数学物理方法习题解答(完整版)44767
高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题及解析
高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题及解析一、数学物理法1．质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m 的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F 拉着木块匀速上滑，如图所示，求：(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)拉力F 最小时，木楔对水平面的摩擦力． 【答案】(1)mg sin 2θ (2)12mg sin 4θ 【解析】 【分析】对物块进行受力分析，根据共点力平衡，利用正交分解，在沿斜面方向和垂直于斜面方向都平衡，进行求解采用整体法，对m 、M 构成的整体列平衡方程求解． 【详解】(1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑时，mg sin θ＝μmg cos θ，则μ＝tan θ，用力F 拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，则有：F cos α＝mg sin θ＋F f ，F N ＋F sin α＝mg cos θ， F f ＝μF N联立以上各式解得：()sin 2cos mg F θθα=-．当α＝θ时，F 有最小值，F min ＝mg sin 2θ．(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，F f ′＝F cos(θ＋α)，当拉力F 最小时，F f ′＝F min ·cos 2θ＝12mg sin 4θ． 【点睛】木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含摩擦系数的数值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，结合数学知识即可解题．2．如图所示，半圆形玻璃砖的半径为R ，圆心为O 。
一束单色光由玻璃砖上的P 点垂直于半圆底面射入玻璃砖，其折射光线射向底面的Q 3P 点与半圆底面的距离为2R。
计算确定Q 点的位置。
【答案】333R - 【解析】 【详解】 如图所示P 点折射有sin sin in r=由几何关系得1cos 2PM i R == i r α=-解得30α=︒则有QP QO =又有3cos PM QP α== 则33NQ R QO R -=-=即Q 点与玻璃砖上边缘相距333R -。
数学物理方法习题答案[1]
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数学物理方法习题答案：第二章：1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。
（2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2,cos(2)sin(2)ie i πππ+； 32,2[cos(sin(3)ie i πππ+；,(cos1sin1)i e e e i ⋅+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+；42355cos sin 10cos sin sin ϕϕϕϕϕ-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1()cos 2y y ay b e e x e ---- 4、（1）2214u υ+=变为W 平面上半径为12的圆。
（2）u υ=- 平分二、四象限的直线。
5、(1) zie iC -+;2(1)2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标,,()22u C f z ϕϕυ==+=6、ln C z D +第三章：1、 （1）i π （2）、 iie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π2、 设()!n z z e f n ξξ=z 为参变数，则 ()122011()1(0)2!2!1()()!!!!n z n n n lln n n n z z nz e d f df in in z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξξ+=======⎰⎰第四章：1、（1）2323()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+-（2）23313(1)2!3!e z z z ++++（3）211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k kk z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑2、(1)1nn z ∞=--∑(2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞++=-∑ ，34z <<时11101134k k k k k k z z -∞++=-∞=-∑∑，4z >时 11111()43k k k k k z z -++=-∞-∑ ② 11011()34kk k k z ∞++=-∑ ③031z <-<时1(3)kk z ∞=---∑，041z <-<时 11()(4)k kk z ∞+=---∑；④ 031z <-<，041z <-<同③的结果，而31z ->时，21(3)k k z ∞=-∑，41z ->时，21()(4)kk k z ∞=--∑ 3、 （1）两个奇点 1,z z ==∞ 所以，1z =为()f z 的二阶极点。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
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(3) cos 5ϕ． 解：由乘幂的公式
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ).
及二项式定理
(a + b)n = an + nan−1 b + n(n − 1) n−2 2 n! a b + ··· + an−k bk + · · · . 2! (n − k )!k !
4
√ √ 3
a2
a2
2 2
a2 + b2 + a + i
a2 + b2 − a
(2)
i． i = 1 cos π π + 2nπ + i sin + 2nπ 2 2 π 2 + nπ + i sin 6 3 √ 3 i = ei( 6 + 3 nπ) .
π 2
解：因
,
所以
√ 3 i= √ 3 1 cos π 2 + nπ 6 3 ,
z = cos 3π 3π + i sin . 2 2
指数式：
z = ei 2 .
