静电场之均匀带电圆环,圆盘和圆圈在轴线上的电场
2015复习静电学-3
R E外 2 0 r
2
E
r <R,取高斯面s2
E内 r 2 0
R
r
[例 ] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 100 V/m ；在离地面 E 垂直于地面向下，大小约为 1.5 km 高的地方， E 也是垂直于地面向下的，大小 约为 25 V/m。(1) 求从地面到此高度大气中电荷的 平均体密度。 (2) 如果地球上的电荷全部分布在表 面，求地面上的电荷面密度。 解： (1) 设电荷的平均体密度为 ，取圆柱形高斯面(侧 面垂直底面，底面 DS 平行地面)，上下底面处的场 强分别为 E1 和 E2，则通过高斯面的电通量为：
B
2
P
Ez dEz (sin 2 sin1 ) 4 0 x
O
x
过程要求，公式不必记，会用
A
1
无限长带电直线： E x 2 o x
半无限长带电线直线（若在B端） Ex Ez 4 o x 4 o x
2、均匀带电圆环和圆盘轴线上一点场强 过程要求，公式不必记，会用 特例无限大带电平面
[例]
一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的 半径为 0.5 m，杆的两端有 2 cm 的缝隙，3.1210-9 C 的正电荷均匀地分布在杆上，求圆环中心处电场强度 的大小和方向。
解： 圆心处的电场强度应等于完整的均匀圆周电荷和相同 电荷线密度填满缝隙的负电荷的电场强度的叠加，由 于前者在圆心处的电场强度为零，所以圆心处的电场 强度为
2、高斯定理+对称性求 结果 1 均匀带电球面 r<R, E=0 r > R, E
Q 4 r
2
Q RE Eo
三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析
1图 1图2三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析——兼析三道高考选择题周林（宁波市鄞州区正始中学， 浙江 宁波 315131）近几年高考题中，有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的物理分析就可以判断结论是否正确。
因此，不仅要提升物理关系式的分析鉴别能力，而且更要挖掘出其中蕴含的物理思想和方法。
让学生知其然还要知其所以然，本文拟用高等数学的定积分推导出三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度的表达式，并分析三道高考选择题。
模型1：均匀带电的圆圈中心轴线上的电场强度如图1所示，均匀带电且单位长度带电量为λ的一个半径为R 的圆圈，求其中心轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度在圆环上选取长为dl 的带电微元圆弧，根据点电荷的电场强度，在点P 产生的电场方向与x 轴的夹角为θ，沿x 轴方向的大小为θλcos 22xR dlkdE +=2222xR x xR dlk+⨯+=λ()2322xRxdlk +=λ由定积分得 ()232220xRxdlk E R +=⎰λπ ()23222xRxkR +=λπ根据对称性和叠加性，均匀带电圆圈在点P 产生的合场强必沿x 轴方向，正负由电荷符号决定，大小为()23222xRxkR E +=λπ。
若均匀带电圆圈的电量为q ，即λπR q 2=，则()2322xRkqxE +=。
讨论1：（1）当x 《R 时，则E =0，相当于圆圈中心处的场强，根据对称性可得场强为零。
（2）当x 》R 时，则2xkqE =，相当于点电荷的场强。
若x →∞时，则有E →0。
模型拓展1：两个彼此平行且共轴的均匀带电圆圈中心轴线上的电场强度 （1）两圆圈带同种电荷例1：（2010年福建卷）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。
如图2所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2的圆环，两圆环上的电荷量均为q (q >0)，而且电荷均匀分布。
静电场练习题
1 q q dE cos 2 4 0 ( x 2 R 2 )3 2 4 0 r
可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为
由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。 将dq带入上式，可得:
注意: dq dE cos 斜边 2 4 0 R
1
则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:
补充题
q 4π 0 r 2 E q r 4π 0 R 3
(r R)
(r<R)
.p
V E dl E d r E dr E dr
p
p
r
R
R
q(3R 2 r 2 ) V 8 0 R3
9
补充题 两个均匀带电的同心球面，内半径为 R1 ，外半径 为 R2 ， 电量分别为 q1 ， q2 。求内球和外球的电势。
方向沿X轴正方向。
7
均匀带电球面的半径为 R, 总电荷量为 q. 求电场中任 .p 一点p处的电势,并作出V-r图.
