人教版高中数学高二人教A版必修5练习 余弦定理
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
第2课 时余弦定理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为( )
A ．5
B ．8
C ．5或－8
D ．－5或8
解析：由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
所以49＝9＋b 2－3b ?(b －8)(b ＋5)＝0，
因为b ＞0，所以b ＝8.
答案：B
2．在△ABC 中，已知三边a ＝3，b ＝5，c ＝7，则三角形ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法确定
解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12
＜0，所以C 为钝角． 答案：C
3．在△ABC 中，有下列结论：
①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；
②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；
③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；
④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.
其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＜0，所以A 为钝角，正确； ②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12
，所以A ＝120°，错误； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；
④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误． 答案：A
4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( )
A.13 B ．－23 C.14 D ．－14
解析：根据正弦定理，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，
设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k ＞0)，则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k
＝13. 答案：A
5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定
是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 2
2ac
·a ＝c ， 所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．
答案：C
二、填空题
6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，
所以cos A ＝－12
，A ＝120°. 答案：120°
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14
a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． 解析：由正弦定理得到边
b ，
c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可．
由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32
c . 又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14
a ，即a ＝2c .由余弦定理得 cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.
答案：－14
8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．
解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－142
80x 2
，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积
S ＝12
×16×10×sin 60°＝40 3. 答案：40 3
三、解答题
9．在△ABC 中，已知sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，求B 的度数．
解：因为sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，
由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，
由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32
， 又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.
10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1
(1)求角C 的度数；
(2)求AB 的长．
解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝
－cos(A ＋B )＝－12
，且C ∈(0，π)， 所以C ＝2π3
. (2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，
所以???a ＋b ＝23，ab ＝2.
所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，
所以AB ＝10.
B 级 能力提升
1．在△ABC 中，sin 2
A 2＝c －b 2c ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形 解析：因为sin 2 A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c
， 所以cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc
， 所以a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．
答案：B
2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．
解析：因为cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，
所以sin C ＝22
. 所以AD ＝AC ·sin C ＝ 3.
答案：3
3．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．
解：由???a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，得???a ＝b ＋4，c ＝b －4.
所以a ＞b ＞c ，所以A ＝120°，
所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×? ??
??－12， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.
因此a ＝14，c ＝6.