数学物理方法第十一章
数学物理方法答案(科学出版社)
λn (x )=(
nπ 2 nπ x ) ， X n (x )=sin l l
（3）特解的线性叠加
n 2π 2 a 2t − ∞ nxπ u ( x , t ) = ∑ Cn e sin l2 l n =1
（4）根据本征函数正交性，由初始条件定系数. 由 x (l
n
∞
( 2n + 1) π at 得 A
=0,
得Bn =
8lv0 2 (2 n +1)π x l dx = ∫0 v0 sin (2 n +1)π a 2l (2 n +1)2 π 2 a
8lv0 ∞ 1 (2 n +1)π at (2 n +1)π x sin sin ∑ 2l 2l π 2 a n = 0 (2 n +1)2
l nxπ − x ) = u ( x , 0) = ∑ Cn sin l n =1
nxπ 2 l 4l 2 n C = ∫0 x (l − x ) sin dx = [1 − ( −1) ] n l l n3π 3 (2 n +1)2 π 2a 2 2 − 8l ∞ ( 2 n +1) xπ 1 2 ∑ ∴ u ( x, t ) = e sin l l π 3 n =0 (2 n +1)3
段的相对伸长为
( X =0端固定)
1 (n+ )π x 2 X (x )=sin n l
(3)通解为：
，λ
n
(x )=(
(2n+1)π 2 ) 2l
∞ 2 n +1 2 n +1 2 n +1 u ( x , t ) = ∑ [A cos( at ) + B sin( at )]sin( π π π x) n n 2 l 2 l 2 l n =0 (4)由 u ( x , 0) = 0 得 B = 0 t n ∞ F0 x 2 n +1 π x ) 得： = u( x , 0) = ∑ An sin( YS l 2 时,上式中的 x ± at 就会超出这个区间.考虑本题是第一内 边界条件,这里的 ϕ ( x ) 与ψ ( x ) 应理解为经过奇沿拓的,周期为 2l 的初位移与初速 度.
11.1泛函和泛函的极值-武汉大学数学物理方法
考虑：δ ∫ [ F ( x, y, y′) + λG ( x, y, y′)]dx = 0
a
b
则→
∂F ∂y
+λLeabharlann ∂G ∂y−d dx
[(
∂F ∂y ′
)+λ
d
dx ∂y ′
(
∂G
)] = 0
积分常数 C1 , C 2和λ可由附加条件定出
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
1 ⎧ 2 ⎪ J [ y ( x )] = ∫ y ′ dx 0 ⎪ 1 ⎪ 2 例 2 .⎨ y dx = 1 ∫ ⎪ 0 ⎪ y ( 0 ) = 0， y (1 ) = 1 ⎪ ⎩
考虑
δ ∫ ( y′2 + λy 2 )dx = 0
0
1
不显含x, 也可推出一阶Euler方程, 此处直接用二阶Euler d 也不困难 : 2λy − (2 y′) = 0 dx
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
即 : y′′ − λy = 0 y = C1e
λx
+ C2 e −
λx
§11.1 泛函和泛函的极值
二、泛函的极值
2.变分
(1) : 函数的变分 : 若 y ( x ) 微变 y ( x ) + t η ( x ), t为小参数 , 则记
δ ( y ) = tη ( x ) ( 2 ) — 称 tη ( x )为 y ( x )的变分 . 注意 : δ y 不同于 dy , dy 有一取极值过程 , δ y 不取
δ ( y ) → y ′( x )的变分
即： δ ( y ′) ≡
d dx
δ ( y)
人教版物理八年级下册第十一章功的计算
思考：第三次与第一次比较说明了什么？ 在力的方向移动的距离一样大时，功的大小跟物体 受力的大小成正比
二、功的计算 1、功等于力和物体在力的方向上通过的距离的乘积。 2、功的公式： 功=力×距离
W=F·S （注意S是指在F的方向上移动的距离） 3、功的单位：焦耳（焦） 1焦耳=1牛顿·米
解：∵匀速提升 ∴F1=G=100牛
又∵s1=1米 ∴W1=F1s1=100牛×1米=100焦 ∵F2=50牛 s2=10米 ∴ W2=F2s2=50牛×10米=500焦
答：…
注意：提升物体所做的功常直接用W=Gh计算
公式W=Fs综合应用 “功等于力跟物体在力的方向上通过距离的乘积”，用公 式可以表示为W＝FS。这是课本上告诉我们计算功的法则， 解题时应注意以下“三性”。
意义：1牛的力使物体在力的方向上，通过1米的距离时 所做的功为1焦
1焦耳有多大？
1）把一只鸡蛋举高2米所做的功大约为1焦耳
2）把一本<物理>书从地面捡起放回桌面所做 的功大约为2焦耳
例1 质量为50kg的雪橇上装载了350kg的原木，一匹马 拉着雪橇沿着平直的里面匀速前行，将原木运到了3000m 外的货场。如果雪橇行进中受到的摩擦力是800N，求马 车的水平拉力作用。
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测 试，假如达到90分以上，就说明你 已经很好的掌握了这节课的内容， 有关情况将记录在你的学习记录上， 亲爱的同学再见！
解：雪橇在平直路面上做匀速直线运动，马的水平 拉力F与摩擦力F擦的大小相等。
F擦=800N
F=800N
雪橇沿水平方向移动的距离s=3000m
所以，马的水平拉力做功 W=FS=800NX3000m=2.4x106J
《数学物理方法》第十一章分离变量法
流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
28
1. 补充：三角函数的正交性
29
30
31
32
33
【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
12
2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