补充题
解
： 据高斯通量定理，得
q R
1 q 4 0 r 2 E 0
(r R)
.p
(r R)
Vp E dl E d r Edr
因此，该系统在P点产生总场强的大小为:
x 2 rdr E dE 2 2 3/ 2 4 ( x r ) 0 R
x 2 2 1/ 2 2 0 ( x R )
方向沿X轴正方向。
6
解法二 半径为R的圆孔可以看成是其上均匀地分布 着电荷面密度为+σ和-σ的两种电荷。
解:取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度 极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个 dq dS 圆环上的带电量为: 为便于计算，可采用角量描述。 因为: dS 2 R sin Rd
叠加法求均匀带电球体电场问题
叠加法求均匀带电球体电场问题郭泓昊;张雅男;李庆芳【摘要】In the existing textbooks,the formula for calculating the electric field intensity on the axis of a uniform charged disk is introduced without the relationship between the relative position of field point to disk and the direction of electric field intensity.If the formula is used to calculate the field intensity distribution of a uniform charged sphere,it will get erroneous results.By introducing symbolic function into the formula of electric field intensity on the axis of the uniform charged disk,the field strength and the direction can be obtained together.Applying the new method to the calculation of electric field of the uniform charged sphere,results are exactly same as the results obtained by Gauss theorem.It is suggested that the formula of electric field intensity on the axis of charged discs should be improved in current textbooks.%现有教材中计算均匀带电圆盘轴线电场强度公式,只得到场强大小,没有明确给出场点和圆盘的相对位置与场强方向之间的关系.若根据场强叠加的方法利用此公式计算均匀带电球体的场强分布,容易得到错误的结果.将符号函数引入均匀带电圆盘轴线上电场强度计算式,可以得到场强大小及相对于圆盘的方向,清楚而准确地给出均匀带电圆盘轴线电场强度.利用该公式再次求解均匀带电球体电场,结果与利用高斯定理得到的结果完全相符.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2018(028)001【总页数】4页(P119-122)【关键词】带电圆盘;叠加法;带电球体;静电场【作者】郭泓昊;张雅男;李庆芳【作者单位】南京信息工程大学,江苏南京 210044;南京信息工程大学,江苏南京210044;南京信息工程大学,江苏南京 210044【正文语种】中文大学物理在静电场章节中，先是讲解了点电荷的电场强度计算方法，然后利用场强叠加原理先后求出均匀带电圆环、均匀带电圆盘等电荷均匀分布的带电体轴线上的电场分布。
均匀带电圆盘中心轴线上电场求解新方法
理论算法2020.11均匀带电圆盘中心轴线上电场求解新方法赵亚运，李方犁(广东理工学院，广东肇庆，526000)摘要：将均匀带电圆盘看作无数连续点电荷或者均匀带电直导线组成，因此均匀带电圆盘中心轴线某点电场强度的求解，可以通过用计算点电荷或者直导线在中心轴线某点电场强度的矢量叠加这两种新方法来求解。
关键词：均匀带电圆盘；中心轴线电场；新方法A new method for solving the electric field on the central axis of auniformly charged diskZhao Yayun,Li Fangli(Guangdong polytechnic college,Zhaoqing Guangdong,526000)Abstract：The uniformly charged disk is regarded as the composition of numerous continuous point charges or uniformly charged straight wires.Therefore,the solution of the electric field intensityof a point on the central axis of the uniformly charged disk can be solved by two new methods,i.e.the vector*superposition of the electrie field intensity of point charges or straight wires at a pointon the central axis.Keywords•uniformly charged disk;central axis electrie field;new method0引言求电场强度的分布式大学物理中电磁学部分的摘要知识点，它的求解方法也是多种多样,例如高斯定理，矢量叠加微积分的应用等。
