二次根式专题(含答案详解)

数学专题 第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、 二次根式式子a （ ）叫做二次根式提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 二、 二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）③= （a ≥0 ,b ≥0）④= (a ≥0, b ≥0)提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 重点考点例析考点一：二次根式有意义的条件A ．x ≠3B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3（a ≥o ）（a ＜o ）思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练 1．使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12C ．x≥0且x≠12 D ．一切实数 解：由题意得：2x-1≠0，x≥0，解得：x≥0，且x≠12，故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ．故选C ．点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2()a b a ++的化简结果为 ．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|， ∴2()a b a ++=|a+b|+a =-a-b+a=-b ， 故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3．二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，将各式进行化简是解题关键． 对应训练=4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0， 1+， (1)11)44x x x+=考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．80分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可． 解：2221146450-- =2(11464)(11464)50+-- =1785050⨯- =50(17850)⨯- =50128⨯=222582⨯⨯⨯=2×5×8，=80， 故选D ．考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算 【聚焦中考】1．下列运算正确的是（ ）B ．A 2(5)5-=- B ．21()164--= C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 52.计算：182= ．0 3．计算：0(3)123-+⨯= ．7【备考真题过关】 一、选择题1．要使式子2x -有意义，则x 的取值范围是（ D ）A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2 D．x≤2 2．计算102÷=（ A ）A 5B ．5C ．52D ．1023.计算：322-=（ ）4．已知3()(221)3m =-⨯-，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 解：3()(221)3m =-⨯- 23213=⨯ 2373=⨯ 2728==，∵252836<<，∴5286<<，即5＜m ＜6， 故选A ．5．下列计算正确的是（ D ） A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3223-=D ．14772⨯=6．下列等式一定成立的是（ B ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=7．使式子有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣1 B ． ﹣1≤x≤2C ． x≤2D ． ﹣1＜x ＜2解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2； 故选B ．8．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵×=a ﹣b ，∴二次根式的有理化因式是：．故选：C ．主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键． 9．下列计算错误的是（ ）A．B．C．D．分析：根据二次根式的乘法对A、B进行判断；根据二次根式的除法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．解：A、=，所以A选项的计算正确；B、与不是同类二次根式，不能合并，所以B选项的计算错误；C、÷===2，所以C选项的计算正确；D、==×=2，所以D选项的计算正确．故选B．10．下列计算正确的是（）A．B．C．D．分析：根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D 进行判断．解：A、与不能合并，所以A选项不正确；B、×=，所以B选项不正确；C、﹣=2=，所以C选项正确；D、÷=2÷=2，所以D选项不正确．故选C．11．下列计算或化简正确的是（）A．a2+a3=a5B．C．D．分析：A、根据合并同类项的法则计算；B、化简成最简二次根式即可；C、计算的是算术平方根，不是平方根；D、利用分式的性质计算．解：A、a2+a3=a2+a3，此选项错误；B、+3=+，此选项错误；C、=3，此选项错误；D、=，此选项正确．故选D．考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根．12．下列计算正确的是（）A．B．C．D．分析：根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案．解：A、•=1，故本选项正确；B、﹣≠1，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、=2，故本选项错误；故选A．二、填空题解：∵20n=22×5n． ∴整数n 的最小值为5． 故答案是：5．∴222a <-<，即22b <<．故答案为：22b <<．1205的结果是22的结果是2)222+⨯⨯1。