3π
3. 计算下列数值（a、b和ϕ为实常数）． √ (1) a + ib. √ (2) 3 i. (3) cos 5ϕ. (1)
√ a + ib．
解：先化a + ib为三角式
a + ib = cos ϕ = √ xiangap@ a2 + b2 (cos ϕ + i sin ϕ), sin ϕ = √ b . a2 + b2 供教学参考
指数式：
z = i = ei 2 .
π
(1) −i． 解：−i本身即为代数式． 三角式：
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电路练习题一、选择题（第1组）1、图示电路，求i 。
A ：1/2 A B: 1/3 A C ：3/2 A D ：2/3 A2、图示电路，求u 。
A ：2VB ：4VC ：6VD ：8V3、图示单口网络，其端口VCR 关系为:A: u =5i +3 B: u =-5i +3 C ：u =-5i -3 D: u =5i-34、图示电路，求i 。
A ：2AB ：1.5AC ：1AD ：3A5、图示电路，求i 。
A ：1AB ：9/13 AC ：1/7 AD ：2/11 A6、图示电路，问R L 能获得的最大功率。
A ：1/3 W B ：2W C ：2/9 W D ：4W7、图示稳态电路，求i 。
A ：2A B ：1AC ：3AD ：1.5Ai 4ΩR L4Ω6Ω 10Ω1H108、图示稳态电路，问电容中的储能。
A ：4J B ：2JC ：8JD ：1J9、图示电路，t < 0时处于稳态, t = 0时，开关切到a ， 当t = 5s 时，u c (t )是多少？A ：6.3VB ：5VC ：2.4VD ：3.16V10、图示电路，t < 0时处于稳态，t = 0时， 开关断开，求t = 1s 时u c (t )是多少？ A ：1.47V B ：2.94V C: 5V D ：4V11、图示电路原处于稳态，在t = 0时， 开关断开，求t = 0.1s 时的电流i (t )。
A ：1A B ：0 C ：0.358A D ：0.184 A12、图示正弦稳态电路，求i (t ) 。
A ：)452cos(2°+t A B ：)452cos(2°−t A C ：)452cos(2°−t A D ：)452cos(2°+t A13、图示正弦稳态电路中，有效值： I 是10A ，I R 是8A 。
问I c 是多少？ A ：2A B ：18A C ：6A D ：4Ai(t)1H0.5Ω2ΩA2cos 22t u c1A c (t)2A14、图示正弦稳态电路， 求电阻上的平均功率。
物理数学物理法练习全集含解析
物理数学物理法练习全集含解析一、数学物理法1．如图所示，空间有场强E =1.0×102V/m 竖直向下的电场，长L =0.8m 不可伸长的轻绳固定于O 点．另一端系一质量m =0.5kg 带电q =+5×10-2C 的小球．拉起小球至绳水平后在A 点无初速度释放，当小球运动至O 点的正下方B 点时绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面且与水平面成θ=53°、无限大的挡板MN 上的C 点．试求：(1)小球运动到B 点时速度大小及绳子的最大张力； (2)小球运动到C 点时速度大小及A 、C 两点的电势差；(3)当小球运动至C 点时，突然施加一恒力F 作用在小球上，同时把挡板迅速水平向右移至某处，若小球仍能垂直打在档板上，所加恒力F 的最小值。
【答案】（1）30N ； （2）125V ； （3）0~127︒︒ 【解析】 【分析】 【详解】（1）小球到B 点时速度为v ，A 到B 由动能定理21()2mg qE L mv +=2()v F mg qE m L-+=解得42/v m s =F=30N（2）高AC 高度为h AC ，C 点速度为v 1152m/s sin v v θ==211()2AC mg qE h mv +=U =Eh AC解得U =125V（3）加恒力后，小球做匀速直线运动或者匀加速直线运动，设F 与竖直方向夹角为α，当小球匀速直线运动时α=0，当小球匀加速直线运动时，F 的最小值为F 1，F 没有最大值1()sin 8N F mg qE θ=+=F 与竖直方向的最大夹角为180127αθ=︒-=︒ 0127α≤≤︒F ≥8N2．如图所示，在xoy 平面内y 轴右侧有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场方向垂直纸面向外；分成I 和II 两个区域，I 区域的宽度为d ，右侧磁场II 区域还存在平行于xoy 平面的匀强电场，场强大小为E ＝22B qdm，电场方向沿y 轴正方向。
【物理】物理数学物理法题20套(带答案)含解析
【物理】物理数学物理法题20套(带答案)含解析一、数学物理法1. 两块平行正对的水平金属板AB, 极板长 , 板间距离 , 在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场, 磁感应强度 , 方向垂直纸面向里。
两极板间电势差UAB 随时间变化规律如右图所示。
现有带正电的粒子流以 的速度沿水平中线 连续射入电场中, 粒子的比荷 , 重力忽略不计, 在每个粒子通过电场的极短时间内, 电场视为匀强电场（两板外无电场）。
求:(1)要使带电粒子射出水平金属板, 两金属板间电势差UAB 取值范围；(2)若粒子在距 点下方0.05m 处射入磁场, 从MN 上某点射出磁场, 此过程出射点与入射点间的距离 ；(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。
【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为 , 此时粒子在电场中做类平抛运动, 加速大小为a,时间为t1。