9.0静电场之基本内容
空间某点的所产生的场强等于各个 ri是电荷Qi到场点P的矢径。 点电荷在该点产生场强的矢量和 当电荷连续分布时，可将带电体分成许 dE = dq 3 r 4πε 0 r 多点电荷，每个点电荷产生的场强为 全部电荷产生 E = 1 dq r 4πε 0 ∫ r 3 的合场强为 点电荷dq可根据线密度λ， 面密度σ或体密度ρ决定 dq = λdl，dq = σdS和dq = ρdV。
4．典型源电荷的电场 (1)点电荷 E = 1 Q r 4πε 0 r 3 的电场为 其中r是点电荷 Q到场点的矢径。 Q>0 Q<0 r r P E EP
点电荷产生的场强与其电量Q成正比， 与场点到点电荷的距离的平方成反比， 方向在场点到点电荷的连线上。 正点电荷产生场强的方向沿径向向外， 负点电荷产生场强的方向沿径向向内。 (2)无限长均匀带 E = λ r 2 ε 2 π r 电直线的场强为 0
n
θ
E
∫
S
E ⋅ dS 对于封闭的曲面，通常取外
法线方向为曲面的正方向。
7．高斯定理：在静电场中，通过任一闭合曲面(称为高 斯面)的电通量等于该曲面包围的电量的代数和除以ε0
ΦE =
∫
S
E ⋅ dS =
1
ε0
高斯定理说明电场是有源场，正电荷 q ∑ i
i
是电场的源头，负电荷是电场的汇尾。
注意：任何一点的场强E是所有电荷在 该处产生的，而 ∑ qi 是高斯面内的电 i 荷，不包括高斯面外的电荷，因为高 斯面外的电荷产生的电通量为零。
湖南大学物电院周群益第九章第九章静电场静电场基本内容基本内容范例范例92电偶极子的电场电偶极子的电场范例范例93均匀带电线段的电场均匀带电线段的电场范例范例91点电荷的电场点电荷的电场范例范例94平行直线电荷的电场平行直线电荷的电场范例范例95均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场范例范例98直线电荷与共面带电线段之间的作用力直线电荷与共面带电线段之间的作用力范例范例97均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场范例范例99直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力范例范例910点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律范例范例96均匀带电球面球体以及球壳的电场均匀带电球面球体以及球壳的电场基本内容基本内容1
圆环圆点处电场公式
圆环圆点处电场公式圆环圆点处的电场公式可以通过叠加原理来推导。
假设我们有一个半径为R的均匀带电圆环，其上电荷密度为λ（单位长度的电荷量）。
我们想要找出圆环中心（即圆点）处的电场强度。
由于圆环是均匀的，我们可以将圆环分割成许多小段，每段都可以看作是一个点电荷。
然后，我们可以计算每段在圆点处产生的电场，并将它们叠加起来以得到总电场。
对于圆环上的任意一点，其到圆点的距离是R（因为是从圆点到圆环上的点的距离）。
假设我们考虑一小段圆环，其弧长为Δl，那么这段圆环上的电荷量就是λΔl。
点电荷在距离r处产生的电场强度E可以用以下公式表示：E = (k * q) / r^2其中，k是库仑常数，q是点电荷的电荷量，r是点到电荷的距离。
因此，对于圆环上的这一小段Δl，它在圆点处产生的电场强度是：E_Δl = (k * λΔl) / R^2由于电场是矢量，我们需要考虑方向。
对于圆环上的每一点，其在圆点处产生的电场方向都是沿着从圆点到该点的连线，并且方向是向外的（如果电荷是正的话）。
由于圆环是对称的，这些电场分量在水平方向上会相互抵消，只剩下垂直方向上的分量。
因此，我们只需要考虑垂直方向上的电场分量。
为了得到总电场，我们需要将圆环上所有小段产生的电场叠加起来。
由于圆环是对称的，我们可以只考虑四分之一圆环（例如上半部分的右半边），然后将其结果乘以4。
这样，总电场强度就是：E_total = 4 * ∫(k * λ* sin(θ) / R^2) dθ其中，θ是从正x轴到考虑的点与圆心的连线的角度，积分范围是从0到π/2。
进行积分后，我们得到：E_total = (2 * k * λ) / R这就是圆环中心处的电场强度的公式。
注意，这个公式假设了圆环是均匀的，并且只考虑了电场在垂直方向上的分量。
如果圆环不是均匀的，或者我们想要考虑其他位置的电场，那么计算会变得更加复杂。
圆环圆点处电场公式
圆环圆点处电场公式在物理学中，电场是由一组带有电荷的粒子产生的力场。
如果我们考虑一个孤立的带有电荷的粒子，它的电场可以用库伦定律来描述。
但是对于一组电荷分布在空间中的情况，我们需要使用更复杂的方法来计算电场。
在这里，我们将讨论圆环和圆点上的电场公式。
首先我们来考虑圆环上的电场。
假设一个均匀带电的圆环位于xy平面上，圆环的半径为R，电荷线密度为λ。
我们希望计算圆环任意一点P处的电场。