19
→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
《数学物理方法》第11章_11-2009级
+ (v"y2 +2v′y2′+ vy2")+ p(v′y2+ vy2′) + qvy2
＝ (u"y1 + pu′y1 + quy1) + (vy2"+ pvy2′+ qvy2)
+ u"y1+2u′y1′+ pu′y1 +v"y2 + 2v′y2′+ pv′y2
＝u"y1+v"y2 + 2(u′y1′+ v′y2′)+p(v′y2 + u′y1 ) ＝ u′y1′+ v′y2′＝ f(x)
14
为此，对 y ＝ u(x) y1(x) + v(x)y2(x) (9)式两边 求导，得 y′＝ (u y1 ′+ v y2 ′) + (u ′y1+v ′y2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为 零，即 u ′y1+ v ′y2 ＝0． (12) 将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y2(x)是齐 次方程的解，即有 u′y1′+ v′y2′＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出
由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,可得
这是关于A,B的线性齐次方程组, 由于系数行 列式不为零,故A＝B＝0.
因此l < 0时, X(x)无非零解.
22
(2) 若l ＝0, 这时方程成为X" (x) ＝ 0, 它的通解 为 X(x) ＝Ax+B 由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,得A＝B＝0, X(x) 也无非零解.
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter11
![电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter11](https://img.taocdn.com/s3/m/35fecc63ee06eff9aef80789.png)
11.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 由上面的讨论我们得到了自由弦振动泛定方程 的通解（11.3.4）为
u(x,t) F1(x at) F2(x at)
即定解问题的解可以表示为两个函数 F1(x at), F2(x at) 之 和，而这两个函数的具体形式完全由初始条件来确 定．为了阐述达朗贝尔公式的物理意义, 实际上只需 阐明这两个函数 F1(x at), F2(x at) 的物理意义就行了．
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
(11.3.9)
当函数(x) 是二次连续函数，函数 (x) 是一次连续可微
的函数时，(11.3.9)式即为无界弦自由振动定解问题的
解，表达式(11.3.9)称为达朗贝尔(D.Alembert)公式.
无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解.
uut(t
a x,0)
2u
xx
0, 0 x x,ut x,0
x,
0
x
u0,t 0
(13.4.4) (13.4.5) (13.4.6)
由于端点固定，所以有u(0,t) 0. 为了使用无界的达
朗贝尔公式，故需要把半无界问题延拓为无界问题来
处理，即必须把 u(x,t) 、 (x) 和(x) 延拓到整个无界区
假设方程的行波解具有下列形式
u(x, y) F(y x)
(11.2.2)
代入方程即得
a2F(y x) bF(y x) cF(y x) 0
需要求方程的非零解，故
F(x x) 0
a2 b c 0
(11.2.3)
(i) b2 4ac 0，对应于双曲型方程，式（11.2.3）有两
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1
1
2
3
4
5
I0 I6
对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则<0应排除11
拉普拉斯方程
11.2 贝塞耳方程
u 0 柱坐标系下的解
0
2 0
0
(
)
cos sin
m m
(
)
cos sin
m m
(
x
H(1)
2 ei( x / 4)
x
H(2)
2 ei( x / 4) x
0
J
2 cos( x / 4) x
N
2 sin( x / 4) x
研究圆柱外部问题：两个线性独立特解都要保留
6
贝塞尔函数的图象
x 0
J0( x) 1,
Jm0 ( x)
1 m!
(
x 2
)m
x
Jm(x)
k 0
1
( x ) 2k
k !( k 1) 2
I ( x) i J (ix)
k 0
1
( x ) 2k
k !( k 1) 2
通解： y( x) C1Iv ( x) C2Iv ( x)
10
m 阶虚宗量贝塞耳方程
2 d 2 R dR ( 2 m2 )R 0 d 2 d
Im ( x) im Jm (ix)
第一种和第二种汉克尔函数
H(1) H( 2 )
( (
x) x)
J J
( (
x) x)
iN iN
( (
x) x)
贝塞耳方程的通解 y( x) C1H(1) ( x) C2 H(2) ( x)
第一类柱函数：贝塞耳函数
Jm (x)
(1)k
x 2km
k0 k !(k m 1) 2
第二类柱函数：诺依曼函数 第三类柱函数：汉克尔函数
k 0
1
( x )m2k
k!( k 1) 2
Im (x) imJm (ix) im (1)m Jm (ix) im (1)m im Im (x) Im (x)
另一个独立解需要另外研究（含有对数项）
x0
x
I0 1, Im 0. I0 , Im .
