大连理工大学附属学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案与解析)

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A B.
C. D.
2.方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.5、﹣1、4B.5、﹣1、﹣4C.5、﹣4、﹣1D.5、4、﹣1
3.将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．
25.如图，平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为 ， ，顶点为D的抛物线 交y轴于点C．
（1）若 ，且 面积为 ．
①求抛物线的解析式；
14.一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共_________人．
15.如图 抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
16.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为__．
A.11分钟B.12分钟C.15分钟D.20分钟
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.二次函数 的顶点坐标是_____．
12.若点 在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是_____．
13.给出下列函数：① ；② ；③ ；④ （x＞0）．其中y随x的增大而减小的函数是_____________．
23.如图，在平面直角坐标系中，点A(3，2)在反比例函数 的图像上，点B在OA的延长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图像相交于点D，连接AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若 ，设点C的坐标为(a，0)，求线段BD的长．
五、解答题（本题共3小题，其中23、24题各11分，25题12分，共34分）
A. B. C. D.
7.在同一坐标系中，函数y= 和y=kx−2的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，A，B是双曲线y （x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为（ ）
A.3B.4C.6D.8
【详解】解：∵D为AC的中点，△AOD的面积为3，
∴△AOC的面积为2×3=6，
∵A，B是双曲线y （x＞0）上的两点，AC⊥x轴于点C，
∴ ，则 ，
∴ ，
将点B（m，2）代入 中，得 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，解答关键是利用三角形的中线性质得出△AOC的面积．
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质．
7.在同一坐标系中，函数y= 和y=kx−2的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析当k＞0及k＜0时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论．
∴4a-2b+c<0，结论③正确；
④1-（-3）=4，4-1=3，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，4>3，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，结论④正确．
综上所述：正确的结论有②③④．
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一般形式是解答本题的关键．
3.将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图像的平移“上加下减”进行计算即可得．
【详解】解：由题意得， ，
故选：A．
三、解答题（本题共4小题，17题10分，18题9分、19题10分、20题10分）
17.解下列方程：
（1） ；
（2） ．
18.在平面直角坐标系中，抛物线 图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．
19.如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．
（1）求这两个函数的解折式；
（2）直接写出不等式 解集．
22.某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中 ，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（1）求小路的宽．
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
20.如图，直线 与抛物线 交于B，C两点（B在C的左侧）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积．
四.解答题（本题共3小题，其中21题9分，22题10分，23题10分）
21.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象经过点 和点 ，
2.方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.5、﹣1、4B.5、﹣1、﹣4C.5、﹣4、﹣1D.5、4、﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程的般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c．
【详解】解：方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5、﹣4、﹣1．
∴ ，
∴ 且 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和判别式，熟知一元二次方程 有两个不相等的实数根时， 是解题的关键．
5.某口罩厂平均每天可生产15万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产25万只，若两次的平均增长率都为x，则可得方程（）
A. B.
C. D.
【答案】B
大连理工大学附属学校2022～2023学年上学期10月月考试题
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，总分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。
3．考生务必将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
8.如图，A，B是双曲线y （x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为（ ）
A.3B.4C.6D.8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角形的中线将三角形面积平分求得△AOC的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值．
【详解】解：当k＞0时，一次函数y=kx-2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y= 的图象在第一、三象限；
当k＜0时，一次函数y=kx-2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y= 的图象在第二、四象限．
观察四个选项，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分k＞0及k＜0两种情况寻找函数图象是解题的关键．
②当 时，y的最大值为3，求m的值；
（2）当抛物线与线段AB有两个交点时，直接写出a 取值范围．
26.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线 （a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当 面积最大时，求出点M的坐标：
【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，- =1，c＞0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x=1，
∴- =1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口方向向下，当x=-1时y=0，
∴当x=-2时y<0，
B、它是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、它最高次项是三次，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、它化简后为 ，属于一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义（指只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程），只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
9.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a-2b＋c＜0；④若（－3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（ ）
A.①②B.②③④C.②④D.①③④
10.某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（）