为了简化问题，我们可以将圆环看做无穷细的线圈，然后求解线圈产生的电场，最后将结果综合得到圆环产生的电场。
首先选择圆环的中心O为坐标原点，OP向量表示点P相对于中心O的位置，其长度为r，方向为θ。
我们可以将这个向量分解成垂直于圆环的方向和平行于圆环的方向，OP = rcosθi + rsinθj。
然后我们可以求解电场E = Exi + Eyj，这里Ex和Ey分别表示电场在x轴和y轴方向上的分量。
考虑到圆环的对称性，我们可以通过积分的方法计算得到圆环在任意一点的电场。
我们可以将圆环分成许多小段Δs，每一段上的电荷为dq = λΔs。
然后我们可以计算每一段dq产生的电场dE，再将所有小段上的电场叠加起来，得到整个圆环产生的电场。
假设点P到dq的距离为r'，那么dq产生的电场为dE = k dq / r'^2，其中k是库伦常数。
再考虑到r和r'之间的关系，我们可以得到r'^2 = r^2 + R^2 -2rRcosθ。
将dq代入，整合所有的小段dq，得到圆环在点P处的总电场E = kλ ∫dE。
根据具体情况，我们可以选择不同的积分范围和积分变量，来计算圆环在不同位置产生的电场。
在这个过程中，我们需要考虑到积分的对称性和电场的叠加关系，以便正确计算出电场的大小和方向。
接下来我们来考虑圆点上的电场。
假设一个带电点电荷q位于坐标原点O处，我们希望计算圆点上任意一点P处的电场。
这个问题可以通过库伦定律来解决。
09-4静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电场公式整理
221rq q k F =r r q q Fˆ412210πε= rr q E ˆ420πε=304d d rqr E πε =⎰=E Edq F E =E qF ii ⋅=∑0E dqF Q ⋅=⎰0电通量：0d cos εθiSq S E S E Φ∑=⋅=⋅=⎰⎰(高斯定理)点电荷在高斯面外，0d =⋅=⎰⎰SS E Φ有限长均匀带电直线：j E i E E y x+=？？==y x E E 无限长均匀带电直线：r rEˆ20πελ=均匀带电圆环轴线上：23220)(4R x iqx E +=πε无限大均匀带电平面：02εσ=E 垂直于带电面 =+=-+E E E0εσ平行板内的场强：0εσ=E 板间电势差：Ed V =平行板的的静电能：Sd E VQ W e 22121ε==半径为R 带电为q 的均匀带电球面的电场：24d επq r E S E S∑=⋅=⋅⎰204r qE πε∑=∴r < R 时，高斯面无电荷，0=E ；r > R 时，高斯面包围电荷q ，204rq πε=E两平行板间 两平行板外侧半径为R 带电量为Q 的均匀带电球体的电场：R r r 30<ερ=ER r r 13R 203>ερ无限长均匀带电圆柱面圆柱半径为R 沿轴线方向单位长度带电量为λ的电场：⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅上下底面侧面S d E S d E S d E srl E π2⋅=2επ∑=⋅q rl Er < R 时，l q λ=∑ ，rE 02πελ=r > R 时，0=∑q ，0=E静电场力所做的功：)11( π4d π40020末初末初r r qq r r qq W r r -==⎰εεBA B A U q V q V q 000-=-=单位：V静电场力做功与路径无关电势零点选择方法：对于有限长带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零；对于无限长均匀带电直线，只能选有限远点为电势零点；对无限大均匀带点平面，也只能选有限远点为电势零点。
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[](1)设λ > 0，圆环上所带电量为Q = 2πaλ。
r z2 a2
如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是
z
E
在P点产生 的电势为
U
kQ r
kQ 电势在原点处最高，并P z2 a2 随着距离的增加而减小。
r
P点的场 强为
E dU kQz . dz (z2 a2 )3/ 2
Q Oa
Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电
势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？
[解析](1)设Q > 0，当电荷均匀分布圆盘 上时，电荷的面密度为σ = Q/πa2，
z E
Pr
如图所示，在圆盘上取一半径为R，宽度
为dR的圆环，其面积为dS = 2πRdR， a
dR
所带的电量为dq = σdS，
z) z2 a2
当z→+0时，E→2kQ/a2 = σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在正面产生的场强。
这是点电 荷的场强。
当z >> a时，可得
E
2kQ a2
[1
(1
a z
2 2
)
1/
2
]
2kQ a2
1 2
a2 z2
kQ z2
如果z < 0，轴 线上的场强为
E
dU dz
2kQ a2
d dz
(
σ = Q/πa2， U 2kπ ( z2 a2 | z |)
z E
Pr
电势
U
2kQ a2
(
z2 a2 | z |)
当z = 0时电势最高U = 2kQ/a。
a
dR
OR
Q