5
图
4
3
2
x a 0 I0, Im 0.
（一）三类柱函数 (1) 阶贝塞耳方程
x2 d 2 R x dR (x2 2 )R 0
dx2 dx
整数 阶贝塞耳函数
J
(x)
(1)k
k 0
1
k!( k
1)
( x ) 2k 2
另一个解
阶贝塞耳函数
J
(x)
(1)k
k 0
1
( x ) 2k
k!( k 1) 2
通解： y(x) c1J (x) c2J (x)
dx2 dx
ix
2 d 2 R dR ( 2 2 )R 0 d 2 d
J
( )
(1)k
k 0
i 2k
k !( k
( x ) 2k 1) 2
i
k 0
1
( x ) 2k
k !( k 1) 2
定义：
I ( x) i J (ix)
k 0
1
( x ) 2k
k!( k 1) 2
J ( ) i
诺依曼函数
N
( x)
J
(x) cos sin
J
(x)
为整数时0/0型
2x
Nm (x)
lim
vm
Nm (x)
(lnBiblioteka 2C) J m ( x)
....
阶贝塞耳方程的通解又可以写作 y(x) c1J (x) c2 N (x)
m 阶贝塞耳方程的通解只能写作 y(x) c1Jm (x) c2Nm (x)
d dx
[
Z ( x x
)
]
Z
1 ( x
x
)
d dx
[ x
Z
( x)]
x
Z 1( x)
基本递推公式
Z ' Z / x Z 1
Z ' Z / x Z 1
推论一
Z 1 Z 1 2Z '
Z 1 2 Z / x Z 1 0
推论二
9
虚宗量贝塞耳方程 阶虚宗量贝塞耳方程
x2 d 2 R x dR ( x2 2 )R 0
2 x
cos( x
1 2
m
147
)
诺伊曼函数的图象
x 0
N0(x)
2
ln
x 2
Nm0
(
x)
( m 1)!
(
2 x
)m
x
Nm(x)
2 x
sin( x
1 2
m
1
48
)
（三） 递推公式
d
dx
(
J ( x x
)
)
d
(1)k
dx k 0
1
( 1 ) 2k x2k
k !( k 1) 2
(1)k
k 1
3
其中 Γ-函数定义为 (x) ett x1dt 0 它有递推关系： (x 1) x(x)
当 x 为 正整数 (x 1) x!
(0) (m)
(2) m 阶贝塞耳方程
Jm (x)
(1)k
k 0
1
( x )m2k
k!(m k)! 2
Jm (x) 求和只能从 k 开m 始。
k lm
Jm (x)
0
1
R0
(
)
1
ln
Z
(z)
z
Rm (
m0
)
m
m
2
11.1 三类柱函数
贝塞耳方程：
d 2 R 1 dR
m2
(1 )R 0
dx2 x dx
x2
虚宗量贝塞耳方程：
d2R dx2
1 x
dR dx
(1
m2 x2
)R
0
x
球贝塞耳方程：
d (r2 dR) [k2r2 l(l 1)]R 0 dr dr
(1)k
km
1 k!(m k
1)
(
x 2
)m
2k
(1)l m
l 0
(l
1 m)!(l
( x )m2l 1) 2
(1)m
(1)l
l 0
l !(l
1
( x )m2l
m)! 2
(1)m Jm ( x)
Jm (x) 与 Jm (x) 相互不独立。y(x) c1Jm (x) c2Jm (x) 不再是通解4
Nm (x)
Jm (x)cos mx sin mx
Jm (x)
Hm (x) Jm (x) i Nm (x)
5
（二）渐进行为 J0 J5
1 0.8
图
x 0
0.6
0.4
J0 1, J 0
0.2
N0 ,
N .( 0) -0.2
J .
-0.4
2
4
6
8
10
内解问题：只要零阶和正阶贝塞尔函数
1
复习：拉普拉斯方程 u 0 分离变数结果
球坐标系
柱坐标系
(
)
cos m sin m
rl
R(r
)
1/
r
l
1
(x) l-阶连带 勒让德方程
(
)
cos sin
m m
0
2 0
Z
(z)
e
z
e z
R() m-阶
贝赛尔方程
Z(z
)
cos sin
z
z
R() m-阶虚 宗量贝赛尔方程
2k
( 1 ) 2k
k !( k 1) 2
x2k 1
k l 1 (1)l1
l 1
( 1 ) 2l 1 x2l 1
l 0
(l 1)!( l 2) 2
1
x
(1)l
l 0
1
( 1 ) 12l x 12l
l !( 1 l 1) 2
J
1 ( x
x)
d dx
[ x
J
( x)]
x
J
1( x)
诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。 写作 Z ( x)