西南石油大学线性代数期末3
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n
_______学号______________得分 二 三 四 总分
一
百度文库
正确的是 (A)
∑ aij Aij = 0 ；
i =1
n
n
(B)
∑a
j =1 n
n
ij
Aij = 0 ；
(C)
∑ aij Aij = D ；
j =1
(D)
∑a
i =1
i1
Ai 2 = D
2. n 阶实对称矩阵 A 和 B 相似的充分必要条件是 (A) A 与 B 都有 n 个线性无关的特征向量； (B) r ( A) = r ( B) ； (C) A 和 B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与 B 的 n 个特征值都相等 3. 设 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是 Ax = 0 的基础解系的为________________ (A) α 1 , α 1 + α 2 , α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ； (B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 - α 1 ； (C) α 1 + α 2 , α 2 - α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 ； (D) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1
值为
0 10 6 A= 1 −3 −3 −2 10 8 2 ，已知α= −1 2
是它的一个特征向量，则α所对应的特征
.
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
1.设
1 2 0 A= 3 4 0 −1 2 1
线 性 代 数 试 卷 姓名____________班级___ 题号 得分 试卷说明：AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式。 一、 （1） 单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 设 n 阶行列式 D = aij ， A i j 是 D 中元素 a i j 的代数余子式，则下列各式中
−2 1 3.给定向量组α1= 0 3
.
试判断α4 是否为α1，α2，α3 的线性组合；若是，则求出组合系数。
4.设矩阵
1 −2 −1 −2 4 2 A= 2 −1 0 3 3 3
2 6 −6 . 2 3 3 4 0
求： （1）秩（A） ； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
x1 + 3x 2 + x3 = 1 4. 设方程组 x1 − 5 x 2 − x3 = b 有无穷多组解，则必有_______________ 2 x + 2 x + x = 2 2 3 1
(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 ___
5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ (A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等 (C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
6.设 A=
1 −1 1 1 1 −1
，B=
1 2 3 −1 −2 4
.则 A+2B=
.
. 7.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 a= 8.设 A 是 3×4 矩阵，其秩为 3，若η1，η2 为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同 的解，则它的通解为 . 9.设向量α、β的长度依次为 2 和 3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β） = . 10.设矩阵
Aβ ≠ 0 ，证明：向量组 α 1 + β ， α 2＋β， "， α k＋β，β 线性无关。
，B=
2 3 −1 −2 4 0
.求（1）ABT； （2）|4A|.
2.设矩阵
4 2 3 A= 1 1 0 −1 2 3
，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.
1 3 −3 0 ，α2= ，α3= 2 2 4 −1 0 −1 ，α4= 4 9
5.设矩阵 A= −2 −3 4 的全部特征值为 1，1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，
2 4 −3
0
−2
2
使 T-1AT=D. 6.试用配方法化下列二次型为标准形 2 2 + 2x 2 f(x1,x2,x3)= x 1 2 − 3x 3 + 4 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 4 x 2 x 3 ， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 1．设 A和 B 是 n 阶正定矩阵，证明： A 合同于 B 2．设 α 1， α 2， "， α k 是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系，向量 β 满足
_______学号______________得分 二 三 四 总分
一
百度文库
正确的是 (A)
∑ aij Aij = 0 ；
i =1
n
n
(B)
∑a
j =1 n
n
ij
Aij = 0 ；
(C)
∑ aij Aij = D ；
j =1
(D)
∑a
i =1
i1
Ai 2 = D
2. n 阶实对称矩阵 A 和 B 相似的充分必要条件是 (A) A 与 B 都有 n 个线性无关的特征向量； (B) r ( A) = r ( B) ； (C) A 和 B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与 B 的 n 个特征值都相等 3. 设 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是 Ax = 0 的基础解系的为________________ (A) α 1 , α 1 + α 2 , α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ； (B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 - α 1 ； (C) α 1 + α 2 , α 2 - α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 ； (D) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1
值为
0 10 6 A= 1 −3 −3 −2 10 8 2 ，已知α= −1 2
是它的一个特征向量，则α所对应的特征
.
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
1.设
1 2 0 A= 3 4 0 −1 2 1
线 性 代 数 试 卷 姓名____________班级___ 题号 得分 试卷说明：AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式。 一、 （1） 单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 设 n 阶行列式 D = aij ， A i j 是 D 中元素 a i j 的代数余子式，则下列各式中
−2 1 3.给定向量组α1= 0 3
.
试判断α4 是否为α1，α2，α3 的线性组合；若是，则求出组合系数。
4.设矩阵
1 −2 −1 −2 4 2 A= 2 −1 0 3 3 3
2 6 −6 . 2 3 3 4 0
求： （1）秩（A） ； （2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
x1 + 3x 2 + x3 = 1 4. 设方程组 x1 − 5 x 2 − x3 = b 有无穷多组解，则必有_______________ 2 x + 2 x + x = 2 2 3 1
(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 ___
5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ (A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等 (C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
6.设 A=
1 −1 1 1 1 −1
，B=
1 2 3 −1 −2 4
.则 A+2B=
.
. 7.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 a= 8.设 A 是 3×4 矩阵，其秩为 3，若η1，η2 为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同 的解，则它的通解为 . 9.设向量α、β的长度依次为 2 和 3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β） = . 10.设矩阵
Aβ ≠ 0 ，证明：向量组 α 1 + β ， α 2＋β， "， α k＋β，β 线性无关。
，B=
2 3 −1 −2 4 0
.求（1）ABT； （2）|4A|.
2.设矩阵
4 2 3 A= 1 1 0 −1 2 3
，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.
1 3 −3 0 ，α2= ，α3= 2 2 4 −1 0 −1 ，α4= 4 9
5.设矩阵 A= −2 −3 4 的全部特征值为 1，1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，
2 4 −3
0
−2
2
使 T-1AT=D. 6.试用配方法化下列二次型为标准形 2 2 + 2x 2 f(x1,x2,x3)= x 1 2 − 3x 3 + 4 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 4 x 2 x 3 ， 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 1．设 A和 B 是 n 阶正定矩阵，证明： A 合同于 B 2．设 α 1， α 2， "， α k 是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系，向量 β 满足