当|z| >> a时，电势为
U 2kQ [| z | (1 a2 )1/2 | z |] 2kQ [| z | a2 ] kQ
两边的电势曲 线都是向上凹 的，没有拐点。
当|z| > 3a时， 圆盘电荷的电 势接近于点电 荷的电势。
圆盘电荷在中心附近产生 的场强最大，该场强表示 “无限大”带电平面的场 强；圆盘两边的场强方向 不同，因而不连续。
当距离增加时，场强 持续减小；当|z| > 3a 时，圆盘电荷的场强 接近于点电荷的场强。
z2
a2
z)
2kQ a2
(1
z )
z2 a2
当z→-0时，E→-2kQ/a2 = -σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在另一面产生的场强。
圆盘两边的 场强不连续。
轴上的场强可 统一表示为
z 2kQ
E |z|
a2
(1
|z| ).
z2 a2
圆盘电荷在中心 产生的电势最大， 该点左右两边的 电势虽然连续， 但是导数不连续， 因而圆盘两边的 场强不连续。
电荷的面密度为σ = Q/S，
Pr
在圆圈上取一半径为R，宽度为dR 的圆环，在场点P产生的电势为
dU k 2πRdR
z2 R2
场点P的 电势为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U
a
k2π b
a
RdR Q
z2 R2
bO
d RR
U 2kπ (
z2 a2
z2
b2
)
2kQ a2 b2
(
z2 a2
在z = 0处 z2 b2 ) 的电势为
{9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(1)一个半径为a的均匀带电圆环，带电量为Q(Q > 0)，求圆环 轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规 律是什么？(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐 标变化的规律是什么？(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀 带电圆圈，带电量为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。 对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
当z 当z
> <
0时，E 0时，E
> <
0，场强的方向与z轴正向相同； 0，场强的方向与z轴正向相反。
E
(z2
kQz a2 )3/2
在z = 0处电场强度E = 0；在z→±∞处 E→0，因此E在z从0到±∞之间有极值。
令
dE kQ[ (z2 a2 )3/ 2 3z2 (z2 a2 )1/ 2 ]
OR Q
环电荷在场点P dU kdq k 2πRdR
产生的电势为
z2 R2
z2 R2
a
全部电荷在场点P U k 2π
RdR
2kπ ( z2 a2 | z |).
产生的电势为
0 z2 R2
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为 Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电 势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？
如果b = a，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a； 如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。
U 2kQ ab
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
0
dz
(z2 a2 )3
z zM
可得 zM a / 2.
极值为
EM
23 9
kQ a2
0.3849
kQ a2
Q
如果z >> a，电势 和场强分别为
U kQ , |z|
kQz z kQ E
| z |3 | z | z2
z E Pr
Oa
这是点电荷的电势和场强公式，其中z/| z|表示符号。
圆环电荷在中心 产生的电势最大， 当距离比较远时， 其电势接近点电 荷的电势。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
[解析](2)当电荷均匀分布在外半径为a、内半径为b的z 圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为S = π(a2 - b2)， E
电势曲线在中间下凹，在两边上 凹，两部分的接合点是拐点，两 个拐点对应电场强度的极值。
圆环电荷在中心 处的场强为零。 场强随距离先增加再减 小，当距离z = ±0.7a 时，场强最大。
当距离比较大时，其场 强与点电荷的场强接近。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为
a2
z2
a2
2z2 | z |
这是点电荷的电势。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
U 2kQ ( z2 a2 | z |) a2
圆盘两边场强的方向不同。
如果z > 0，轴 线上的场强为
E dU 2kQ d ( z2 a2 z) 2kQ (1
dz
a2 dz
a2