九年级数学上册21.2.2二次函数y=ax2bxc的图象和性质(第5课时)名师教案(新版)沪科版

第5课时用待定系数法求二次函数的解析式
教学目标
1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．
2．能灵活地根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化．3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．教学重难点
根据不同条件选择不同的方法来求二次函数的关系式．
教学过程
导入新课
1．回忆二次函数关系式的两种类型：一般式和顶点式．
2．一般式和顶点式的区别与联系．
推进新课
一、合作探究
【问题1】已知一个二次函数的图象过点(0,1)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．
分析：二次函数y＝a(x＋(a≠0)．
【例2】已知二次函数的图象的顶点坐标为(2，－3)，且经过点(0,3)，求这个函数的表达式．
解：因为函数图象的顶点坐标为(2，－3)，故可设其表达式为y＝a(x－2)2－3，
又经过点(0,3)，故3＝a(0－3)2－3，解得a＝2 3 .
所以y＝2
3(x－3)2－3或y＝
2
3
x2－4x＋3.
3．如果已知条件是二次函数图象与x轴交点坐标，那么可采用两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
【例3】已知二次函数的图象交x轴于点(－2,0)和(6,0)，且经过点(1,15)，求它的表达式．
解：这里x1＝－2，x2＝6，故可设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－6)．
把x＝1，y＝15代入，得15＝a×3×(－5)，a＝－1.所以y＝－(x＋2)(x－6)＝－x2＋4x＋12.
4．综合运用各种表达式，再利用比较系数法．
【例4】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为(2，－3)，且在x 轴上截得的线段长为23，求a，b，c的值．
解：由已知，设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2－3，即y＝ax2－4ax＋4a－3，故Δ＝16a2－4a(4a－3)＝12a＞0.设抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)，由题意，得|x1－x2|＝2 3.
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×4a－3
a
＝23，解得a＝1.
故y＝(x－2)2－3，即y＝x2－4x＋1.
所以a＝1，b＝－4，c＝1.
二、求变换后抛物线的关系式
二次函数的图象是抛物线，对抛物线进行平移、旋转、翻折等变换后，所求相应的抛物线的关系式也发生了变化，下面探讨如何求变换后的二次函数的关系式．1．平移变换
将抛物线y＝a(x－(n＞0)个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为()；将抛物线y ＝a(x－(n＞0)个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为()．
【例1】将抛物线y＝2x2－4x＋5先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后所得抛物线的关系式．
分析：要求平移后的抛物线关系式，首先将y＝2x2－4x＋5配方，确定其顶点坐标，然后根据平移公式求出平移后所得抛物线的顶点坐标，即可求得平移后的抛物线．解：因为y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，其顶点坐标为(1,3)，所以平移后的抛物线的顶点坐标是(1＋3，3－2)，即为(4,1)，所以平移后的抛物线的关系式为y＝2(x－4)2＋1，也就是y＝2x2－16x＋33.
点拨：平移前抛物线与平移后的抛物线的关系式的二次项的系数相同．
2．翻折变换
将抛物线y＝a(x－h)2＋k沿x轴翻折后得到的抛物线与原抛物线关于x轴对称，
所以两抛物线顶点的横坐标相同，纵坐标和a 都互为相反数；
将抛物线y ＝a (x －h )2
＋k 沿y 轴翻折，得到的抛物线与原抛物线关于y 轴对称，所以两抛物线的顶点的纵坐标和a 不变，顶点的横坐标互为相反数．
【例2】 把抛物线y ＝－2x 2
＋4x ＋3以x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为__________．
解析：要求翻折后的抛物线的关系式，则需要求出y ＝－2x 2
＋4x ＋3的顶点坐标．根据顶点坐标的变化，再求出翻折后所得抛物线的顶点坐标．
y ＝－2x 2＋4x ＋3＝－2(x －1)2＋5，其顶点坐标是(1,5)，以x 轴翻折所得抛物线
的顶点坐标是(1，－5)，相应抛物线的关系式为y ＝2(x －1)2
－5，即y ＝2x 2
－4x －3.
答案：y ＝2x 2
－4x －3
点拨：观察沿x 轴翻折后抛物线的关系式与原抛物线的关系式，可知它们的各项的系数互为相反数．
3．旋转180°
将抛物线y ＝a (x －h )2
＋k 绕顶点旋转180°，所得抛物线与原抛物线的顶点坐标相同，开口方向相反．
【例3】 将抛物线y ＝－12(x －3)2
＋5绕顶点旋转180°后的关系式为
__________．
分析：观察已知抛物线的开口向下，顶点坐标是(3,5)，将抛物线绕顶点旋转180°后，所得的抛物线开口向上，顶点坐标不变．
解析：所得抛物线的关系式为y ＝12(x －3)2
＋5.
答案：y ＝12
(x －3)2
＋5
三、系数符号与抛物线的图象关系
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)系数的符号与抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象有着非常密切的关系，我们既可以根据a ，b ，c 的符号判定抛物线的位置，也可以根据抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号．
a 决定开口方向和开口大小：a 的正负决定抛物线的开口方向，a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下，简记为“上正下负”；|a |的大小决定抛物线的开口大小，|a |越大，
抛物线开口越小，反之越大．
a与b决定对称轴的位置：b＝0时，抛物线的对称轴为y轴；若a，b同号，对称轴在y轴的左侧；若a，b异号，对称轴在y轴的右侧，简记为“左同右异”．c决定抛物线与y轴的交点位置：抛物线与y轴的交点为(0，c)，当c＝0时，抛物线过原点；当c＞0时，抛物线交y轴于正半轴；当c＜0时，抛物线交y轴于负半轴，简记为“上正下负”．
记忆口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点，它们确定图象现；
开口、大小由a断，c与y轴来相见；
b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点位置先找见，y轴作为参考线；
左同右异中为0，牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要，一般式配方它就现；
横标即为对称轴，纵标函数最值见．
1．由系数符号确定抛物线的位置
【例1】已知a＜0，b＞0， c＞0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在( )．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解析：由a＜0，b＞0，知x＝－b
2a
＞0，又由c＞0，知4ac－b2＜0，
所以y＝4ac－b2
4a
＞0.所以抛物线的顶点在第一象限内，故选A．
答案：A
2．由抛物线的位置确定a，b，c的符号
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则a，b，c满足( )．
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
解析：因为抛物线的开口向下，所以a ＜0；对称轴在y 轴的左侧，所以－b
2a ＜
0.再结合a ＜0可得b ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，所以c ＞0.故应选A ．
答案：A
3．综合运用图象和a ，b ，c 的符号特征解决相关问题
【例3】 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ，c a 在( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象
限
解析：因为抛物线的开口向下，所以a ＜0. 因为抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， 所以c ＞0.所以c
a
＜0.
因为抛物线的顶点在y 轴的右边，所以－b
2a ＞0，可知b 与a 异号．再结合a ＜0
可知b ＞0，所以点M 在第四象限，故选D ．
答案：D
【例4】 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是( )．
A ．ab ＜0
B ．bc ＜0
C ．a ＋b ＋c ＞0
D ．a －b ＋c
＜0
解析：由对称轴在y 轴左侧，可知－b
2a ＜0，进而可知ab ＞0，故可首先排除A ；
由抛物线的开口向下，可知a ＜0，再结合对称轴在y 轴左侧⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－
b 2a <0可知b ＜0，由
抛物线与y 轴交于负半轴，知c ＜0，进而可知bc ＞0，故可排除B ；由x ＝1时，抛物线在x 轴的下方，知当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故可排除C ；由x ＝－1时，抛物线在x 轴的下方，知当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，故应选D ．
答案：D。