水平方向上01L v t =①竖直方向上21122d at =② 又由于mU qma d=③ 联立①②③得m 100V U =由题意可知, 要使带电粒子射出水平金属板, 两板间电势差100V 100V AB U -≤≤(2)如图所示从 点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v, 速度水平分量大小为 , 竖直分量大小为 , 速度偏向角为θ。
粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R, 则2mv qvB R=④ 0cos v v θ=⑤2cos y R θ∆=⑥联立④⑤⑥得20.4m mv y qB∆== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。
如图所示粒子进入磁场速度大小为v1, 速度水平分量大小为 , 竖直分量大小为vy1, 速度偏向角为α, 则对粒子在电场中011L v t =⑦11022y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得101y v v =101tan y v v α=得π4α=粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为 , 则211mv qv B R ='⑨ 1mv R qB'=⑩ 带电粒子在磁场中圆周运动的周期为T12π2πR m T v qB'==⑪在磁场中运动时间2π(π2)2πt T α--=⑫联立⑪⑫得663π10s 9.4210s t --=⨯=⨯2. 如图, 在长方体玻璃砖内部有一半球形气泡, 球心为O, 半径为R, 其平面部分与玻璃砖表面平行, 球面部分与玻璃砖相切于O'点。
高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题含解析
高考物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题含解析一、数学物理法1．两块平行正对的水平金属板AB ，极板长0.2m L =，板间距离0.2m d =，在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度3510T B -=⨯，方向垂直纸面向里。
两极板间电势差U AB 随时间变化规律如右图所示。
现有带正电的粒子流以5010m/s v =的速度沿水平中线OO '连续射入电场中，粒子的比荷810C/kg qm=，重力忽略不计，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场视为匀强电场（两板外无电场）。
求： (1)要使带电粒子射出水平金属板，两金属板间电势差U AB 取值范围；(2)若粒子在距O '点下方0.05m 处射入磁场，从MN 上某点射出磁场，此过程出射点与入射点间的距离y ∆；(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。
【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为m U ，此时粒子在电场中做类平抛运动，加速大小为a ，时间为t 1。
水平方向上01L v t =①竖直方向上21122d at =② 又由于mU qma d=③ 联立①②③得m 100V U =由题意可知，要使带电粒子射出水平金属板，两板间电势差100V 100V AB U -≤≤(2)如图所示从O '点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v ，速度水平分量大小为0v ，竖直分量大小为y v ，速度偏向角为θ。
粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R ，则2mv qvB R=④ 0cos v v θ=⑤2cos y R θ∆=⑥联立④⑤⑥得20.4m mv y qB∆== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。
如图所示粒子进入磁场速度大小为v 1，速度水平分量大小为01v ，竖直分量大小为v y 1，速度偏向角为α，则对粒子在电场中011L v t =⑦11022y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得101y v v =101tan y v v α=得π4α=粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R '，则211mv qv B R ='⑨ 1mv R qB'=⑩ 带电粒子在磁场中圆周运动的周期为T12π2πR m T v qB'==⑪在磁场中运动时间2π(π2)2πt T α--=⑫联立⑪⑫得663π10s 9.4210s t --=⨯=⨯2．图示为一由直角三角形ABC 和矩形CDEA 组成的玻璃砖截面图。
数学物理方法习题答案