20.= ．21．计算124183-⨯= ．6 22．使式子有意义的最小整数m 是 ．分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 解：根据题意得，m ﹣2≥0， 解得m≥2，所以最小整数m 是2． 故答案为：2． 三、解答题23．计算：（-1）101+（π-3）0+11()2--2(12)-．解：原式=-1+1+2-（21-）=3-2．24．计算：312⨯+|-4|-9×3-1-20120．解：312⨯+|-4|-9×3-1-2012=312⨯+4-9×13-1 =6+4-3-1 =6．25．计算：． 分析： 先去括号得到原式=﹣+，再根据二次根式的性质和乘法法则得到原式=2﹣+．然后合并即可． 解：原式=﹣+ =2﹣+ =2． 26．计算：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）分析： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数公式化简，第三项利用平方差公式化简，合并后即可得到结果． 解：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）=2+4﹣（5﹣1） =2+4﹣4 =2．二次根式综合练习题一、亮出你的观点，明智选择！（每小题2分，共16分）12-x 是二次根式，则x 的取值范围是（ ）.（A ）0x ≥ （B ）2x ≥ （C ）12x ≥ （D ）12x > 2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）.（A ）21x + （B ）35x y （C ）72 （D ）0.53是同类二次根式的是（ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）18 4.下列运算中错误的是（ ）. （A ）236⨯=（B ）2733÷=（C ）22()2a b a b -=- （D ）2(23)23-=-5. 化简二次根式3)5(2⨯-得（ ）.（A ）35- （B ）35 （C ）35± （D ）306. 把aba 123化去分母中的根号后得（ ）.（A ）b 4 （B ）b 2 （C ）b 21（D ） b b 2 7. 已知0a <，那么22a a -可化简为（ ）.（A ）a - （B ）a （C ）3a - （D ）3a 8. 计算29328+-的结果是（ ） （A ）22-（B ）22 C.2 （D ）223二、写出你的结论，完美填空！（每小题3分，共24分）x 满足条件________时，式子2x +不是二次根式.10.计算：()235=_______，2(7)-=____________5_____________.11.32=_________ 2.5=____________23=________________. 12.直角坐标系中，点A （2，6）到原点的距离是___________.13. 如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___________．14. 如果△ABC 的三边a =750，b =472，c =298，则周长为________________. 15. 已知2＜x ＜5，化简2(2)x -+2(5)x -＝________. 16. 观察下列各式：11111112,23,34, (334455)+=+=+=请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来 ．三、展示你的思维，规范解答！（共60分）17.（24分）计算： （1）3(16)(36)---； （2）（315+35）÷5；（3）110.53227538+---； （4）(236)(236)+-.18.（12分）某中学有一个长方形水池，长是140m ，宽是35m ，学校要重新规划，现要将其改成一个面积相等的圆形游泳池，那么这个圆形游泳池的半径是多少？19.（12分）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离约为梯子长度的13，则梯子比较稳定，现有一长度为6m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6m 高的墙头吗？20.（12分）阅读下面的文字后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：2169a a a +-+，其中5a =．”甲、乙两人的解答不同， 甲的解答是：22169(13)13129a a a a a a a a +-+=+-=+-=-=-； 乙的解答是：22169(13)314119a a a a a a a a +-+=+-=+-=-=．（1） 的解答是错误的．（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．（3）模仿上题解答：化简并求值：211816a a a -+-+，其中2a =．四、（附加题）提升你的潜能，快乐探索！（20分）21.（20分）大家知道，因式分解是数学中的一种重要的恒等变形，应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： 2121(2)1(21)(21)2121212121--+-====-++++； 22(3)(2)(32)(32)3232323232====++++（143+. （2）从以上化简结果中找出规律，写出用n （n 为1≥的正整数）表示上面规律的式子.（3）根据以上规律计算：（++++++451341231 (2007)20081+）（2008+2）.参考答案： 1.C ；2.A ；3.C ；4.D ；5.B ；6.D ；7.C ；8.A ；9.2x <-； 10.45，7，55-；11.42，102，63； 12.38；13. 22－2； 14. 732；15.3； 16. 11(1)22n n n n +=+++； 17.（1）243-；（2）1635；（3）1717243-3；（4）6. 18. 解：140357070ππππ⨯==m..答：略. 19. 解：当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到的最大高度为 22166********⎛⎫-⨯=-== ⎪⎝⎭.因为42 5.656 5.6≈>，所以它的顶端能达到5.6m 高的墙头.20. （1）甲；（22a a =，当0a <2a a =-．（3）()2211816114a a a a a --+=--2a =，10140a a ∴-<-<，，∴原式141528a a a =-+-=-=．21.解：（143+(43)(43)434343+-===++23. （211n n n n =+++1n ≥且为整数）.+（3）原式=2008-=. ==200822006。