其中P为事件A在一次试验中发
生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
① 求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算和事件积事件
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kknknnmPAnPABPAPBPABPAPBPkCpp等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n次独立重复试验:求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、
η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量可能取的值为1x，2x，……，ix，……，取每一个值
i
x
（i1，2，……）的概率P（ix）=iP，则称下表.
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1）0iP，i1，2，…;（2）21PP…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
n
次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，
1，2，…n，并且knkknkqpCkPP)(，其中nk0，pq1，随机变量的分布列如
下：
0 1 … k …
n
P nnqpC00 111nnqpC … knkknqpC
0qpCnn
n
称这样随机变量服从二项分布，记作),(~pnB，其中n、p为参数，并记：
),;(pnkbqpCknkkn
.
（2） 几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数
的离散型随机变量，“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量的概率分布为：
1
x
2
x
… ix …
P P1 P2 … iP …
1 2 3 … k …
P p qp 2qp … 1kqp …
考点3 离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望：2211pxpxE…；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差：222121)()(pExpExD…nnpEx2)(…；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质：baEbaE)(；DabaD2)(.
(4)若～B(n，p)，则 npE ; D =npq（这里q=1-p） ;
如果随机变量服从几何分布，),()(pkgkP，则pE1，D =2pq其中q=1-p.
考点4 抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，
且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和
随机数表法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出
的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为
机械抽样）.
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各
部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，
样本容量越大，这种估计就越精确.
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频
率表示，几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就
会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
考点5 正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
（1）正态分布的概念
如果连续型随机变量 的概率密度函数为 222)(21)(xexf，xR 其中、为
常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为~N（，2）.
（2）期望E =μ，方差2D.
（3）正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:
①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越
“高瘦”.
（4）标准正态分布
当=0，=1时服从标准的正态分布，记作~N（0，1）
（5）两个重要的公式
①()1()xx,② ()()()Pabba.
（6）2(,)N与(0,1)N二者联系.
（1）若2~(,)N，则~(0,1)N ;
②若2~(,)N，则()()()baPab.
2.线性回归
简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.
不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一
种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来，对n个样本数据（11,xy），（22,xy），…，（,nnxy），其回归直线方程，
或经验公式为：abxyˆ.其中,,)(1221xbyaxnxyxnyxbniiniii，其中yx,分别为|ix|、|iy|的平均
数.