第11章综合习题11.1，设弦的初始位移为，初始速度为，求解无限长弦的自由振动.[答案 ：解即为答朗贝尔公式 ()x ϕ()x ψ11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰pause(0.0000001);end;11.2 半无限长弦的初始位移和速度都是零，端点作微小振动0|sin x u A t ω==，求解弦的振动.【答案 0,();sin (),()x x x u t u A t t a a aω=<=->】 11.3 求解细圆锥形均质杆的纵振动.【提示 作变换 u x =v/】【答案 12()()f x at f x at u x-++=】 11.4 半无限长杆的端点受到纵向力()sin F t A t ω=作用，求解杆的纵振动.【答案 00()()1,()d 221 ()d cos ()2x at at x x at at x x t u a a aA x aA t a YS a YS ϕϕψξξψξξωωω+-++->=+++--⎰⎰】 11.5已知初始电压分布为cos A kx ，cos kx ，求解无线长理想传输线上电压和电流的传播情况，【答案cos (),cos ()A k x at i k x at -=-v =】11.6 在GL CR =条件下求无限长传输线上的电报方程的通解.【答案 11{[()()]()d 22R x at t L x at e x at x at aϕϕψξξ+--++-+⎰】 11.7已知端点通过电阻R 而相接，初始电压分布为cos A kx ，初始电流分布为cos kx .求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射（遮住情况叫作匹配）？【答案 匹配的条件是0R =本章计算机仿真11.8 试用计算机仿真的方法，将11.2的弦振动规律以图形的分式表示出来.【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;x=0:0.01:10;for t=1:0.5:25u=A*sin(pi*(t-x/a));plot(x,u);title('弦振动')xlabel('x')ylabel('u')11.9试用计算机仿真的方法，将11.5中的电压分布和电流分布用图形表示出来．【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;k=2*pi;C=0.006;L=0.003;x=0:0.001:10;for t=1:0.5:25subplot(2,1,1);v=A*cos(k*(t-x/a));plot(x,v);title('电压动态分布')xlabel('x')ylabel('v')pause(0.0000001);subplot(2,1,2);i=sqrt(C/L)*A*cos(k*(t-x/a));plot(x,i);title('电流动态分布')xlabel('x')ylabel('i')pause(0.0000001);end;。
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
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数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =Q ，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u yy →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。
(0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =-()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。
但33332200()(0)()lim lim ()()z z f z f x y i x y zx y x iy →→--++=++。
令y 沿y kx =趋于0，则3333334343222220()1(1)1(1)lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。
4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上必为常数。
（1）()z f 在区域D 上为实函数； （2）()*z f 在区域D 上解析； （3）()Re z f 在区域D 上是常数。
证明：（1）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。
由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。
()f z Q 在区域D 上解析。
由C －R 条件得0u v x y ∂∂==∂∂，0u vy x∂∂=-=∂∂。
∴在区域D 上(,)u x y 为常数。
从而()z f 在区域D 上为常数。
（2）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。
()f z Q 在区域D 上解析。
由C －R 条件得,u v u vx y y x∂∂∂∂= =-∂∂∂∂。
（1） 又*()f z 在区域D 上解析，由C －R 条件得,u v u v x y y x∂∂∂∂=- =∂∂∂∂。
（2） 联立（1）和（2），得0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂。
,u v ∴在区域D 上均为常数，从而()f z 在区域D 上为常数。
（3）令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()Re (),f z u x y =。
由题设知(),u x y 在区域D 上为常数，0u u x y∂∂∴==∂∂。
又由C －R 条件得，在区域D 上0,0v u v u x y y x∂∂∂∂=-= ==∂∂∂∂，于是v 在区域D 上为常数。
,u v ∴在区域D 上均为常数，从而在区域D 上()f z 为常数。
5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。
证明：令2u xy =，2222022u ux x x y∂∂+=+=∂∂。
