微积分期末测试题及答案

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一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设lim()xafxk,那么点x=a是f(x）的（ )。

①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
2.设f(x)在点x=a处可导，那么0()(2)limhfahfahh（ )。

①3()fa ②2()fa ③()fa ④1()3fa
3。设函数f(x）的定义域为［-1,1]，则复合函数f（sinx)的定义域为（ )。

①（—1,1) ②,22 ③（0,+∞） ④（—∞，+∞)

4.设2()()lim1()xafxfaxa，那么f（x）在a处（ ）。
①导数存在,但()0fa ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
5.已知0lim()0xxfx及( )，则0lim()()0xxfxgx.
①g(x)为任意函数时 ②当g(x）为有界函数时
③仅当0lim()0xxgx时 ④仅当0lim()xxgx存在时

二 填空题(每小题5分,共15分)
1。sinlimsinxxxxx____________.

2。31lim(1)xxx____________.
3。2()sinfxx，那么左导数(0)f____________,右导数(0)f____________。
三 计算题（1—4题各5分，5—6题各10分，共40分)
1。111lim()ln1xxx

2。ttxeyte,求22dydx

3。2ln(1)yxx,求dy和22dydx.
4。由方程0xyexy确定隐函数y=f（x) ，求dydx.
5.设1111,11nnnxxxx,求limnxx。
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6.2lim(3)2xxaxbxc，求常数a,b。
四 证明题(每小题10分，共30分)
1.设f（x)在（—∞,+∞）上连续,且()()limlim0xxfxfxxx,证明：存在(,),
使
()0f
。

2.若函数f（x）在［a，+∞]上可导，对任意x∈（a,+∞),有()fxM，M是常数,则

2
()lim0xfx
x



。

3.证明函数1sinyx在(c，1)内一致连续,但在（0，1）内非一致连续。

答案
一 单项选择题（每小题3分，共15分)
1.④ 2.① 3。④ 4.③ 5。②
二 填空题（每小题5分，共15分)

1。sinlimsinxxxxx__1_ 。

2.31lim(1)xxx __e_.
3.2()sinfxx,那么左导数(0)f__-1__,右导数(0)f__1__。
三 计算题(1—4题各5分，5-6题各10分,共40分）
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111111111,lim()ln11111(1)ln1:lim()limlimlim(1)ln1(1)lnln1ln1limln11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx








解

2.ttxeyte,求22dydx
2
21()(1)()1tttt

dydydt
etetdxdtdxeddydydtdxdxdxedt解:

3。2ln(1)yxx，求dy和22dydx.
22
2

2
222

2
2
2
22323

1
:ln(1)(1)111((1))()1111,1111[]221(1)(1)dydxxdxxxxxdxdxdxdxxxxxxdxxdydxxdxdxxxx解

4.由方程0xyexy确定隐函数y=f(x) ，求dydx.
:()0,(),xyxyxyxyxydexydedxyedxdyydxxdydyyedxex解方程两边求微分得
即

所以
5.设1111,11nnnxxxx，求limnxx.
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21111111111111(1)1)11(1)(1)0,(1)(1)(1)(1)12,1limnkkkkkkkkkkkkkknkkkknnnnxxxnkxxxxnkxxxxxxxxxxxxxxxxxxx











证明： 先证{}单调增加.显然，设时成立，即，
当时，（

所以{}单调增加；
显然所以由单调增加有界数列必有极限得{}收敛.
令010000lim,limlim(1)111lim15151,().122nnnnnnnnnnnxxxaxxxaaaaa则
即 得舍去
6.2lim(3)2xxaxbxc，求常数a,b。
2
2
22

2
2

22

:0,lim(3)3lim(3)(3)33limlim2993,90,2,9,3.xxxxaxaxbxcxaxbxcxaxbxcxaxbxcbcaxaxbxcxxcxaxbxcxaxbxaaabb解显然

所以得
四 证明题(每小题10分,共30分）
1.设f(x）在（-∞,+∞）上连续，且()()limlim0xxfxfxxx，证明：存在(,),
使
()0f
.

():lim0,1,0,,(),(),(1)()(1)0,,()0,()0.0,()0.()(,),[,],()()[,](xfx
XxXxfxxfxxxxfxxxbXxbfxxfbafafxabFxfxxabF证明因为所以对0<存在使得当时有

成立即
故取所以当时
有特别的同理可得存在使得
而在上连续所以在闭区间连续
从而在上连续,而)0,()0,()(,),()()0.aFbFf

所以由闭区间上连续函数性质零点存在定理得存在使得
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2.若函数f（x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a，+∞）,有()fxM,M是常数,则
2
()lim0xfx
x



。

121212
222

:()(,)(),,,(,),()().,(,),()().()()()()lim0,lim0,lim0.,0,()()xxxfxafxMxxafxfxMxxbaxafxfbMxbfbfxfxfbxxxxbfxfbx证明因为在区间满足所以满足李普希兹条件
即:对任意的有
令则有成立

我们知故要证只需证
时对任意给定的要使

2222

2
2

()()222,max{,},()(),()()lim0,.xfxfbMxbMxMbMxxxxMMxXbfxfbxXxfxfbx




只需即可令
则当时成立
即所以得证
3.证明函数1sinyx在(c,1)内一致连续，但在(0，1)内非一致连续。
0

000
0
000

2
000

22
0

2
0

0

:0,0,111111sinsin2cos()sin()22222cos()sin()2,222,,0,0,,111sinsin,sin(,1)(0)cxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcxxcccxxyccxxx证明设<1,对任意的要使
只需令
所以 对任意的存在当时

有成立故上是在一致连续的.
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2
22

11
,,,222211sinsin1(1)20,()4420,,,11sinsinnnnnnnnnnnxxnnnxxxxnnxxxx为正整数

所以对小于的任意不能找到一致连续定义中的使得当时