u ∴ 不满足拉普拉斯方程。
从而它不能成为z 的一个解析函数的实部。
6、若z x iy =+，试证：（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+； （2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-； （3）222sin sin sinh z x y +＝； （4）222cos cos sinh z x y =+。
证明：（1）sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q ， sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。
（2）cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=- cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q ， cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。
（3）222sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+ 2222sin (1sinh )cos sinh x y x y =++222222sin (sin cos )sinh sin sinh x x x y x y =++=+。
（4）2222222cos (cos cosh )(sin sinh )cos cosh sin sinh z x y x y x y x y =+=+ 2222cos (1sinh )sin sinh x y x y =++ 22222cos cos sinh sin sinh x x y x y =++222222cos (cos sin )sinh cos sinh x x x y x y =++=+。
7、试证若函数()f z 和()z ϕ在0z 解析。
()()()0000,0f z z z ϕϕ'==≠，则()()()()000lim z z z f z f z z ϕϕ→'='。
（复变函数的洛必达法则） 证明：00000000000000000()()()()lim()()()()lim lim lim ()()()()()()()()lim z z z z z z z z z z f z f z f z f z f z z z z z f z f z f z z z z z z z z z z z z z ϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→→→--'---====--'---。
或倒过来做。
8、求证：0sin lim 1z zz →=。
证明：000sin (sin )lim lim limcos 1z z z z z z z z→→→'==='。
第二章习题解答 9、利用积分估值，证明a ．()22ii x iy dz π-+≤⎰ 积分路径是从i -到i 的 右半圆周。
b ．证明222iidzz+≤⎰积分路径是直线段。
证明：a ．（方法一）()()222244iiiiiixiy dz xiydz x y dz ---+≤+=+⎰⎰⎰42242222()iiiix x y y dz x y dz π--≤++=+=⎰⎰。
（方法二）在半圆周221x y +=上，221,1x y ≤ ≤，从而42424422x x y y x y x y ≤ , ≤⇒+≤+在半圆周221x y +=上，2244221x iy x y x y +=+≤+=，44max 1cx y +=，()222222ii iiiiiixiy dz x iy dz x y dz dz π----+≤+≤+==⎰⎰⎰⎰。
或：()2244max ii cx iy dz x y ππ-+≤+=⎰。
b ．证:222111maxmaxmax11z x iz x iz x z =+=+===+ 2221max 22iiz x idz z z +=+∴ ≤⋅=⎰。
10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，半径为1的单位圆周。
a ．cos c dz z ⎰Ñ；b ．256zc e dz z z ++⎰Ñ。
证明：a ．1cos z 的奇点为1,0,1,2n z n n π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭L ，由于1n z >，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
1cos z∴在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。
由柯西定理: 0cos cdzz=⎰Ñ。
b ．256(2)(3)z ze e z z z z =++++的奇点为12z =-，23z =-，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
256ze z z ∴ ++在以原点为圆心的单位圆内处处解析。
由柯西定理:2056z c e dzz z =++⎰Ñ。
11、计算a ．()221:21c z z dzc z z -+=-⎰Ñ；b ．()()2221:21cz z dzc z z -+=-⎰Ñ。
解: a ．221z z -+在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。
由柯西积分公式得221212(21)2241z c z z dz i z z i i z πππ=-+=-+=⨯=-⎰Ñ。